Aerodynamic pressure field reconstruction from sparse points using data assimilation method
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摘要: 风洞实验中获取模型高精度压力分布至关重要，但现有测量方法仍然存在一些缺陷。为获得风洞模型的全域压力分布，本文通过集合变换卡尔曼滤波（ETKF）对风洞实验的稀疏实测数据和数值计算数据进行同化，实现了基于模型物面有限测点的全空间流场高精度重构。分别使用二维翼型RAE 2822和NACA 0012进行实验验证，RAE 2822的压力稀疏重构结果比线性理论修正更加接近实测结果，此效果在激波位置体现得尤其明显，压力系数的预测误差降低了约3%，使用ETKF修正后的迎角及马赫数集合均值计算得到的机翼升力系数和力矩系数与实验值的误差均小于1%；NACA 0012实验面向风洞测量的全场感知应用，探讨了基于少量测点进行压力重构的可行性。实验结果表明：采用机翼物面6个测点重构的压力系数，相对误差可达2.42%，且同化效果与数据点位置密切相关。Abstract: In wind tunnel experiments, the high-precision pressure distribution of models is highly required, but existing measurement methods still have certain shortcomings. In order to obtain the global pressure distribution of the wind tunnel model, this paper assimilated the sparse measured data and numerical calculation data of the wind tunnel experiment by Ensemble Transform Kalman Filter (ETKF), and realized the high-precision reconstruction of the full-space flow field based on the finite measurement points of the model surface. Two-dimensional airfoil RAE 2822 and NACA 0012 were used for experimental verification. Sparse reconstruction of pressure results of RAE 2822 is more consistent with the measured results than the linear theory correction. This effect is especially evident at the shock wave position, and the prediction error of the pressure coefficient is reduced by about 3%. The lift coefficient and moment coefficient of the wing calculated by using the modified ETKF set mean of attack angle and Mach number are less than 1% error from the experimental values. Experiment of NACA 0012 is oriented to the full-field sensing application of wind tunnel experiments and explore the feasibility of pressure reconstruction based on a small number of measurement points. The experimental results show that the relative error of pressure coefficients reconstructed using six measurement points on the wing object surface can be reduced to 2.42%, and the comparison results show that the assimilation effect is highly dependent on the data point locations.
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0 引 言
壁湍流摩擦阻力（简称“摩阻”）的产生及分布规律，关系到人们对湍流减阻及其控制[1]这一经典主题的认知和技术革新。湍流边界层内的复杂相干结构[2]影响着湍流内外区的动量交换，使近壁面原本较大的速度梯度发生剧烈波动，导致壁面摩擦阻力在时间和空间的分布发生连续变化。可见，壁面摩擦阻力与湍流结构在时空分布上关联紧密。同时，基于湍流结构调幅调频的减阻研究[3-4]悄然兴起，壁面摩阻与湍流结构的时空关联成为其核心问题，壁湍流摩阻时空信号的测量则成为首要技术难题。
壁面摩阻测量技术的探索一直是研究热点[5-6]，其主要分为直接测量法和间接测量法2类。直接测量法如摩阻天平法[7]、浮动元器件法[8]等借助敏感元器件直接在壁面测出摩阻，对元器件大小和测量精度要求较高。间接测量法如油膜干涉法[9]和热线法[10]则关注近壁的强剪切层，通过测量剪切力对物理量的影响，间接推导出摩阻，测量过程中温度和热损失等因素会对结果造成一定影响。
综上，传统摩阻测量法均基于可观的时间或空间尺度，无法达到与湍流结构发展演化相对应的时空分辨率，且接触性的测量和复杂机构也会带来较大误差。粒子图像测速技术（Particle Image Velocimetry, PIV）作为一种光学测速技术，具有瞬时性、全场性、无接触性和定量性等特点[11]，只需测得某一瞬间黏性底层内的速度分布，即可求得局部摩阻。王康俊等[12]利用黏性底层的速度分布拟合计算得到了平均壁面摩擦速度，结果具有较高的精度。
需要注意的是，PIV技术求得的近壁流场速度信息普遍存在空间分辨率低、流向速度信息偏大等问题，原因是计算常用的固定查询窗口（Interrogation Window, IW）为16 像素 $ \times $ 16 像素或32 像素 $ \times $ 32 像素，无法适应壁湍流近壁区的大速度梯度，更无法在法向上得到较高的空间分辨率。为解决这一难题，业内设计了多种IW尺寸和相关速度的互相关算法，推动了壁湍流摩擦阻力测量研究的发展[13-15]。Zhu等[13]考虑了近壁流场强剪切的作用，成功开发了可变形迭代IW的互相关算法，并在高马赫数流场测量中验证了该算法。Nguyen等[14]尝试使用长方形IW（68 像素 × 17 像素，流向 × 法向）提升法向空间分辨率，以满足观察速度梯度变化的要求。Kähler等[15]开发了单像素互相关算法（Single-pixel Ensemble Correlation, SPEC），通过牺牲时间分辨率得到高法向分辨率的速度信息。该算法在微粒子追踪测速技术中得到了应用，获得了极高法向空间分辨率的平均速度剖面图。许德辰等[16]在此基础上利用μ‒PIV方法研究不同雷诺数下近壁面黏性底层的速度梯度，空间统计平均结果显示所得摩阻精度很高。Willert[17]将IW尺度设计为256 像素 × 1 像素（流向 × 法向），开发了单行像素互相关算法（Single-Row Cross Correlation, SRCC），得到了具有极高法向分辨率的瞬时速度剖面。可见，在近壁摩阻测量方面，PIV已很好地突破了法向空间分辨率的限制，但在流向分辨率和时间分辨率上仍需进一步提升。
本文基于粒子图像测速技术，开发具有可调时空分辨率的互相关算法（Adjustable Spatio-temporal Resolution Cross Correlation, ASTRCC），以解析壁湍流近壁黏性底层内高流法向空间分辨率、高时间分辨率的近壁流场信息，进而获取具有时空信息的摩阻信号，并通过研究摩阻信号自身时空特性及其与湍流事件/结构的时空关联来验证所开发方法的可靠性。
1 实验条件与分析方法
1.1 实验条件
平板湍流边界层高时空分辨率PIV（2D2C TRPIV）实验在太原理工大学低速低湍流度回流式水槽进行。如图1（a）所示，水槽实验段尺寸为0.4 m$ \times $ 0.5 m $ \times $6 m（宽 $ \times $ 高 $ \times $ 长），水槽底面和侧壁为高透钢化玻璃。水泵转速由变频器控制，可实现实验段自由来流速度u∞ = 0.05～0.5 m/s的变速调节。实验中自由来流速度u∞ = 0.158 m/s。实验边界层平板长2.5 m、宽0.38 m、厚15 mm，材质为高透有机玻璃板。实验时，将边界层平板倒扣于水面，并将直径5 mm的绊线固定于距边界层平板前缘下游0.41 m处，以保证拍摄的流场区域为充分发展的湍流区域。实验中使用的示踪粒子为直径dp = 10 μm、密度ρp = 1.03 g/cm3的空心玻璃圆球。相机型号为Phantom VEO E‒340L，满幅像素为
2560 像素 $ \times $1680 像素，搭配100 mm定焦镜头。激光器为镭宝公司的Vlite‒Hi‒527‒30，出光频率为0.1～10.0 kHz，实验采样频率f0 = 120 Hz。相机拍摄区域沿流向距绊线0.6 m，测量视野范围（Field of View, FOV）为52 mm$ \times $33 mm（流向 $ \times $ 法向），共计得到6000 个时间序列的瞬时速度场。实验装置如图1（b）所示，激光片垂直照射于平板面可有效减少壁面反光带来的误差，更多细节如图1（c）和（d）所示。湍流边界层基本流动的相关参数如表1所示。表 1 湍流边界层基本流动相关参数Table 1 Basic flow related parameters of turbulent boundary layer参数 值 u∞/(mm﹒s−1) 158 边界层厚度δ/mm 33.576 动量损失厚度θ/mm 3.26 统计平均的壁面摩擦速度uτ/(mm﹒s−1) 8.6 基于动量损失的雷诺数${{Re} _\theta }$ 428 基于边界层位移的雷诺数${{Re} _{{\delta ^ * }}}$ 4411 基于摩擦速度的雷诺数${{Re} _\tau }$ 240 1.2 ASTRCC算法
牛顿内摩擦定律经常被用于壁面摩擦阻力的测量。对壁面法向距离与流向速度进行无量纲分析：
$$ {y^ + } = y\frac{{{u_\tau }}}{\nu} $$ (1) $$ {u^ + } = \frac{u}{{{u_\tau }}} $$ (2) $$ {u_\tau } = \sqrt {\tau /\rho } $$ (3) 式中：上标“ + ”表示通过壁面单位进行无量纲化；$ y $为流场中一点到壁面的法向距离；$ {u_\tau } $为壁面摩擦速度；$ u $为流体的流向速度；$ \tau $为壁面摩擦阻力；$ \rho $为流体密度；$ \nu $为流体运动黏性系数。
在0 < $ {y^ + } $ < 5的黏性底层区域内，流体流向速度随壁面法向高度呈线性分布，可表示为：
$$ {y^ + } = {u^ + } $$ (4) 壁面摩擦阻力与速度梯度的变化相关联，其精确性也取决于速度梯度的精确性，即：
$$ \tau = \mu \frac{{ \partial u}}{{ \partial y}} $$ (5) 式中：$ \mu $为流体动力黏性系数。
PIV通过求解IW内示踪粒子的速度来近似代替IW区域流场的平均速度，因而IW的大小决定了所测流场区域速度的分辨率和精确性。近壁面流场结构复杂，IW尺寸过大，会导致分辨率过低，无法捕捉近壁流场结构；IW尺寸过小，则粒子信息过少，流场无法解析，误差大幅上升。本质上，Kähler等[15]提出的SPEC算法通过牺牲时间信息得到高法向空间分辨率，而Willert[17]提出的SRCC算法则是在牺牲流向空间信息的代价下保留了时间分辨率。
本文结合SPEC算法和SRCC算法的优势，用ASTRCC算法在补足IW灰度信息的前提下，保留了可观的时空分辨率。如图2所示，在2组时间序列的粒子图像中，首先选择“长扁条”形状的IW，即下文式（6）中$ {\boldsymbol{A}}(x,y) $、$ {\boldsymbol{B}}(x + {\text{Δ}} x,y + {\text{Δ}} y) $图像矩阵及其对应的总体灰度矩阵$ \overline {\boldsymbol{A}}(x,y) $、$ \overline {\boldsymbol{B}}(x + {\text{Δ}} x,y + {\text{Δ}} y) $都应列数远大于行数，其结果的空间法向分辨率应远大于流向分辨率。其次，基于Shen等[18]计算的具有固定位置的IW空间相关性$ {\boldsymbol{R}}\left( {x,y,{\text{Δ}} x,{\text{Δ}} y} \right) $，将时间序列1，2，3，…，N的集合进行扩展，以充分满足Okamoto等[19]提出的灰度信息要求，进而结合时间序列求出该区域瞬时平均速度。此时，IW的法向尺度为法向空间分辨率，流向尺度为流向空间分辨率，扩展的时间序列总长度为时间分辨率。式（6）为1个IW的$ {\boldsymbol{A}}(x,y) $与其相邻域$ ({\text{Δ}} x,{\text{Δ}} y) $的集合相关系数：
$$ \begin{gathered} {\boldsymbol{R}}\left( {x,y,{\text{Δ}} x,{\text{Δ}} y} \right) = \frac{1}{N} \times \\ \frac{{\sum\nolimits_{ n = 1}^N { \left\{ { \left[ {{ {\boldsymbol{A}}_n} \left( { x , y} \right) - {{\overline {\boldsymbol{A}} }_n} \left( { x , y } \right) } \right] \left[ {{{\boldsymbol{B}}_n} \left( { x + {\text{Δ}} x, y + {\text{Δ}} y} \right) - {{\overline {\boldsymbol{B}} }_n} \left( { x + {\text{Δ}} x, y + {\text{Δ}} y} \right)} \right]} \right\} } }}{{\sigma \left( {{{\boldsymbol{A}}_{{n,A}}}} \right)\sigma \left( {{{\boldsymbol{B}}_{{n,B}}}} \right)}} \\ \end{gathered} $$ (6) 式中：x为流向位置；N为时间序列的粒子图像对数量；σ为标准差。将N个连续图像对相同位置处IW中的$ {\boldsymbol{A}}_n(x,y) $与$ {{\boldsymbol{B}}_n}(x + {\text{Δ}} x,y + {\text{Δ}} y) $的灰度图像矩阵减去总体灰度矩阵，再通过标准差σ（式（7））将互相关系数$\boldsymbol{R} $归一化。
$$ \sigma \left( {{{\boldsymbol{A}}_{n,A}}} \right) = \sqrt {\frac{1}{N}\sum\nolimits_{n = 1}^N {{{[{{\boldsymbol{A}}_n}(x,y) - {{\overline {\boldsymbol{A}} }_n}(x,y)]}^2}} } $$ (7) 使用具有显示公式的二维高斯回归求解亚像素级的波峰[20]，获得从源像素$ (x,y) $到互相关系数峰值$ {\boldsymbol{R}} $的偏移$ ({\text{Δ}} x,{\text{Δ}} y) $，并依据$ u = {{{\text{Δ}} x} /{t} }$1（t1为2组时间序列间的时间间隔）得到每个IW内的平均瞬时速度，进而得到瞬时流场近壁面流向速度信息、速度梯度信息，最终得到具有时空分辨率的摩阻信息。
2 结果与讨论
2.1 瞬时摩阻与平均速度剖面
根据实验需求，本实验中粒子浓度为
0.0075 粒子/像素，实验放大倍数为20 μm/像素，示踪粒子直径为4～5 像素，IW为128 像素 $ \times $ 2 像素，时间序列N为2，黏性底层区域0 < y+ < 5法向高度约为34 像素。对应求得的摩阻时空信号的流向分辨率为19内尺度无量纲单位，时间间隔$ {t^ + } = {{t_0}u_\tau ^2} / \nu \approx 0.51 $（t0 = 1/f0）。图3（a）为黏性底层某时刻的瞬时流向速度分布，从图中可以看出，该时刻的瞬时流向速度呈明显的线性分布。参照申俊琦等[21]对平板湍流边界层瞬时摩擦阻力的数据处理方法，对测量数据点进行最小二乘拟合，得到直线斜率，并通过式（5）计算该时刻的瞬时摩擦阻力。图3（b）为法向各数据点的残差情况，图中红色点代表该数据点的95％置信区间不包含零点，蓝色点代表该数据点的95％置信区间包含零点。图中96.6％的残差数据点的95％置信区间均包含零点，表明回归模型拟合的直线与原始数据符合较好。
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图 3 瞬时流向速度的线性拟合及残差情况Fig. 3 Linear fitting and residual of instantaneous flow velocity将瞬时摩擦阻力沿时间方向求平均，根据式（3）求得时均壁面摩擦速度，再结合PIV计算出的平均速度，通过式（1）和（2）求得如图4所示的平均速度剖面。由图可见，所得平均速度剖面符合文献[22-23]中黏性底层线性递增分布律（式（4）），同时也符合对数律区规律（式（8））。
$$ {u^ + } = \frac{1}{\kappa }\ln {y^ + } + {B_0} $$ (8) 式中：κ为卡门常数，本文取0.41；B0为积分常数，本文取5.0。
2.2 摩阻时空信号的时空特性
为判断所得摩阻时空信号的可靠性，本节重点分析了摩阻时空信号的分布特性，主要包括摩阻信号的空间分布、时间分布及与湍流事件/湍流结构的关联特性等。
2.2.1 不同时刻同一流向线性空间的摩阻信号分布规律
根据实验条件，图5（a）给出了t和t + Δt （Δt = 4t+）2个时刻摩阻在流向线性空间的分布情况，图中纵坐标为瞬时摩擦切应力减去平均摩擦切应力的无量纲化值（τw为瞬时壁面摩擦阻力，$ \overline{u}_{\tau} $为平均壁面摩擦速度），横坐标为基于边界层厚度无量纲化后的流向位置。由图可知，摩阻信号的波峰向下游自然迁移。图5（b）中，${\boldsymbol{R}} $(t)(t)为t时刻信号的自相关，${\boldsymbol{R}} $(t)(t + Δt)为t与t + Δt时刻信号的互相关，两相关信号峰值对应的流向距离之差Δxmax为两信号的位移差，即两间隔为Δt的空间摩阻信号向下游传播的位移为Δx，据此计算出的信号传播速度约为0.53$u_ {{\infty}}$。
图6为近壁流场速度梯度和结构的扫掠与喷射事件图，以速度等值线示意，蓝色线条为黏性底层与缓冲层交界处的速度等值线，速度约为0.25$u_ {{\infty}} $。图中速度等值线由于Q2喷射事件而向斜上方向凸起，速度梯度变小，摩擦阻力降低； Q4扫掠事件则导致速度等值线向斜下方向凹入，速度梯度变大，摩擦阻力增大。为体现一般性，图7为另一时刻的摩阻在流向上的空间分布，由图可见，摩阻变化呈多尺度脉动特性，与Wang等[24]的观察结果一致，且波峰与波谷处的脉动幅值相当，这可能也与近壁区域结构的扫掠和喷射事件有关[25-26]。为了探索这种关联性，对摩阻波峰与波谷的局部PIV计算流场进行分析，结果如图8所示。图8中u′、v′分别表示流向和法向脉动速度，易知$ u' = u - \overline u $，$ v' = v - \overline v $。若大多数散点位于第Ⅱ象限（u′ < 0，v′ > 0），则该局部流场存在喷射事件；若大部分散点位于第Ⅳ象限（u′ > 0，v′ < 0），则该局部流体为扫掠流体。图7中矩形虚线框的摩阻信号处于波谷期，对应时刻的近壁流场局部区域（流向尺度为0.1$ {x \mathord{\left/ {\vphantom {x \delta }} \right. } \delta } $，法向尺度为1内尺度无量纲单位）脉动速度散点图主体位于第Ⅱ象限，如图8中蓝色方框所示，表明该局部流场出现了喷射事件。图7中圆形虚线框的摩阻信号处于波峰期，对应时刻的近壁流场局部区域（流向尺度为0.15$ {x \mathord{\left/ {\vphantom {x \delta }} \right. } \delta } $，法向尺度为1内尺度无量纲单位）脉动速度散点图位于第Ⅳ象限，如图8中红色圆点所示，表明局部流体发生扫掠，摩阻增大。
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图 6 近壁流场扫掠与喷射示意图Fig. 6 A schematic sketch to show the "sweeping" and "ejection" in the near-wall flow field![]()
图 7 摩阻与结构关联示意图Fig. 7 Schematic diagram of the correlation between friction stress and structure2.2.2 不同流向空间点上摩阻时间信号的分布规律
图9（a）为某时刻摩阻在流向线性空间的分布曲线，同时在该时刻选择流向空间固定点x/δ = 0.33为C点、x/δ = 0.97为D点。过C点的壁面摩阻时间信号为uτ,C，过D点的时间信号为uτ,D。基于文献[27]研究频谱密度的方法，观察频谱密度曲线变化，结果如图9（b）所示，图中Φ为振动幅值。由图可见，uτ,C与uτ,D都是低频信号。uτ,C与uτ,D的频谱密度曲线在3 Hz以后幅值很小，因此选取3 Hz作为截断频率，频率f ＞ 3 Hz视为外界噪音，f ＜ 3 Hz视为壁面摩阻的时间信号。对时间信号进行重构，得到C、D点降噪后的时间信号，如图10所示。
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图 9 流向空间摩阻时间信号频谱图Fig. 9 Flow direction space friction stress and time signal spectrum diagram![]()
图 10 不同流向空间摩阻时间序列Fig. 10 Time series of spatial friction stress in different flow directions图10（a）和（b）分别为图9（a）中C、D点的壁面摩阻时间信号。不难发现，图10（a）虚线框、实线框、点划线框分别与图10（b）中的相同线型框一一对应。这些相同线型方框中的波峰在时间上有一定延迟性，表明不同空间位置的摩阻信号在时间上有延迟性，这也与2.2.1节流向线性空间摩阻信号的时间延迟性相对应。图11为C、D点的摩阻时间信号相关性分析结果。从图中可以看出，在Δt = 0.25 s时相关性最高，表明C点的摩阻信号延迟了0.25 s到达D点，同时，从图中也可以观察到波峰具有周期性。图12为摩阻相关性信号与对应流向速度的互相关结果对比图，$\boldsymbol{R} $(u)(u)为对应流向速度互相关信号，$\boldsymbol{R}_{(u_{{\text{τ}},C})(u_{{\text{τ}},D})} $为摩擦速度互相关信号，由图可见，二者互相关变化趋势基本一致。这表明摩阻周期与高低速条带在流向上的转变周期一致，二者密切相关。根据C、D点的空间距离和摩阻信号的时间延迟，可计算出摩阻信号在流向上的传输速度vc = 0.086 m/s，得到传输速度与自由来流速度的比值vc/$u_ {{\infty}} $= 0.54。Tian等[28]基于展向涡结构的时空拓扑追踪，得到缓冲层内结构的迁移速度约为0.55$u_ {{\infty}} $，与上述结果相符；同时，也与上节空间摩阻信号在时间上的传播速度约为0.53$u_ {{\infty}} $一致。
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图 12 流向速度与摩阻互相关结果对比图Fig. 12 Flow velocity and friction stress cross-correlation diagram2.2.3 摩阻信号与流动结构的时空关联
李雅普诺夫指数（FTLE）通过表征流场中2个邻近粒子轨道之间的指数增长率，从而以拉格朗日的视角识别复杂流场中的湍流结构[29]。瞬时流场对应的FTLE场可看作湍流结构场，FTLE代表湍流结构信号。探究FTLE结构信号与摩阻信号的相关性，一方面有助于解释ASTRCC算法的自洽性，另一方面有助于理解摩阻信号与流动结构之间的时空关联。图13为图10中C点流向位置不同法向高度上FTLE信号的时间序列及其与C点摩阻时间信号的相关性分析结果。由图可见：黏性底层区不同高度的FTLE信号与摩阻时间信号的互相关分析具有一致性，二者互相关信号出现了4个明显峰值，说明二者具有周期性关联；同时相较于FTLE信号，摩阻信号具有一致的时间延迟性，表明摩阻受湍流结构的影响而产生变化。
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图 13 时空FTLE与摩阻相关性分析Fig. 13 Analysis of the correlation between spatiotemporal FTLE and frictional stress3 结 论
本文采用2D2C TRPIV技术对湍流边界层近壁流场进行实验测量，利用提出的ASTRCC算法，得到了湍流边界层黏性底层内具有时间序列的、高空间分辨率的流场信息，并依此计算出具有时空信息的摩阻信号，得到以下结论：
1）ASTRCC算法可以成功捕捉壁湍流黏性底层内的速度梯度变化，可以得到具有时间分辨率的、具有一定流向线性空间分辨率的摩阻时空信号。
2）摩阻的空间信号和时间信号分别在时间和空间上具有延迟性，其对应的信号迁移速度与缓冲层内湍流结构的迁移速度一致。
3）摩阻信号的高摩阻区与近壁流场扫掠事件相对应，低摩阻区与近壁流场喷射事件相对应。
4）摩阻时间信号的产生与近壁黏性底层内的湍流结构信号相关联，具有明显滞后性和周期性。
综上所述，本文提出的ASTRCC算法在计算壁面摩阻时空信号方面具有可靠性，同时在与湍流事件和湍流结构迁移变化的关联分析上体现了自洽性。
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图 3 集合成员迎角在ETKF同化前后的分布
Fig. 3 Distribution of ensemble angel of attack before and after ETKF assimilation
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图 4 集合成员马赫数在ETKF前后的分布
Fig. 4 Distribution of ensemble Mach number before and after ETKF assimilation
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图 5 集合的迎角及马赫数均值随迭代过程的变化
Fig. 5 Mean of angle of attack and Mach number changes with iterations
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图 7 ETKF同化后的压力系数曲线与线性理论修正曲线对比
Fig. 7 Comparison of the pressure coefficient curve after assimilation of ETKF with the linear theory correction
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图 11 NACA 0012的ETKF同化结果与实验值的对比
Fig. 11 Comparison of ETKF assimilation results with experimental values in NACA 0012
表 1 RAE 2822 网格质量及节点数量
Table 1 Quality and node number of RAE 2822 mesh
单元质量最小值 网格节点数量 第一层网格高度/m 值 0.9441 77429 4.2 × 10−6 
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表 2 ETKF前后集合成员迎角、马赫数的均值及方差
Table 2 Mean and variance of ensemble angle of attack and Mach number before and after ETKF
迎角 马赫数 初始均值 2.310° 0.729 ETKF后均值 2.434° 0.7328 初始方差 3.192 × 10−2 2.770 × 10−4 ETKF后方差 1.039 × 10−3 2.770 × 10−7
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表 3 RAE 2822 case 6边界条件
Table 3 Boundary condition of RAE 2822 case 6
迎角/(°) 马赫数 雷诺数 原始条件 2.92 0.725 6.5 × 106 线性理论 2.31 0.729 6.5 × 106 ETKF 2.43 0.733 6.5 × 106
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表 4 ETKF同化和线性理论修正后CL和Cm、激波位置Cp平均相对误差与实验值的对比
Table 4 Comparison of CL, Cm and Cp average relative error near the shock wave position between ETKF, linear theory and experiment
Cp平均相对误差 CL CL误差 Cm Cm误差 实验值 — 0.7430 — −0.0950 — ETKF 5.741% 0.7379 0.67% −0.0941 0.95% 线性理论 8.881% 0.7120 4.17% −0.0918 3.37%
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表 5 NACA0012 网格质量及节点数量
Table 5 Quality and node number of NACA 0012 mesh
最小单元 节点数量 第一层网格高度/m 值 0.8818 32050 1.0 × 10−5
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表 6 4组实验的压力测点序号及迭代次数
Table 6 The number of pressure measuring points and iteration times of 4 groups of experiments
使用的压力测点序号 迭代次数 同化实验1 1，2，3，4，5，6 3 同化实验2 7，8，9，10，11，12 3 同化实验3 1，5，9，13，17，21 3 同化实验4 1～44（所有测点） 4
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表 7 4组实验ETKF后的迎角、马赫数及压力系数平均相对误差
Table 7 Angle of attack, Mach number and pressure coefficient average relative error after ETKF in 4 groups of experiments
迎角/(°) 马赫数 压力系数平均相对误差 同化实验1 3.3932 0.3884 2.42% 同化实验2 3.7286 0.3937 5.74% 同化实验3 3.5340 0.3928 3.77% 同化实验4 3.4159 0.3131 1.05% 未同化实验 4.0208 0.4022 8.72%
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