0   引　言

壁湍流摩擦阻力（简称“摩阻”）的产生及分布规律，关系到人们对湍流减阻及其控制^[1]这一经典主题的认知和技术革新。湍流边界层内的复杂相干结构^[2]影响着湍流内外区的动量交换，使近壁面原本较大的速度梯度发生剧烈波动，导致壁面摩擦阻力在时间和空间的分布发生连续变化。可见，壁面摩擦阻力与湍流结构在时空分布上关联紧密。同时，基于湍流结构调幅调频的减阻研究^[3-4]悄然兴起，壁面摩阻与湍流结构的时空关联成为其核心问题，壁湍流摩阻时空信号的测量则成为首要技术难题。

壁面摩阻测量技术的探索一直是研究热点^[5-6]，其主要分为直接测量法和间接测量法2类。直接测量法如摩阻天平法^[7]、浮动元器件法^[8]等借助敏感元器件直接在壁面测出摩阻，对元器件大小和测量精度要求较高。间接测量法如油膜干涉法^[9]和热线法^[10]则关注近壁的强剪切层，通过测量剪切力对物理量的影响，间接推导出摩阻，测量过程中温度和热损失等因素会对结果造成一定影响。

综上，传统摩阻测量法均基于可观的时间或空间尺度，无法达到与湍流结构发展演化相对应的时空分辨率，且接触性的测量和复杂机构也会带来较大误差。粒子图像测速技术（Particle Image Velocimetry, PIV）作为一种光学测速技术，具有瞬时性、全场性、无接触性和定量性等特点^[11]，只需测得某一瞬间黏性底层内的速度分布，即可求得局部摩阻。王康俊等^[12]利用黏性底层的速度分布拟合计算得到了平均壁面摩擦速度，结果具有较高的精度。

需要注意的是，PIV技术求得的近壁流场速度信息普遍存在空间分辨率低、流向速度信息偏大等问题，原因是计算常用的固定查询窗口（Interrogation Window, IW）为16 像素 $ \times $ 16 像素或32 像素 $ \times $ 32 像素，无法适应壁湍流近壁区的大速度梯度，更无法在法向上得到较高的空间分辨率。为解决这一难题，业内设计了多种IW尺寸和相关速度的互相关算法，推动了壁湍流摩擦阻力测量研究的发展^[13-15]。Zhu等^[13]考虑了近壁流场强剪切的作用，成功开发了可变形迭代IW的互相关算法，并在高马赫数流场测量中验证了该算法。Nguyen等^[14]尝试使用长方形IW（68 像素 × 17 像素，流向 × 法向）提升法向空间分辨率，以满足观察速度梯度变化的要求。Kähler等^[15]开发了单像素互相关算法（Single-pixel Ensemble Correlation, SPEC），通过牺牲时间分辨率得到高法向分辨率的速度信息。该算法在微粒子追踪测速技术中得到了应用，获得了极高法向空间分辨率的平均速度剖面图。许德辰等^[16]在此基础上利用μ‒PIV方法研究不同雷诺数下近壁面黏性底层的速度梯度，空间统计平均结果显示所得摩阻精度很高。Willert^[17]将IW尺度设计为256 像素 × 1 像素（流向 × 法向），开发了单行像素互相关算法（Single-Row Cross Correlation, SRCC），得到了具有极高法向分辨率的瞬时速度剖面。可见，在近壁摩阻测量方面，PIV已很好地突破了法向空间分辨率的限制，但在流向分辨率和时间分辨率上仍需进一步提升。

本文基于粒子图像测速技术，开发具有可调时空分辨率的互相关算法（Adjustable Spatio-temporal Resolution Cross Correlation, ASTRCC），以解析壁湍流近壁黏性底层内高流法向空间分辨率、高时间分辨率的近壁流场信息，进而获取具有时空信息的摩阻信号，并通过研究摩阻信号自身时空特性及其与湍流事件/结构的时空关联来验证所开发方法的可靠性。

1   实验条件与分析方法

1.1   实验条件

平板湍流边界层高时空分辨率PIV（2D2C TRPIV）实验在太原理工大学低速低湍流度回流式水槽进行。如图1（a）所示，水槽实验段尺寸为0.4 m$ \times $ 0.5 m $ \times $6 m（宽 $ \times $ 高 $ \times $ 长），水槽底面和侧壁为高透钢化玻璃。水泵转速由变频器控制，可实现实验段自由来流速度u_∞ = 0.05～0.5 m/s的变速调节。实验中自由来流速度u_∞ = 0.158 m/s。实验边界层平板长2.5 m、宽0.38 m、厚15 mm，材质为高透有机玻璃板。实验时，将边界层平板倒扣于水面，并将直径5 mm的绊线固定于距边界层平板前缘下游0.41 m处，以保证拍摄的流场区域为充分发展的湍流区域。实验中使用的示踪粒子为直径d_p = 10 μm、密度ρ_p = 1.03 g/cm³的空心玻璃圆球。相机型号为Phantom VEO E‒340L，满幅像素为2560 像素 $ \times $1680 像素，搭配100 mm定焦镜头。激光器为镭宝公司的Vlite‒Hi‒527‒30，出光频率为0.1～10.0 kHz，实验采样频率f₀ = 120 Hz。相机拍摄区域沿流向距绊线0.6 m，测量视野范围（Field of View, FOV）为52 mm$ \times $33 mm（流向 $ \times $ 法向），共计得到6000个时间序列的瞬时速度场。实验装置如图1（b）所示，激光片垂直照射于平板面可有效减少壁面反光带来的误差，更多细节如图1（c）和（d）所示。湍流边界层基本流动的相关参数如表1所示。

图  1  实验布置示意图

Fig.  1  Schematic of the experimental setup

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表  1  湍流边界层基本流动相关参数

Table  1  Basic flow related parameters of turbulent boundary layer

参数	值
u∞/(mm﹒s−1)	158
边界层厚度δ/mm	33.576
动量损失厚度θ/mm	3.26
统计平均的壁面摩擦速度uτ/(mm﹒s−1)	8.6
基于动量损失的雷诺数${{Re} _\theta }$	428
基于边界层位移的雷诺数${{Re} _{{\delta ^ * }}}$	4411
基于摩擦速度的雷诺数${{Re} _\tau }$	240

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1.2   ASTRCC算法

牛顿内摩擦定律经常被用于壁面摩擦阻力的测量。对壁面法向距离与流向速度进行无量纲分析：

式中：上标“ + ”表示通过壁面单位进行无量纲化；$ y $为流场中一点到壁面的法向距离；$ {u_\tau } $为壁面摩擦速度；$ u $为流体的流向速度；$ \tau $为壁面摩擦阻力；$ \rho $为流体密度；$ \nu $为流体运动黏性系数。

在0 < $ {y^ + } $ < 5的黏性底层区域内，流体流向速度随壁面法向高度呈线性分布，可表示为：

壁面摩擦阻力与速度梯度的变化相关联，其精确性也取决于速度梯度的精确性，即：

式中：$ \mu $为流体动力黏性系数。

PIV通过求解IW内示踪粒子的速度来近似代替IW区域流场的平均速度，因而IW的大小决定了所测流场区域速度的分辨率和精确性。近壁面流场结构复杂，IW尺寸过大，会导致分辨率过低，无法捕捉近壁流场结构；IW尺寸过小，则粒子信息过少，流场无法解析，误差大幅上升。本质上，Kähler等^[15]提出的SPEC算法通过牺牲时间信息得到高法向空间分辨率，而Willert^[17]提出的SRCC算法则是在牺牲流向空间信息的代价下保留了时间分辨率。

本文结合SPEC算法和SRCC算法的优势，用ASTRCC算法在补足IW灰度信息的前提下，保留了可观的时空分辨率。如图2所示，在2组时间序列的粒子图像中，首先选择“长扁条”形状的IW，即下文式（6）中$ {\boldsymbol{A}}(x,y) $、$ {\boldsymbol{B}}(x + {\text{Δ}} x,y + {\text{Δ}} y) $图像矩阵及其对应的总体灰度矩阵$ \overline {\boldsymbol{A}}(x,y) $、$ \overline {\boldsymbol{B}}(x + {\text{Δ}} x,y + {\text{Δ}} y) $都应列数远大于行数，其结果的空间法向分辨率应远大于流向分辨率。其次，基于Shen等^[18]计算的具有固定位置的IW空间相关性$ {\boldsymbol{R}}\left( {x,y,{\text{Δ}} x,{\text{Δ}} y} \right) $，将时间序列1，2，3，…，N的集合进行扩展，以充分满足Okamoto等^[19]提出的灰度信息要求，进而结合时间序列求出该区域瞬时平均速度。此时，IW的法向尺度为法向空间分辨率，流向尺度为流向空间分辨率，扩展的时间序列总长度为时间分辨率。式（6）为1个IW的$ {\boldsymbol{A}}(x,y) $与其相邻域$ ({\text{Δ}} x,{\text{Δ}} y) $的集合相关系数：

图  2  ASTRCC方法示意图

Fig.  2  Schematic diagram of the ASTRCC method

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式中：x为流向位置；N为时间序列的粒子图像对数量；σ为标准差。将N个连续图像对相同位置处IW中的$ {\boldsymbol{A}}_n(x,y) $与$ {{\boldsymbol{B}}_n}(x + {\text{Δ}} x,y + {\text{Δ}} y) $的灰度图像矩阵减去总体灰度矩阵，再通过标准差σ（式（7））将互相关系数$\boldsymbol{R} $归一化。

使用具有显示公式的二维高斯回归求解亚像素级的波峰^[20]，获得从源像素$ (x,y) $到互相关系数峰值$ {\boldsymbol{R}} $的偏移$ ({\text{Δ}} x,{\text{Δ}} y) $，并依据$ u = {{{\text{Δ}} x} /{t} }$₁（t₁为2组时间序列间的时间间隔）得到每个IW内的平均瞬时速度，进而得到瞬时流场近壁面流向速度信息、速度梯度信息，最终得到具有时空分辨率的摩阻信息。

2   结果与讨论

2.1   瞬时摩阻与平均速度剖面

根据实验需求，本实验中粒子浓度为0.0075 粒子/像素，实验放大倍数为20 μm/像素，示踪粒子直径为4～5 像素，IW为128 像素 $ \times $ 2 像素，时间序列N为2，黏性底层区域0 < y⁺ < 5法向高度约为34 像素。对应求得的摩阻时空信号的流向分辨率为19内尺度无量纲单位，时间间隔$ {t^ + } = {{t_0}u_\tau ^2} / \nu \approx 0.51 $（t₀ = 1/f₀）。

图3（a）为黏性底层某时刻的瞬时流向速度分布，从图中可以看出，该时刻的瞬时流向速度呈明显的线性分布。参照申俊琦等^[21]对平板湍流边界层瞬时摩擦阻力的数据处理方法，对测量数据点进行最小二乘拟合，得到直线斜率，并通过式（5）计算该时刻的瞬时摩擦阻力。图3（b）为法向各数据点的残差情况，图中红色点代表该数据点的95％置信区间不包含零点，蓝色点代表该数据点的95％置信区间包含零点。图中96.6％的残差数据点的95％置信区间均包含零点，表明回归模型拟合的直线与原始数据符合较好。

图  3  瞬时流向速度的线性拟合及残差情况

Fig.  3  Linear fitting and residual of instantaneous flow velocity

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将瞬时摩擦阻力沿时间方向求平均，根据式（3）求得时均壁面摩擦速度，再结合PIV计算出的平均速度，通过式（1）和（2）求得如图4所示的平均速度剖面。由图可见，所得平均速度剖面符合文献[22-23]中黏性底层线性递增分布律（式（4）），同时也符合对数律区规律（式（8））。

图  4  速度剖面示意图

Fig.  4  Schematic diagram of velocity profile

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式中：κ为卡门常数，本文取0.41；B₀为积分常数，本文取5.0。

2.2   摩阻时空信号的时空特性

为判断所得摩阻时空信号的可靠性，本节重点分析了摩阻时空信号的分布特性，主要包括摩阻信号的空间分布、时间分布及与湍流事件/湍流结构的关联特性等。

2.2.1   不同时刻同一流向线性空间的摩阻信号分布规律

根据实验条件，图5（a）给出了t和t + Δt （Δt = 4t⁺）2个时刻摩阻在流向线性空间的分布情况，图中纵坐标为瞬时摩擦切应力减去平均摩擦切应力的无量纲化值（τ_w为瞬时壁面摩擦阻力，$ \overline{u}_{\tau} $为平均壁面摩擦速度），横坐标为基于边界层厚度无量纲化后的流向位置。由图可知，摩阻信号的波峰向下游自然迁移。图5（b）中，${\boldsymbol{R}} $_(t)(t)为t时刻信号的自相关，${\boldsymbol{R}} $_{(t)(t + Δt)}为t与t + Δt时刻信号的互相关，两相关信号峰值对应的流向距离之差Δx_max为两信号的位移差，即两间隔为Δt的空间摩阻信号向下游传播的位移为Δx，据此计算出的信号传播速度约为0.53$u_ {{\infty}}$。

图  5  互相关分析图

Fig.  5  Cross correlation analysis diagram

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图6为近壁流场速度梯度和结构的扫掠与喷射事件图，以速度等值线示意，蓝色线条为黏性底层与缓冲层交界处的速度等值线，速度约为0.25$u_ {{\infty}} $。图中速度等值线由于Q2喷射事件而向斜上方向凸起，速度梯度变小，摩擦阻力降低； Q4扫掠事件则导致速度等值线向斜下方向凹入，速度梯度变大，摩擦阻力增大。为体现一般性，图7为另一时刻的摩阻在流向上的空间分布，由图可见，摩阻变化呈多尺度脉动特性，与Wang等^[24]的观察结果一致，且波峰与波谷处的脉动幅值相当，这可能也与近壁区域结构的扫掠和喷射事件有关^[25-26]。为了探索这种关联性，对摩阻波峰与波谷的局部PIV计算流场进行分析，结果如图8所示。图8中u′、v′分别表示流向和法向脉动速度，易知$ u' = u - \overline u $，$ v' = v - \overline v $。若大多数散点位于第Ⅱ象限（u′ < 0，v′ > 0），则该局部流场存在喷射事件；若大部分散点位于第Ⅳ象限（u′ > 0，v′ < 0），则该局部流体为扫掠流体。图7中矩形虚线框的摩阻信号处于波谷期，对应时刻的近壁流场局部区域（流向尺度为0.1$ {x \mathord{\left/ {\vphantom {x \delta }} \right. } \delta } $，法向尺度为1内尺度无量纲单位）脉动速度散点图主体位于第Ⅱ象限，如图8中蓝色方框所示，表明该局部流场出现了喷射事件。图7中圆形虚线框的摩阻信号处于波峰期，对应时刻的近壁流场局部区域（流向尺度为0.15$ {x \mathord{\left/ {\vphantom {x \delta }} \right. } \delta } $，法向尺度为1内尺度无量纲单位）脉动速度散点图位于第Ⅳ象限，如图8中红色圆点所示，表明局部流体发生扫掠，摩阻增大。

图  6  近壁流场扫掠与喷射示意图

Fig.  6  A schematic sketch to show the "sweeping" and "ejection" in the near-wall flow field

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图  7  摩阻与结构关联示意图

Fig.  7  Schematic diagram of the correlation between friction stress and structure

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图  8  u′、 v′散点图

Fig.  8  u′、 v′ scatter diagram

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2.2.2   不同流向空间点上摩阻时间信号的分布规律

图9（a）为某时刻摩阻在流向线性空间的分布曲线，同时在该时刻选择流向空间固定点x/δ = 0.33为C点、x/δ = 0.97为D点。过C点的壁面摩阻时间信号为u_τ,C，过D点的时间信号为u_τ,D。基于文献[27]研究频谱密度的方法，观察频谱密度曲线变化，结果如图9（b）所示，图中Φ为振动幅值。由图可见，u_τ,C与u_τ,D都是低频信号。u_τ,C与u_τ,D的频谱密度曲线在3 Hz以后幅值很小，因此选取3 Hz作为截断频率，频率f ＞ 3 Hz视为外界噪音，f ＜ 3 Hz视为壁面摩阻的时间信号。对时间信号进行重构，得到C、D点降噪后的时间信号，如图10所示。

图  9  流向空间摩阻时间信号频谱图

Fig.  9  Flow direction space friction stress and time signal spectrum diagram

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图  10  不同流向空间摩阻时间序列

Fig.  10  Time series of spatial friction stress in different flow directions

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图10（a）和（b）分别为图9（a）中C、D点的壁面摩阻时间信号。不难发现，图10（a）虚线框、实线框、点划线框分别与图10（b）中的相同线型框一一对应。这些相同线型方框中的波峰在时间上有一定延迟性，表明不同空间位置的摩阻信号在时间上有延迟性，这也与2.2.1节流向线性空间摩阻信号的时间延迟性相对应。图11为C、D点的摩阻时间信号相关性分析结果。从图中可以看出，在Δt = 0.25 s时相关性最高，表明C点的摩阻信号延迟了0.25 s到达D点，同时，从图中也可以观察到波峰具有周期性。图12为摩阻相关性信号与对应流向速度的互相关结果对比图，$\boldsymbol{R} $_(u)(u)为对应流向速度互相关信号，$\boldsymbol{R}_{(u_{{\text{τ}},C})(u_{{\text{τ}},D})} $为摩擦速度互相关信号，由图可见，二者互相关变化趋势基本一致。这表明摩阻周期与高低速条带在流向上的转变周期一致，二者密切相关。根据C、D点的空间距离和摩阻信号的时间延迟，可计算出摩阻信号在流向上的传输速度v_c = 0.086 m/s，得到传输速度与自由来流速度的比值v_c/$u_ {{\infty}} $= 0.54。Tian等^[28]基于展向涡结构的时空拓扑追踪，得到缓冲层内结构的迁移速度约为0.55$u_ {{\infty}} $，与上述结果相符；同时，也与上节空间摩阻信号在时间上的传播速度约为0.53$u_ {{\infty}} $一致。

图  11  摩阻时间信号相关性分析示意图

Fig.  11  Friction stress time signal correlation analysis diagram

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图  12  流向速度与摩阻互相关结果对比图

Fig.  12  Flow velocity and friction stress cross-correlation diagram

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2.2.3   摩阻信号与流动结构的时空关联

李雅普诺夫指数（FTLE）通过表征流场中2个邻近粒子轨道之间的指数增长率，从而以拉格朗日的视角识别复杂流场中的湍流结构^[29]。瞬时流场对应的FTLE场可看作湍流结构场，FTLE代表湍流结构信号。探究FTLE结构信号与摩阻信号的相关性，一方面有助于解释ASTRCC算法的自洽性，另一方面有助于理解摩阻信号与流动结构之间的时空关联。图13为图10中C点流向位置不同法向高度上FTLE信号的时间序列及其与C点摩阻时间信号的相关性分析结果。由图可见：黏性底层区不同高度的FTLE信号与摩阻时间信号的互相关分析具有一致性，二者互相关信号出现了4个明显峰值，说明二者具有周期性关联；同时相较于FTLE信号，摩阻信号具有一致的时间延迟性，表明摩阻受湍流结构的影响而产生变化。

图  13  时空FTLE与摩阻相关性分析

Fig.  13  Analysis of the correlation between spatiotemporal FTLE and frictional stress

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3   结　论

本文采用2D2C TRPIV技术对湍流边界层近壁流场进行实验测量，利用提出的ASTRCC算法，得到了湍流边界层黏性底层内具有时间序列的、高空间分辨率的流场信息，并依此计算出具有时空信息的摩阻信号，得到以下结论：

1）ASTRCC算法可以成功捕捉壁湍流黏性底层内的速度梯度变化，可以得到具有时间分辨率的、具有一定流向线性空间分辨率的摩阻时空信号。

2）摩阻的空间信号和时间信号分别在时间和空间上具有延迟性，其对应的信号迁移速度与缓冲层内湍流结构的迁移速度一致。

3）摩阻信号的高摩阻区与近壁流场扫掠事件相对应，低摩阻区与近壁流场喷射事件相对应。

4）摩阻时间信号的产生与近壁黏性底层内的湍流结构信号相关联，具有明显滞后性和周期性。

综上所述，本文提出的ASTRCC算法在计算壁面摩阻时空信号方面具有可靠性，同时在与湍流事件和湍流结构迁移变化的关联分析上体现了自洽性。