Experimental study on stall characteristics of wing sections with leading-edge protuberances inspired by humpback whale flipper
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摘要:
近年来，相关研究表明仿座头鲸鳍肢前缘凸起可以有效延缓翼段失速或者改善失速后翼段气动性能。为研究仿生前缘凸起翼型的流动分离现象，针对二维平直翼段 NACA 634-021以及带有单个和两个前缘凸起的改型翼段开展了粒子图像测速（PIV）实验研究。对比了不同迎角下各翼段吸力面的平均速度、湍动能等统计量的分布，并对实验数据进行了本征正交分解（POD）模态分析，从能量的角度对失速过程中的流动结构进行了研究。研究发现，单、双凸起翼段都具有两步失速特性，当发生单侧失速时，凸峰处存在稳定的附着流动，抑制了失速区向凸起另一侧的扩展，起到了类似于翼刀的作用；相比于单凸起翼段，双凸起翼段在更小的迎角发生失速模式的转换；POD分解的各阶模态的能量大小与翼段所处的失速模式有关，失速模式的切换同时导致流场中流动结构的特征发生变化；单凸起翼段处于单侧失速与双侧失速转换的临界迎角时，流动分离模式具有不稳定性。本研究为仿生前缘凸起翼型的理论研究和工程应用提供了实验参考。
Abstract:In recent years, relevant studies have shown that wing sections with humpback whale-like leading-edge protuberances can effectively delay stall and improve aerodynamic performance after stall. To investigate the flow separation phenomenon of the biomimetic leading-edge protuberances wing section, a particle image velocimetry (PIV) experimental study on the NACA 634-021 wing section and modified wing sections with single and double leading-edge protuberances is carried out. The distributions of statistics such as the average velocity of the wing section suction surface and the turbulent kinetic energy at different angles of attack are compared. The proper orthogonal decomposition (POD) method is adopted to analyze the experimental data. The flow structures during the stall process are analyzed from an energy perspective. The study finds that: both single and double leading-edge protuberances wing sections have two-step stall characteristics. When a unilateral stall occurs, there is a stable attached flow at the convex peak, which suppresses the extension of the stall zone to the other side of the convex peak and plays a role similar to a wing blade. Compared to the single leading-edge protuberance wing section, the wing section with double leading-edge protuberances undergoes stall mode transition at smaller angles of attack. The energy of each mode of POD decomposition is related to the stall mode at which the wing section is located. The characteristics of the flow structure in the flow field change with the switching of stall modes. The flow separation mode of the single leading-edge protuberance wing section exhibits instability during the transition from unilateral stall to bilateral stall. This study provides an experimental reference for the theoretical research and potential engineering application of biomimetic leading-edge protuberances wing sections.
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0 引 言
提高风洞系统的控制性能，使流场达到良好的品质，以测取高精度的吹风试验数据，既是风洞流场调节的主要目标，也是进行飞行器设计定型工作的重要保障。风洞流场是一个运行过程非常复杂的系统，影响流场运行的扰动来源多而复杂。流场的干扰源可分为非时变干扰和时变干扰。非时变干扰指的是干扰源在相对较长的一段时间内保持不变，例如阶梯变迎角试验中模型迎角阶梯变化对马赫数的干扰。而时变干扰指的是干扰源是持续变化的，例如连续变迎角试验中迎角连续变化对马赫数造的干扰。
目前关于风洞流场抗时变干扰控制方法国内外可查询的文献十分有限。国内2.4 m跨声速风洞在低马赫数时采取提高PI积分作用的控制策略，在高马赫数时采取基于动态在线修正的前馈控制技术，连续变迎角试验马赫数的控制精度达到0.003[1]。为了在存在时变干扰情况下，进一步提高风洞流场的控制精度，袁平与易凡等采用模型预测控制[2-3]和迭代学习[4]等方法，取得了一定的控制效果。
国外，Ronald等将预测控制成功应用于美国国家航空航天实验室的一座2 m量级连续式跨声速风洞流场控制，相比经典的PI控制，控制性能提升了30%～60%。采用预测控制后，在保证同样的马赫数控制精度前提下，迎角变化速度从0.07 (°)/s提高到了0.5 (°)/s[5]。Nguyen等[6]提出了基于预测模型的最优控制，通过调节压缩机进气导叶的角度，实现了NASA下属的一座11英尺的连续式风洞变迎角试验中马赫数的稳定控制。Sutcliffe等[7]采用基于神经网络的模型预测控制，实现了某低速连续式风洞试验段总温的跟踪控制。
现有的风洞流场抗时变干扰控制方法主要基于预测控制。这类方法的控制效果十分依赖于预测模型的准确性，而在不同试验状态下，预测模型有所差异，难以通用，因此预测控制存在的主要问题是需要频繁的通过试验获取数据用于辨识和建模，增加了试验成本和降低了试验效率。虽然，目前有些研究者通过案例推理法期望利用已有的预测模型去推理新工况下的预测模型，但是仍然难以保证新推理预测模型的准确性[8-9]。另一方面，预测控制参数较多，且参数之间存在复杂的关联，不同参数的组合会显著影响控制效果，因而给缺乏经验的工程设计人员带来了极大的挑战[10]。
本文针对风洞流场控制中涉及的时变干扰问题，提出了一种新型的前馈-反馈复合控制方案。前馈控制采用超前校正的增量式扩张状态观测器（Lead Correction based Incremental Extend State Observer，LIESO），反馈控制采用增量式比例积分控制（Proportional-Integral，PI）。LIESO是以扩张状态观测器ESO（Extend State Observer，ESO）为基础。ESO将系统中的不确定项或者干扰项视为系统中状态之一，建立新的状态方程，对状态进行观测，得到系统的干扰项。通过前馈补偿的方法，可以对干扰进行快速抑制。增量式ESO（IESO）是对常规ESO形式上的转换，采用增量式控制器的好处是易实现控制方法之间无扰切换。考虑到时变干扰的变化率有可能较快，为了确保ESO能够及时跟随上时变干扰的变化，利用超前校正技术提高ESO对快速变化的时变干扰的跟踪能力。本文主要介绍了风洞流场时变干扰源、ESO基本原理、LIESO + PI复合控制器设计、仿真研究、试验验证，最后对全文工作进行了总结。
1 风洞流场时变干扰源
风洞流场的时变干扰源主要有以下4种：
1）试验模型姿态的连续调整。其中以连续变迎角试验最具代表性。目前连续变迎角试验技术仍难以大范围推广应用，其中一个难点就是亚跨试验过程中，风洞流场控制系统难以抑制连续变迎角过程中马赫数的波动。
2）气源压力的下降。我国风洞目前主要以暂冲式为主，受气源容量限制，气源压力会随着试验进程的推进而逐渐下降。尤其对于1米量级以上的暂冲式高速风洞，试验过程中气源下降速度很快，会对风洞流场控制造成很大的影响[11]。
3）流场间的相互耦合作用。如连续式风洞通过改变压缩机转速调节马赫数过程中，会引起总压的波动。
4）流场控制目标的连续变化。某些试验要求流场参数按照某个预定的曲线进行跟随控制。例如全模颤振试验要求马赫数或者总压随时间线性变化[12]，超声速连续变马赫数试验要求总压与马赫数匹配变化。
从控制学科角度来说根据时变干扰的变化趋势可将时变干扰划分为：一阶干扰、二阶干扰以及高阶干扰。一阶干扰指的是干扰变化规率可用一次多项式拟合，高阶干扰以此类推，一般来说高阶干扰更加难以控制。目前风洞试验所涉及的时变干扰问题绝大多数为一阶干扰和二阶干扰，如气源压力下降可近似为一阶干扰，试验模型姿态的连续调整可近似为二阶干扰，也可近似为分段一阶干扰。
2 ESO基本原理
ESO是韩京清提出的自抗扰控制技术中核心部分[13-14]，用来估算系统干扰。为了减少整定参数、便于工程应用，高志强等提出了线性ESO[15-16]。下面简单介绍线性ESO的原理。
考虑一阶非线性、参数不确定系统：
$$ \dot y(t) = f(y,\omega ,u) + bu(t) $$ (1) 式中：f表示内部和外部综合干扰；ω为系统外部干扰；y(t)为系统的输出，u(t)为系统的输入，b为系统参数。本文变量上方加“·”表示导数。将f扩展为系统的状态变量x2 = f，则可得到上述一阶系统的扩张状态方程：
$$ \left\{ \begin{gathered} {{\dot x}_1}(t) = {x_2}(t) + bu(t) \\ {{\dot x}_2}(t) = d \\ y(t) = {x_1}(t) \\ \end{gathered} \right. $$ (2) 式中：x1，x2为系统的状态变量，$d = \dot f(y,\omega ,u)$。对式（2）设计相应的二阶ESO，其表达式为：
$$ \left\{ \begin{gathered} {e_1}(t) = y(t) - {z_1}(t) \\ {{\dot z}_1}(t) = {z_2}(t) + {\beta _1}e(t) + {b_0}u \\ {{\dot z}_2}(t) = {\beta _2}e(t) \\ \end{gathered} \right.(t) $$ (3) 式中：z1为系统输出y的估计值，z2为干扰f的估计值，β1、β2为扩张状态观测器的增益，b0为b的估计值。当β1、β2取值恰当时，ESO可以实现对系统状态的跟踪，即z1→y，z2→f。文献[15]采用带宽的概念对ESO的参数进行整定，令ESO的带宽为ω0，则有：
$$ {\beta _1} = 2{\omega _0},{\text{ }} {\beta _2} = \omega _0^2 $$ (4) 通过ESO，在得出系统干扰的估计值z2后，即可采用前馈补偿对干扰进行抑制，前馈补偿量uF按照下式计算：
$$ {u_{\text{F}}} = - {z_2}/{b_0} $$ (5) 3 风洞流场复合控制系统设计
本文以中国空气动力研究与发展中心的1.2 m × 1.2 m引射式跨超声速风洞（以下简称1.2 m风洞）跨声速试验的马赫数控制为研究对象，来进行LIESO + PI复合控制系统的设计。1.2 m风洞亚跨声速马赫数范围为0.3～1.4。该风洞跨声速试验有2种典型的运转方式：①定马赫数阶梯变迎角；②定马赫数连续变迎角。本文的研究的范围是方式②。风洞运行过程中分为充气启动和调节运行阶段。启动过程是指对风洞快速充压以尽快达到稳定流场，调节过程是对风洞流场目标进行闭环控制。该风洞在调节过程是通过控制栅指位置来调节马赫数。
3.1 LIESO前馈控制设计
3.1.1 增量式ESO设计
风洞流场可近似为式（1）中的一阶非线性、参数不确定系统，可对应设计二阶ESO，见式（3）。对式（3）进行离散化，为简便，采用后向欧拉离散法，得到离散后的ESO：
$$ \left\{ \begin{gathered} {e_1}(k) = y(k) - {z_1}(k - 1) \\ {z_1}(k) = {z_1}(k - 1) + h\left[ {{z_2}(k - 1) + 2{\omega _0}{e_1}(k) + {b_0}u(k)} \right] \\ {z_2}(k) = {z_2}(k - 1) + h\omega _0^2{e_1}(k) \\ \end{gathered} \right. $$ (6) 式中：h为风洞控制系统的控制周期，y(k)为马赫数反馈，u(k)为栅指位置反馈。将式（6）往前平移一个周期，得到：
$$ \left\{ \begin{gathered} {e_1}(k - 1) = y(k - 1) - {z_1}(k - 2) \\ {z_1}(k - 1) = {z_1}(k - 2) + \\ \qquad h\left[ {{z_2}(k - 2) + 2{\omega _0}{e_1}(k) + {b_0}u(k - 1)} \right] \\ {z_2}(k - 1) = {z_2}(k - 2) + h\omega _0^2{e_1}(k - 1) \\ \end{gathered} \right. $$ (7) 式（6）～（7），简化后得到增量式ESO：
$$ \left\{ \begin{gathered} \Delta {e_1}(k) = y(k) - y(k - 1) - \Delta {z_1}(k - 1) \\ \Delta u(k) = u(k) - u(k - 1) \\ \Delta {z_1}(k) = \Delta {z_1}(k - 1) + \\ \qquad h\left[ {\Delta {z_2}(k - 1) + 2{\omega _0}\Delta {e_1}(k) + {b_0}\Delta u(k)} \right] \\ \Delta {z_2}(k) = \Delta {z_2}(k - 1) + h\omega _0^2\Delta {e_1}(k) \\ \end{gathered} \right. $$ (8) 式中：符号$ \Delta $表示相邻两个控制周期间某个变量的增量；当β1、β2取值恰当时，$ \Delta {z_2}(k) $→$ \Delta f $，$ \Delta f $为相邻两个控制周期间的f的增量。
3.1.2 初值修正
所谓初值修正，即对式（8）中的增量式ESO给定一组合适的初值∆z1(k−1)、∆z2(k−1)、u(k−1)、y(k−1)，使得：1）ESO在切入过程中系统能够平稳，实现无扰切入；2）在外部干扰产生瞬间，ESO对干扰的观测误差最小。为了便于下文的阐述，首先对1.2 m风洞的连续变迎角试验流程进行简要的介绍，该试验流程如图1所示，分为以下步骤：
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图 1 连续变迎角试验流程示意图Fig. 1 Schematic diagram of continuous sweep angle of attack test process1）试验模型迎角运行至0°，风洞开车建立初始流场；
2）等待流场稳定后（t1时刻），迎角从0°运动至初始角度α1（α1一般为负角度）；
3）等待流场再次稳定后（t2时刻），迎角从初始角度α1运行至终止角度α2（t3时刻）；
4）迎角回零，风洞关闭。
ESO在t1投入运行，在t3时刻终止。∆z1(k − 1)、u(k − 1)、y(k − 1)按照下式赋值：
$$ \Delta {z_1}(k - 1) = 0, u(k - 1) = u({t_1}), y(k - 1) = y({t_1}) $$ (9) 而∆z2(k − 1)需要分2种情况：
1）t1时刻当迎角从0°开始变化时，可认为迎角对马赫数的干扰增量∆f(t1)接近为0，因此∆z2(k − 1)也可设置为0；
2）t2时刻当迎角从初始角度α1开始变化时，∆f(t2)不为0，且∆f(t2)的值未知，在这种工况下如果设置∆z2(k − 1) = 0，则会在连续变迎角初始阶段造成干扰估算误差较大，不能及时抑制迎角对马赫数的干扰。可以利用迎角从0°运动至初始角度α1这一过程，实时比较∆z2(t)的值，记录其最小值∆z2(t)min，当t2时刻迎角从α1开始运行瞬间，令：
$$ \Delta {z}_{2}(k\text−1)=－\Delta {z}_{2}{\left(t\right)}_{\text{min}} $$ (10) 式中：负号表示在0°～α1和α1～0°这2个变化过程中迎角对马赫数的干扰是反向的。
3.1.3 设计超前校正
首先对ESO的收敛性进行分析。令ESO干扰的观测误差为e2：
$$ {e_2}(t) = {z_2}(t) - f $$ (11) 对式（1）、（3）、（11）进行拉氏变换可到f和z2之间的传递函数φ1(s)，以及f和e2之间的传递函数φ2(s)：
$$ {\varphi _1}(s) = \frac{{L({z_2})}}{{L(f)}} = \frac{{\omega _0^2}}{{{s^2} + 2{\omega _0}s + \omega _0^2}} $$ (12) $$ {\varphi _2}(s) = \frac{{L({z_2})}}{{L(f)}} - 1 = \frac{{{s^2} + 2{\omega _0}s}}{{{s^2} + 2{\omega _0}s + \omega _0^2}} $$ (13) 式中：L为拉氏变换算子，s表示复频域。由终值定理可得e2的稳态值为：
$$ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {e_2}(t) = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s{\varphi _2}(s)L(f) $$ (14) 若f为单位阶跃信号，e2的稳态值为0；若f为单位斜坡信号，e2的稳态值为$(1 + 2{\omega _0})/\omega _0^2$。因此，ESO对于一阶干扰存在稳态观测误差。为了实现ESO对一阶干扰零静差估计，本文采用超前校正的方法。超前校正的传递函数可表示为：
$$ LC(s) = \frac{{Ts + 1}}{{\sigma Ts + 1}} $$ (15) 式中：T为时间常数，0 < σ < 1。对z2进行超前校正，z2LC为校正后的干扰估计值，经过超前校正后的干扰观测误差记为e2LC。f和z2LC以及f和e2LC之间的传递函数，分别记为φ1LC(s)、φ2LC(s)，则:
$$ \begin{split} {\varphi _{{\text{1LC}}}}(s) = &\frac{{L({z_{2{\text{LC}}}})}}{{L(f)}}{\text{ = }}\frac{{L({z_2})LC(s)}}{{L(f)}} = \\& \frac{{\omega _0^2}}{{{s^2} + 2{\omega _0}s + \omega _0^2}}\frac{{Ts + 1}}{{\sigma Ts + 1}} \\ \end{split} $$ (16) $$ \begin{split} {\varphi _{2{\text{LC}}}}(s) = {\varphi _{1{\text{LC}}}}(s) - 1 = \\ {\text{ }}\frac{{\omega _0^2}}{{{s^2} + 2{\omega _0}s + \omega _0^2}}\frac{{Ts + 1}}{{\sigma Ts + 1}} - 1 \\ \end{split} $$ (17) 由终值定理可得，当f为单位斜坡信号，e2LC的稳态值为
$$ \begin{split} & \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {e_{{\text{2LC}}}}(t) = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s{\varphi _{2{\text{LC}}}}(s)L(f) = \\&\;\;\; {\text{ }}\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s\left( {\frac{{\omega _0^2}}{{{s^2} + 2{\omega _0}s + \omega _0^2}}\frac{{Ts + 1}}{{\sigma Ts + 1}} - 1} \right)\frac{1}{{{s^2}}} \\ \end{split} $$ (18) 令式（18）等于0，则：
$$ T = \frac{2}{{{\omega _0}(1 - \sigma )}} $$ (19) 将式（15）离散化后得到∆z2LC的表达式：
$$ \begin{split} \Delta {z_{{\text{2LC}}}}(k) =& \frac{1}{{\sigma Th}}[(T + h)\Delta {z_2}(k) + \\& T\sigma \Delta {z_2}_{{\text{LC}}}(k - 1) - T\Delta {z_2}(k - 1)] \\ \end{split} $$ (20) 式中：初值∆z2LC（k − 1）取值原则与∆z2（k − 1）相同。
综上，针对时变干扰的前馈控制量可表示为：
$$ \left\{ \begin{gathered} \Delta {u_{\text{F}}}(k) = - \Delta {z_{{\text{2LC}}}}(k)/{b_0} \\ {u_{\text{F}}}(k) = {u_{\text{F}}}(k - 1) + \Delta {u_{\text{F}}}(k) \\ \end{gathered} \right. $$ (21) 式（8）、（9）、（10）、（20）、（21）构成了LIESO前馈控制，LIESO共有3个控制参数需要整定，即：ω0、b0和σ。
3.2 PI反馈控制设计
为了实现控制器的无扰切换，本文PI反馈控制也采用增量式，其表达式为：
$$ \left\{ \begin{gathered} \Delta {u_{{\text{PI}}}}(k) = {k_{\text{p}}}\left[ {e(k) - e(k - 1)} \right] + {k_{\text{i}}}e(k) \\ {u_{{\text{PI}}}}(k) = {u_{{\text{PI}}}}(k - 1) + \Delta {u_{{\text{PI}}}}(k) \\ \end{gathered} \right. $$ (22) 式中：kp为比例系数，ki为积分系数，e(k)为系统控制目标值y*和系统实际输出y之差。
3.3 复合控制
迎角变化对马赫数的干扰主要通过前馈控制进行了补偿，而PI反馈控制则消除风洞流场其他微小扰动，两者结合起来构成复合控制，流场能够得到较好的控制精度。此外，PI控制只需应对微小的扰动，因此，其控制参数的适应性也增强了，在不同的工况下，PI控制器的参数无需更改或者变动较小，显著降低了PI控制器的参数调整难度。本文所提出的LIESO + PI复合控制原理框图见图2。复合控制输出表达式为：
$$ {u_{{\text{sum}}}}(k) = {u_{\text{F}}}(k) + {u_{{\text{PI}}}}(k) $$ (23) 4 仿真研究
在Matlab/Simulink环境下建立图3所示的连续变迎角马赫数控制仿真模型。整个仿真模型包含了流场系统、前馈控制器、PI控制器、连续变迎角等功能模块。其中流场系统主要建立了马赫数与栅指、迎角之间的函数关系，该函数关系可通过对现有的试验数据辨识得到。仿真试验工况为：马赫数0.8、迎角运动范围：−5°～23°。仿真时采用两种控制方法，即本文提出的复合控制和单独的PI控制，且两种控制方法中的PI控制采用相同的控制参数，仿真结果见图4。
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图 3 连续变迎角马赫数控制仿真模型图Fig. 3 Simulation model diagram of Mach number control with continuous sweep angle of attack test![]()
图 4 连续变迎角马赫数控制仿真曲线Fig. 4 Simulation curves of Mach number in continuous sweep angle of attack test图4（a）给出了采用复合控制和采用单独的PI控制两种情况下的马赫数控制曲线，PI控制无法有效抑制迎角变化对马赫数带来的干扰，变迎角过程中马赫数波动较大，而采用复合控制后马赫数的波动明显减小。造成这种结果的原因是PI这类反馈控制是在被控量与目标值产生偏差后才改变控制量，因此在抑制时变干扰方面总是滞后的，而复合控制中的前馈控制在检测到干扰产生时即改变控制量去抑制扰动，图4（b）反映出复合控制的控制量是超前于PI控制的。图4（c）给出了复合控制中前馈控制成分和PI控制成分，图中前馈控制成分占主要部分，说明前馈控制在抑制迎角对马赫数的干扰方面起到主要作用。
5 试验验证
为对风洞流场LIESO + PI复合控制策略的有效性进行验证，在1.2 m风洞开展试验测试，具体试验工况如表1所示，表中包含了大堵塞模型、小堵塞度模型、高马赫数和低马赫数试验工况，在一定程度上基本覆盖了该风洞大多的试验工况，具有较好的代表性。LIESO的3个参数ω0、b0和σ取值分别为1.5、−0.05、0.8。试验曲线见图5～7。
表 1 试验工况Table 1 Test condition试验模型 堵塞度 马赫数 迎角范围/(° ) A 0.98% 0.6 −5～28 A 0.98% 1.05 −5～17 B 0.54% 1.2 −5～21 迎角对马赫数的干扰主要是因为气流流过模型会造成总压的损失。总压的损失与模型堵塞度和马赫数有关系，具体的，迎角越大、马赫数越高总压损失大，迎角对马赫数的干扰越大，栅指补偿量也就越大。图5中，试验马赫数低，迎角对马赫数的干扰较小，对应的栅指补偿量也较小，马赫数控制精度高，达到了0.001。图6中，试验马赫数高，迎角对马赫数的干扰较大，对应的栅指补偿量也大，特别是变迎角初始阶段，LIESO对干扰的估算误差偏大，导致马赫数控制精度有所下降。图7，虽然模型堵塞度小，但是试验马赫数高，马赫数控制精度也有所下降。总的来说，LIESO + PI复合控制策略对两种试验模型、三种试验工况的马赫数控制精度达到了0.002，满足飞行器研制要求。
6 结 论
1）本文详细介绍了LIESO + PI复合控制方案的原理和设计过程，并将其应用1.2 m风洞连续变迎角试验中，试验表明该方法对风洞流场时变干扰的抑制效果较好；
2）LIESO + PI复合控制不依赖数学模型，无需辨识和建模，对不同堵塞度的试验模型和不同的试验工况适应性较好，控制算法实施简单，参数易整定，十分适合工程化应用。
本文后续还将开展以下研究工作：
1）研究LIESO前馈控制3个控制参数b0、ω0、σ对LIESO + PI复合控制控制效果的影响，给出3个控制参数的调参方法；
2）研究在其他时变干扰情况下（如气源压力下降、连续式风洞总压马赫数相互耦合）LIESO + PID复合控制对干扰的抑制效果。
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图 3 平直翼段时均流向速度云图
Fig. 3 Time-averaged flow velocity cloud diagram of the flat wing section
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图 4 单凸起翼段时均流向速度等值面
Fig. 4 Mean flow velocity contour surface for the single leading-edge protuberance wing section
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图 6 凸峰及左侧截面的时均流向速度分布, α = 24°（Inc）
Fig. 6 Mean flow velocity contour distribution of the left three sections
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图 5 右侧根部截面的时均流向速度分布
Fig. 5 Mean flow velocity contour distribution of the right root section
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图 7 双凸起翼段时均流向速度等值面
Fig. 7 Mean flow velocity contour surface for the double leading-edge protuberances wing section
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图 10 单凸起翼段POD模态能量占比
Fig. 10 The POD modes' energy proportion of the single leading-edge protuberance wing section
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图 11 单凸起翼段POD分解前2阶模态
Fig. 11 First two POD modes of the single leading-edge protuberance wing section
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图 12 单凸起翼段流场对比，α =24°
Fig. 12 Flow field comparison of the single leading-edge protuberance wing section, α =24°
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图 13 单凸起翼段流场对比，α =22°
Fig. 13 Flow field comparison of the single leading-edge protuberance wing section, α =22°
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图 14 双凸起翼段POD模态能量占比
Fig. 14 The POD modes' energy proportion of the double leading-edge protuberances wing section
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图 15 双凸起翼段POD分解前2阶模态
Fig. 15 First two POD modes of double leading-edge protuberances wing section
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