Experimental study on the anisotropy in von Kármán swirling flow system
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摘要:
利用Tomo–PIV测量了冯·卡门涡旋流动系统中心区域的三维速度信息，通过2种方法计算得到的速度二阶结构函数，分析了该系统中流动的各向异性特性。实验结果表明：冯·卡门涡旋流动系统中心区域的流动均匀性较好，但均方根速度的不同分量间呈现出显著的各向异性，水平分量与竖直分量比值约为1.5。通过2种方法计算得到的速度二阶结构函数结果相近，并给出：经过各个方向分量平均后的速度二阶结构函数各向同性度较高；但其在尺度空间中的分布呈现“水平面内各向同性度高，竖直平面内存在一定各向异性”的特性，且随着尺度的减小，此各向异性会逐渐减弱并接近各向同性。该研究为认识湍流流动以及冯·卡门涡旋流动系统提供了基础理解和分析方法。
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关键词:
- 冯·卡门涡旋流动系统 /
- 各向异性 /
- 速度结构函数 /
- 层析粒子图像测速技术
Abstract:The degree of anisotropy in the Von Kármán Swirling (VKS) flow system was experimentally investigated. The three-dimensional velocity near the center of VKS was measured by tomographic PIV and two methods were adopted to calculate the second order Velocity Structure Function (VSF2) in order to study the scale-by-scale anisotropy. It is found that the fluctuation velocity is highly homogeneous. However, the Root-Mean-Square (RMS) velocity in the vertical direction is one-third times smaller than that in the horizontal direction, which characterizes the large-scale anisotropy. This large-scale anisotropy has left its fingerprint on the small scales, which is reflected by the observation that the scale-space distribution of VSF2 is isotropic in the horizontal plane while it is not in the vertical plane. Besides, this anisotropy diminishes as scale decreases, consistent with the local isotropy assumption proposed by Kolmogorov. This experimental study provides new insights into turbulent flows.
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0 引 言
湍流流动无处不在，大到大气、海洋中的流动，小到口鼻呼吸产生的气流流动，这些都间接或直接影响人们日常生活，因此认识和理解湍流流动至关重要[1]。约200年前，Navier和Stokes先后提出了描述流体运动规律的数学物理方程，但其解析求解却极为困难。因此对于湍流研究，一种思路是结合工程应用实际，将复杂流动简化，如把壁湍流分解为靠近壁面黏性主导的边界层和远离壁面惯性主导的势流区域[2]；另一种思路是借助理想化的湍流流动，进行基础理论研究。基于后一种思路，均匀各向同性湍流作为一种理想化的、相对简单的湍流流动受到了理论[3-4]和数值仿真[5-6]研究者的青睐，如广为人知的Kolmogorov湍流理论就以均匀各向同性假设作为理论基础[7-9]。
在实验研究中，冯·卡门涡旋流动系统可以产生近似均匀各向同性的湍流，且具有装置体积小、产生流动雷诺数大的优点。该系统的封闭腔体内有一对或多对共轴反向旋转的涡轮，具有高度对称性，其几何中心区域的流动可被视为均匀各向同性的湍流。Zandbergen和Dijkstra[10]对冯·卡门涡旋流动进行了详细的理论介绍，此后Douady等[11]借助该系统首次在实验中观察到了湍流流动中的丝状涡结构，Voth等[12-13]首次利用粒子追踪测速技术在该系统中测量了粒子的拉格朗日加速度，随后Bourgoin等[14]对测量技术进行了升级并首次在实验中研究了粒子对的分散等。另外，早期研究发现高聚物与湍流的相互作用可以显著减小壁面流动的阻力[15-16]，研究者利用该系统还进行了一系列关于高聚物改变湍流流动统计特性及能量级串过程的研究[17-20]，以期揭示高聚物与湍流作用的机理。国内也有学者利用单转盘的冯·卡门涡旋流动系统进行了减阻实验[21]。
湍流是由丰富多尺度的涡结构组合起来的复杂流动。Kolmogorov[7]的理论认为，当湍流流动的雷诺数足够大时，流动在大尺度所表现出的各向异性或不均匀性等不会对小尺度产生影响，即认为小尺度是“局部均匀各向同性”的。在实验中，大尺度流动结构的各向异性通常难以完全避免，包括冯·卡门涡旋流动系统[13, 22]。同时，由于雷诺数有限，即使大尺度旋涡经过不断地破碎演化，最终的小尺度流动结构也无法完全回归各向同性，会进一步影响湍流的统计规律等，使之偏离理论预测[23-24]。对于某一实验系统，流动的各向异性程度有多大，是否会对小尺度统计信息产生影响，以及影响最终是否会消除等，都是非常重要的基本问题。本文以冯·卡门涡旋流动系统为例，采用层析粒子图像测速技术（Tomo–PIV）实验测量该系统中心区域三维流场速度分布，对比2种方法计算得到的速度二阶结构函数，分析各尺度上的各向异性特性，加深对该实验系统及湍流流动等的认识。
1 实验设备与研究方法
1.1 实验设备
冯·卡门涡旋流动系统主体为一个圆柱形封闭容器，上下底面处相向放置一对共轴反向旋转的涡轮，如图1（a）所示。圆柱形封闭容器主体以透明有机玻璃制成，表面安装7个圆形平面光学视窗口，可满足不同光学测量方法的需求；上下底板以开槽铝板制成，用以封闭及连通循环水浴，中心留孔穿过转动轴，连接外部的交流伺服电机和内部的涡轮，并作油封处理；腔体内涡轮及挡板等以超高分子聚乙烯材料制成。系统整体结构用铝材进行紧固或支撑。
实验借助Tomo–PIV系统进行三维速度测量，拍摄范围为冯·卡门涡旋流动系统的几何中心区域，Tomo–PIV系统布置如图1（b）所示，坐标轴系据此建立，$x$正向为激光出射方向，$y$正向竖直向上，$z$轴满足右手螺旋法则。光源为1台Photonics Industries公司生产的VL–Nd:YLFDM30–527DH型号固体激光器，波长为527 nm，射出的激光束经过透镜组扩张及切光器切割，最终形成矩形截面光线。相机为2台Phantom v711相机（序号#1和#2）和2台Phantom VEO340L相机（序号#3和#4），采用“十”字形搭建方式，各相机的朝向与中心轴线的夹角均为30°，且恰好透过视窗。4台相机均配备了Tokina的F2.8 100 mm定焦镜头及Kenko的TELEPLUS HDpro 2X增倍镜，并通过Scheimpflug调整器与相机相连，视场截面近似正方形，为896像素（宽） $ \times $ 800像素（高）。采用去离子水作为工作流体，控制温度为20 ℃，示踪粒子选用空心玻璃珠（LaVision 110P8），其密度为1.1 $ \times $ 103 kg/m3，直径为10 μm，根据Kolmogorov时间尺度估算示踪粒子的平动斯托克斯数$ St\approx$
0.0014 。设备同步、后期图像处理及Tomo–PIV算法等在商业软件Davis 8.4中完成，实验采样频率为24 Hz。冯·卡门涡旋流动系统的唯一控制参数为涡轮的转速，本实验为了保证湍流流动充分发展并满足Tomo–PIV 空间分辨率的要求，最终选择涡轮转速为$n = 96{\text{ r/min}}$，对应雷诺数$ Re=(2\pi Rn/60)\cdot R/\nu\approx $
121405 ，其中涡轮半径$ R = 0.11{\text{ m}} $，工作流体的运动黏度$ \nu = 1 \times {10^{ - 6}}{\text{ }}{{\text{m}}^{\text{2}}}{\text{/s}} $。采用Tomo–PIV 算法最终重构出的空间体积约为$ 30\ \mathrm{mm}\times30\ \mathrm{mm}\times6\text{ m}\text{m}^{ } $，互相关采用多次迭代方法，最终的问询域为32像素$ \times $32像素$ \times $32像素，重叠率为75%，可以得到$113\; \times 104 \times 22$的三维速度场矩阵，速度矢量间距为$ 0.277\text{ mm}\left(\approx4.2\eta\right) $，其中Kolmogorov长度尺度$ \eta\equiv (\nu^3/\varepsilon)^{1/4}\approx66\text{ }{\text{μm}} $，$ \varepsilon $为平均能量耗散率。1.2 速度二阶结构函数
速度结构函数是反映湍流流动能量级串过程的常用统计量，其为2点速度增量的原点矩。Kolmogorov最早借助该统计量提出了湍流统计理论[7]，并得到了后续大量实验和数值模拟结果验证[1, 8-9]。速度结构函数可以衡量湍流不同尺度上的速度表现，因此本文利用其来分析流动特征，尤其是流动的各向异性。
如图2所示，在瞬时三维速度场中，若以沿1方向的2点间隔$r$为例，各个速度分量在该空间间隔下的增量可表示为：
$$ \text{δ} u_i(\boldsymbol{x},\ r,\ t)=u_i(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{e}_1r,\ t)-u_i(\boldsymbol{x},\ t) $$ (1) 式中：${u_i}$表示$i$方向上的速度分量（$ i=1,\ 2,\ 3 $时分别对应$x、y、z$方向上的速度分量，即$u、v、w$），${{\boldsymbol{e}}_1}$为1方向上的单位向量，t为时间，矢量${\boldsymbol{x}} $为物理空间坐标。速度二阶结构函数即速度增量的二阶统计矩，可表示为：
$$ \overline {\text{δ} u_i^2} (r) = \overline {{{\left[ {\text{δ} {u_i}({\boldsymbol{x}},r,t)} \right]}^2}} $$ (2) 式中：上横线表示系综平均，即时间及空间平均。与间隔$r$方向平行的${u_1}$分量的结构函数，称为纵向结构函数（用下标$ \mathrm{L} $表示）；与间隔$r$方向垂直的另外2个分量，称其横向结构函数（用下标$ \mathrm{N} $表示），则：
$$ S_{\mathrm{L}}^2(r)=\overline{\text{δ} u_1^2}(r);\text{ }S_{\mathrm{N}}^2(r)=\overline{\text{δ} u_2^2}(r)或\text{ }\overline{\text{δ} u_3^2}(r) $$ (3) 对雷诺数足够大的充分发展湍流，Kolmogorov[7]假定流动在小尺度是局部均匀各向同性的。尤其在湍流流动中最小的空间尺度范围—耗散区（$r < \eta $）内，速度增量是线性的，且仅由流体黏度和平均能量耗散率所确定，此时速度二阶结构函数可表示为：
$$ S_{\mathrm{L}}^2(r)=\frac{\varepsilon}{15\nu}r^2;\text{ }S_{\mathrm{N}}^2(r)=\frac{2\varepsilon}{15\nu}r^2 $$ (4) 而在惯性区（$\eta \ll r \ll \mathcal{L}$，$\mathcal{L}$表示积分长度尺度），流动受惯性力主导，黏性作用可以忽略，此时速度增量仅由平均能量耗散率确定，则速度二阶结构函数可表示为：
$$ {S}_{{\mathrm{L}}}^{2}(r)={C}_{2}{({\varepsilon }r)}^{2/3};\text{ }{S}_{{\mathrm{N}}}^{2}(r)={\scriptstyle \dfrac{4}{3}}{C}_{2}{({\varepsilon }r)}^{2/3} $$ (5) 式中：${C_2}$为Kolmogorov常数，本文${C_2} = 2.13$[1]。
以上对速度结构函数和间隔$r$标度律的预测在大量的实验和数值模拟结果中得到了验证。另外，当流动各向同性时，纵、横向速度二阶结构函数还满足关系式：
$$ S_{\mathrm{N}}^2(r)=S_{\mathrm{L}}^2(r)+\frac{r}{2}\frac{\mathrm{\partial}}{\mathrm{\partial}r}S_{\mathrm{L}}^2(r) $$ (6) 最终，速度二阶结构函数仅由纵向速度二阶结构函数确定，所以本文分析也以纵向速度二阶结构函数的结果为主。
1.3 实验数据处理
为了计算速度结构函数，对于实验所获取的笛卡尔坐标系下的三维速度矩阵$ {\boldsymbol{u}}(\boldsymbol{\mathit{\boldsymbol{x}}},t) $，若类比式（1）自然地选取正交的3个坐标轴方向为间隔$r$的方向，则纵向速度增量可表示为：
$$ \text{δ} u_{i,\parallel}(\boldsymbol{x},\ r,\ t)=u_i(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{e}_ir,\ t)-u_i(\boldsymbol{x},\ t) $$ (7) 式中，下标“$\parallel $”表示间隔$r$恰好沿着现有速度分量的方向，${{\boldsymbol{e}}_i}$为$i$方向上的单位向量，则各方向纵向速度二阶结构函数为：
$$ \overline {\text{δ} u_{i,\parallel }^2} (r) = \overline {{{\left[ {\text{δ} {u_{i,\parallel }}({\boldsymbol{x}},r,t)} \right]}^2}} $$ (8) 假设流动各向同性，不妨将各速度分量对应的结构函数进行平均，得到纵向速度二阶结构函数的合量为：
$$ S_{{\mathrm{L}}{{ - }}\parallel }^2(r) = \frac{1}{{{N}}}\sum\nolimits_i {\overline {\text{δ} u_{i,\parallel }^2} (r)} $$ (9) 式中：$ N $为分量数目，对于三分量速度场取3，对于二分量速度场取2。横向速度结构函数可以此类推。以下将这种计算方法记为“方法一”。
在方法一的计算中，根据笛卡尔坐标系下的速度方向选取间隔$r$的方向，使空间间隔退化为标量；但理论上，间隔$r$的方向在空间中可以是任意的，且应以矢量$ \boldsymbol{\boldsymbol{r}} $表示，这种方法记为“方法二”，如图3（a）所示，这里以二维情况为例，图中网格无量纲。
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图 3 方法二计算速度结构函数的步骤（二维情况）Fig. 3 Steps to calculate velocity structure function through method Ⅱ （two-dimensional case）计算速度结构函数的方法二是先计算出间隔矢量$ \boldsymbol{\boldsymbol{r}} $对应速度增量$ {\text{δ}}\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{r},t)-\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t) $的2个正交笛卡尔分量$ {\text{δ}}u $和$ {\text{δ}}v $，如图3（b）所示。为着重分析尺度的影响，将间隔${\boldsymbol{r}}$及对应速度增量放置于尺度空间内。以纵向速度增量为例，根据角度转化关系将分量${\text{δ}}u$和${\text{δ}} v$投影至尺度${\boldsymbol{r}}$的径向上（图3（c）），使得：
$$ {\text{δ}} {u_r}({\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{r}},t) = {\text{δ}} {\boldsymbol{u}}({\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{r}},t) \cdot {{\boldsymbol{e}}_r} $$ (10) 式中：下标“$r$”表示到径向的投影，${{\boldsymbol{e}}_r}$为径向的单位向量。同理，各方向纵向速度二阶结构函数为：
$$ \overline {\text{δ} q_r^2} ({\boldsymbol{r}}) = \overline {{{\left[ {\text{δ} {u_r}({\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{r}},t)} \right]}^2}} $$ (11) 注意该形式下的结构函数仍是尺度${\boldsymbol{r}}$的函数，如图3（d）所示。假设流动是各向同性的，在某一尺度$r$下可以对其进行球面平均，得到纵向速度二阶结构函数合量为：
$$ S_{{\mathrm{L}}{{ - }}{\mathrm{r}}}^2(r) = \frac{1}{{{N'}}}\sum\nolimits_{\left| {\boldsymbol{r}} \right| = r} {\overline {\text{δ} q_r^2} ({\boldsymbol{r}})} $$ (12) 式中：$ N' $为间隔矢量${\boldsymbol{r}}$满足$ \left| {\boldsymbol{r}} \right| = r $的数目。横向速度增量则为${\text{δ}} {\boldsymbol{u}}$到${\boldsymbol{r}}$切向上的投影。事实上，通过方法一得到的结果即图3（d）坐标轴红色部分，而方法二则包含了两坐标轴之间的扇形区域，由此可见2种方法的差异。
需要注意的是：在方法二中，最后一步进行球面平均时，由于数据是离散的矩阵形式，因此存在数据点取舍问题。在本文中，以图3（d）为例，考虑将尺度空间中网格点的极径$\left| {\boldsymbol{r}} \right|$保留至一定精度（暂时忽略具体物理含义，仅以数据网格为单位）来对数据点进行取舍，如当保留取值精度$ a=1 $时，选取$r = 4$的球面上的数据点（如图3（d）中绿圈所示），此时$ N'=9 $。后文将对此处理方法进行详细讨论。
通过以上2种方法得到的纵向速度二阶结构函数分别记为$ S_{\mathrm{L}-\parallel}^2(r) $（方法一）和$ S_{\mathrm{L}-\mathrm{r}}^2(r) $（方法二），相对应的横向速度二阶结构函数则可记为$ S_{\mathrm{N}-\bot}^2(r) $（方法一）和$ S_{\mathrm{N}-\mathrm{t}}^2(r) $（方法二）。
2 实验结果与讨论
利用在冯·卡门涡旋流动系统中通过Tomo–PIV拍摄测量的数据，以上述2种方法计算纵向速度二阶结构函数，对比分析该流动系统中的各向异性特性。
2.1 流场均匀性
冯·卡门涡旋流动系统中心区域的时均速度场如图4所示，箭头的方向和长度表示该点处的时均速度方向及大小，云图表示该点处合均方根速度$ u'_{\rm{all}} $与时均速度模长$ \left|\boldsymbol{U}\right| $的比值，即湍流强度。本文研究的流动是统计定常的，参考雷诺分解的处理，均方根速度可表示为：
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图 4 时均速度场和湍流强度的空间分布Fig. 4 Spatial distribution of the mean velocity field and turbulence intensity$$ {u'_i}({\boldsymbol{x}}) = \sqrt {{{\left\langle {{{\left( {{u_i}({\boldsymbol{x}},t)} \right)}^2}} \right\rangle }_t}} = \sqrt {{{\left\langle {{{\left( {{\mathcal{U}_i}({\boldsymbol{x}},t) - {U_i}({\boldsymbol{x}})} \right)}^2}} \right\rangle }_t}} $$ (13) 式中：$ {\mathcal{U}_i}({\boldsymbol{x}},t) $为瞬时速度，时均速度$ {U_i}({\boldsymbol{x}}) = {\left\langle {{\mathcal{U}_i}({\boldsymbol{x}},t)} \right\rangle _t} $，脉动速度${u_i}({\boldsymbol{x}},t) = {\mathcal{U}_i}({\boldsymbol{x}},t) - {U_i}({\boldsymbol{x}})$。本文中，角括号加下标$t、{\boldsymbol{x}}$或${\boldsymbol{r}}$分别表示单独进行时间、物理空间或尺度空间内的球面平均。合脉动速度则为各脉动速度分量的平方平均，即：
$$ u_{\mathrm{all}}=\sqrt{\dfrac{1}{3}(u^2+v^2+w^2)} $$ (14) 利用基于脉动速度的均方根速度可以直观衡量湍流脉动的强弱。
由图4可知，该流场的时均场呈现“水平向中间靠拢，竖直向两端拉伸”的特点，这一流场拓扑结构是冯·卡门涡旋流动系统的特征，与其他学者在类似系统中的结果一致[25-26]。当位置越靠近中心时，时均速度的值$\left| {\boldsymbol{U}} \right|$越小（冯·卡门涡旋流动系统几何中心处为驻点），时均场分布并不均匀但却比较对称。通过计算各点处的湍流强度发现，湍流强度在大多数位置约为3，而中心处由于时均速度过小，湍流强度超过30。实际上，在数据处理中，由于脉动场值显著大于时均场，以及时均场在物理空间的非均匀性，常取脉动速度场作为分析计算的速度场${\boldsymbol{u}}({\boldsymbol{x}},t)$，以下提及“速度”若无特殊说明，则指的是脉动速度。
以脉动速度场作为研究对象时，为衡量其在空间中的均匀性，可仿照式（13）计算均方根速度$ {u'_i}({\boldsymbol{x}}) $在物理空间中的脉动，即：
$$ \sigma_{\boldsymbol{x},i}=\sqrt{\left\langle\left[u'_i(\boldsymbol{x})-\left\langle u'_i(\boldsymbol{x})\right\rangle_{\boldsymbol{x}}\right]^2\right\rangle_{\boldsymbol{x}}} $$ (15) 计算结果如表1所示，注意表中值均采用物理空间平均值无量纲化。可以看到，$ {u'_i}({\boldsymbol{x}}) $的3个分量u'、v'、w'及合量$ u'_{{\mathrm{all}}} $在物理空间中的脉动$ \sigma_{\boldsymbol{x},i} $与其物理空间平均值$ {\left\langle {{u'_i}({\boldsymbol{x}})} \right\rangle _{\boldsymbol{x}}} $的比值均在1%的量级。该比值水平与近期Knutsen等[26]在相似流动系统中得到的结果基本一致，充分说明了在冯·卡门涡旋流动系统中心区域的脉动速度场是非常均匀的，可以对脉动速度的统计量进行物理空间内的平均操作。
表 1 均方根速度在物理空间内的脉动Table 1 Fluctuations of the RMS velocity over the measurement volume工况 u'分量 v'分量 w'分量 合量 本实验 1.40% 1.85% 0.95% 0.88% 文献[26] 1.30% 1.90% 1.30% — 计算得到均方根速度各分量及合量在物理空间的平均值分别为0.19、0.13、0.20、0.18 m/s。由此可知，u'分量和w'分量大于v'分量，其比值约为1.5，这表明该系统中大尺度流动自身保有一定程度的各向异性，在其他学者的相似实验系统中也存在同样的现象[13, 26]。
在求得$ \left\langle u'_{\mathrm{all}}(\boldsymbol{x})\right\rangle_{\boldsymbol{x}}=0.18\text{ m/s} $之后，由于其表征了本实验中的流动速度，因此可以据此计算衡量均匀各向同性湍流流动强弱的泰勒雷诺数，即：
$$ {R}_{\lambda }=\sqrt{\frac{15[{\langle u'_{{\mathrm{all}}}({\boldsymbol{x}})\rangle }_{{\boldsymbol{x}}}]^{4}}{\nu {\varepsilon }}} $$ (16) 在本文中${R}_{\lambda } $ = 538，是一个中高雷诺数。只有当雷诺数足够大时，才可以通过速度结构函数观察到足够清晰的标度律关系，这也是本文选择该实验条件的原因之一。
2.2 方法一结果及其各向异性
验证了流场的均匀性后，图5给出了通过方法一计算得到的纵向速度二阶结构函数，其中横坐标均采用$\eta $进行无量纲化。在图5（a）和（c）中，纵坐标采用$u_\eta ^2$进行无量纲化，$ u_{\eta}^2=(\nu\varepsilon)^{1/4} $，表示Kolmogorov特征速度，点划线的斜率为2，虚线的斜率为2/3，即标度律的理论预测（式（4）和（5））。
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图 5 方法一计算得到的纵向速度二阶结构函数Fig. 5 Longitudinal second order velocity structure function through method Ⅰ从图5（a）可以看到，通过方法一计算得到的纵向速度二阶结构函数在耗散区和惯性区内均符合理论预测的标度律，证明了实验结果的正确性。由于拍摄范围在$z$方向上明显较短（图4），因此计算了$xOy$二维平面对应的速度结构函数，如图5（a）和（b）中彩色实线所示。可以看到，三维结果与二维结果在相重合的尺度范围内都基本吻合，存在的部分差异是由有无$w$分量引起的。此外，纵向速度二阶结构函数的不同分量之间的值稍有差异，u和w分量相近且稍大于$v$分量，这与2.1节中均方根速度的结果一致，说明大尺度的各向异性暂时被保留了下来。值得注意的是，实验结果显示耗散区的标度律延伸至约$20\eta $，远大于Kolmogorov尺度，实际上这并不是耗散区的位置发生了改变，而是PIV相对分辨率较差（本文中的问询域尺寸约为$16.8\eta $）导致的（具体可以参阅文献[20]），但该问题并不影响本文的主要结论。
图5（b）为图5（a）根据式（5）对惯性区的补偿画法，此时纵坐标的量纲与能量耗散率相同。在惯性区范围内，理论预测的能量传输率基本恒定不变且近似等于平均能量耗散率$ \varepsilon $，因此在较大尺度上可显著观察到一段接近“平台”的区间（用2条竖直虚线表示），即惯性区所在区间。平台对应的值即平均能量耗散率，对于纵向速度二阶结构函数的合量（黑色实线），在该区间内取平均值有$ \varepsilon $= 0.053 1 m2/s3。
需要说明的是，由于分量间的差异，若用纵向速度结构函数（或横向速度结构函数）的不同分量来估计平均能量耗散率$ \varepsilon $，会有不同结果，这是大尺度各向异性所带来的不利影响。本文受空间分辨率限制，无法直接计算能量耗散率，因此利用纵向速度二阶结构函数合量（图5（b）黑色实线）补偿得到的$ \varepsilon $值作为平均能量耗散率。另外，随着尺度的增大，速度增量的样本数目逐渐减少，速度结构函数曲线在末尾处由于收敛性欠佳不够平滑，故在此“提前”了惯性区上界限的取值，惯性区的实际上界限应存在于更大的尺度上。
图5（c）为图5（a）中$xOy$二维平面内纵向速度二阶结构函数合量在$z$方向上的分布，不同$z$位置的纵向速度二阶结构函数基本重合，表明拍摄范围内$z$方向上具有良好的均匀性，数据可以在该方向上进行平均处理。
除了纵向速度二阶结构函数，利用方法一计算得到的横向速度二阶结构函数如图6所示。其中“○”表示实验测量计算得到的$ S_{\mathrm{N}-\bot}^2 $，实线表示借助各向同性假设关系式（6）得到的$ \widetilde {S_{{\mathrm{N}}{{ - }} \bot }^2} $。
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图 6 方法一计算得到的横向速度二阶结构函数Fig. 6 Transverse second order velocity structure function through method Ⅰ从图6（a）可以看到，横向速度二阶结构函数在耗散区和惯性区内依然符合理论预测的标度律，实验值$ S_{\mathrm{N}-\bot}^2 $与各向同性预测值$ \widetilde {S_{{\mathrm{N}}{{ - }} \bot }^2} $也比较接近。为了更好地比较，图6（b）给出了两者的比值，发现在耗散区两者差异较明显，其比值仅有约0.7，考虑这是因为本文实验空间分辨率的限制，使靠近耗散区的速度结构函数数值存在误差，以及该区间内数据点间距较大，难以准确计算式（6）中的导数项。在惯性区，实验值与各向同性预测值的偏差很小，且在10%以内。可见经过式（9）的平均后，速度结构函数回归到各向同性的水平，这与Taylor等[27]在数值模拟中得到的结果一致。
2.3 方法二结果及其在尺度空间的分布
方法二相较方法一，除了可以考虑沿已有速度分量方向的间隔，还可以考虑任意方向上的间隔，并将其视为矢量${\boldsymbol{r}}$，但在进行球面平均时，由于数据是离散的，不得不对数据点进行取舍。对于$\left| {\boldsymbol{r}} \right| = r$的尺度空间球面，当$\left| {\boldsymbol{r}} \right|$近似值的取值精度$ a $以数据网格为单位，分别取0.01、0.05、0.10、0.50、1.00时，最终在不同精度下进行球面平均得到的纵向速度二阶结构函数如图7所示。
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图 7 方法二计算得到的纵向速度二阶结构函数Fig. 7 Longitudinal second order velocity structure function through method Ⅱ图7（a）中，不同颜色及大小的标记表示不同的取值精度，通过方法一得到的结果作为参考以蓝色点线给出。可以看到，通过方法二计算得到的纵向速度二阶结构函数在惯性区内同样基本满足理论预测标度律，在耗散区附近仅取值精度$ a=1.00 $的结果出现较大误差。另外，图7（a）中的插图给出了在不同取值精度下方法二与方法一结果的均方偏差（MSE），可以看到，当取值精度约为0.10时，两者偏差最小，在较大或较小的取值精度下都会产生较大偏差。图7（b）给出了不同取值精度下2种方法计算结果的偏差。可以看到，整体上两者的偏差基本在5%（虚线）以内，只有当取值精度$ a $较大且尺度$r$较小时，两者才有显著偏差，这是因为在尺度$r$较小时，$\left| {\boldsymbol{r}} \right| = r$球面上间隔矢量${\boldsymbol{r}}$的数目过少，而取值精度较大，则使得偏差更大。
尽管通过方法二得到的速度结构函数与方法一相比基本接近（包括横向速度结构函数及其各向同性，为了简洁此处未展示结果），但是由于方法二引入了矢量${\boldsymbol{r}}$，因此通过该方法计算得到的速度结构函数应为在尺度空间中的分布，如图8所示，可利用此方法分析速度二阶结构函数在尺度空间的分布规律。
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图 8 纵向速度二阶结构函数在尺度空间的分布（方法二）Fig. 8 Scale-space distribution of longitudinal second order velocity structure function through method Ⅱ图8（a）为通过方法二计算得到的纵向速度二阶结构函数的三维尺度空间展示，图8（b）和（c）分别对应$ r_z/\eta\approx30 $和$ r_y/\eta\approx30 $处的二维剖面。由图8（a）可知，越靠近坐标原点，纵向速度二阶结构函数的值越小。进一步分析二维剖面可知，在图8（b）所示的${r_x}O{r_y}$平面内，纵向速度二阶结构函数在某一$\left| {\boldsymbol{r}} \right| = r$球面（圆周）上的分布并不是均匀的，且在靠近${r_x}$轴一侧的值更大，在靠近${r_y}$轴一侧的值更小，具有显著的各向异性，这与方法一得到的结果完全吻合。在图8（c）中，不同于图8（b），纵向速度二阶结构函数在$\left| {\boldsymbol{r}} \right| = r$球面上的分布比较均匀，等值线更接近“四分之一圆”，表明其在${r_x}O{r_z}$平面内几乎是各向同性的。横向速度二阶结构函数也有类似结果，此处未展示。为定量衡量速度结构函数的各向同性程度，可同样仿照式（13）计算其值在球面上的脉动，记作$ \sigma_{\boldsymbol{\mathit{r}}} $，最终得到不同二维剖面上的计算结果，如图9所示。图9中的脉动结果以球面上的平均值进行了无量纲化，其中球面平均的取值精度$ a=0.5 $，以保证曲线平滑。
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图 9 纵向速度二阶结构函数在不同尺度上的脉动（方法二）Fig. 9 Fluctuations of longitudinal second order velocity structure function among the spherical shell through method Ⅱ图9中蓝色圆和红色正方形分别表示在不同${r_z}$位置上${r_x}O{r_y}$平面内和${r_x}O{r_z}$平面内纵向速度二阶结构函数在$\left| {\boldsymbol{r}} \right| = r$球面上的脉动，黑色虚线为参考值2%。从图中可以看到，较小尺度时，在不同平面及不同剖面位置的球面上，纵向速度二阶结构函数的脉动值都很小，随着尺度增大，${r_x}O{r_y}$平面内的值逐渐增大，而${r_x}O{r_z}$平面内的值依然保持在2%以内。该结果清晰地说明，纵向速度二阶结构函数在${r_x}O{r_z}$平面内的各向同性程度高于${r_x}O{r_y}$平面，这与从图8（b）和（c）中直接观察到的定性结果一致。随着尺度$r$减小，球面上的脉动值也在逐渐减小，大尺度原有的各向异性逐渐被“擦除”，而小尺度逐渐恢复到各向同性，验证了Kolmogorov[7]的小尺度“局部各向同性”假设。随着${r_z}$逐渐增大，${r_x}O{r_y}$平面内球面的脉动值逐渐减小，考虑是由于纵向速度二阶结构函数值在${r_y}$轴上与其他方向上差异较大，当${r_z}$越大，距离${r_y}$轴越远，因此越接近各向同性。小尺度上的部分数据点偏离了原本随尺度减小而减小的趋势，这是$\left| {\boldsymbol{r}} \right| = r$球面上间隔矢量${\boldsymbol{r}}$的数目过少、统计量偏少导致的。
由前文可知，纵向速度二阶结构函数在${r_x}O{r_z}$平面内的分布各向同性程度更高一些。本文通过引入极角$\varphi $和方位角$\theta $（图10）表示不同平面及位置的空间关系。
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图 10 三维尺度空间内极角和方位角的定义Fig. 10 Definition of polar angle and azimuth angle in three-dimensional scale space在三维尺度空间内，考虑在不同的极角$\varphi $和方位角$\theta $的剖面内对纵向速度二阶结构函数进行球面（圆周）平均，可以更清晰地探究其在尺度空间内的分布情况，计算结果如图11所示，并通过式（5）对结果进行了补偿处理，其中球面平均的取值精度$ a=0.5 $，角度位置的取值精度$ a_{\angle}=10^{\circ} $。
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图 11 纵向速度二阶结构函数随极角和方位角的变化（方法二）Fig. 11 Variation of longitudinal second order velocity structure function with polar angle and azimuth angle (method Ⅱ)图11中空心三角形表示不同极角$\varphi $剖面内的球面平均，空心正方形则表示不同方位角$\theta $剖面内的球面平均，不同颜色表示对应的不同位置，黑色圆形和黑色点线分别给出了通过方法二和方法一计算得到的三维尺度空间内的球面平均。图11清晰显示了纵向速度二阶结构函数与尺度$r$的曲线在空间中不同位置的差异：在较大尺度$r$范围内，纵向速度二阶结构函数随着极角$\varphi $的改变而显著改变，且值随着$\varphi $的增大而增大并呈现单调趋势；纵向速度二阶结构函数则几乎不随方位角$\theta $改变，且与总的球面平均值（黑色圆形及黑色点线）接近。另外，此处结果补偿后逐渐趋近于预测值1。
综上所述，图9和11的结果都进一步补充图8所示纵向速度二阶结构函数在三维尺度空间内的分布，展示了纵向速度二阶结构函数受冯·卡门涡旋流动系统本身流动拓扑结构的影响，所表现出的各向异性特点为：在水平面（即${r_x}O{r_z}$平面）内，具有高度的各向同性，几乎不随方位角$\theta $的改变而改变；而在竖直平面（即${r_x}O{r_y}$平面）内，各向异性较明显，且沿${r_y}$轴竖直方向分量小于水平方向分量，纵向速度二阶结构函数的值随极角$\varphi $的增大而增大。这种${r_y}$轴区别于其他两水平轴的各向异性特点也与通过方法一得到的图5（a）一致，说明通过方法二观察到的各向异性结果实际上是不同速度分量在不同方向上贡献不同所导致的。由于纵向速度二阶结构函数的值在不同坐标轴方向之间的变化是连续单调的（图8（b）和（c）），使得在三维空间内的球面平均与直接对3个坐标轴分量进行平均的效果一样，这也是2种方法最终结果相近的原因所在，如图7所示。
此外，由于结果显示了该系统在水平面（即${r_x}O{r_z}$平面）内的各向同性特点，可认为速度统计量关于实验装置的竖直中心轴是轴对称的，因此在一定条件下可以利用轴对称假设只进行竖直平面内的二维速度测量，这也是之前研究工作的基础假设[20, 26]在本文得到了验证。
3 结 论
本文利用Tomo–PIV技术测量了冯·卡门涡旋流动系统中心区域的三维速度场，通过对比分析2种方法计算得到的速度二阶结构函数，得到了该系统中流动的各向异性，主要结论如下：
1）冯·卡门涡旋流动系统中心区域的速度场分布均匀，均方根速度各分量在物理空间内的脉动与相应平均值之比低至1%水平；但u和w分量显著大于$v$分量且其比值约为1.5，呈现出了大尺度的各向异性。
2）2种计算速度二阶结构函数的方法结果相近，且在耗散区和惯性区均符合理论预测的标度律；方法一运算简单，方法二可进行尺度空间内的分析。
3）速度二阶结构函数在经过分量平均（或球面平均）后，合量表现出了较高的各向同性程度，其对应的横、纵向速度结构函数基本满足各向同性理论预测，仅在小尺度有部分实验误差。
4）速度二阶结构函数受大尺度均方根速度分量间各向异性的影响，在三维尺度空间中的分布呈现“水平面内各向同性程度高，竖直平面内存在一定各向异性”的特性，但随着尺度的减小，各向异性会逐渐减弱直至接近各向同性。
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图 3 方法二计算速度结构函数的步骤（二维情况）
Fig. 3 Steps to calculate velocity structure function through method Ⅱ （two-dimensional case）
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图 4 时均速度场和湍流强度的空间分布
Fig. 4 Spatial distribution of the mean velocity field and turbulence intensity
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图 5 方法一计算得到的纵向速度二阶结构函数
Fig. 5 Longitudinal second order velocity structure function through method Ⅰ
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图 6 方法一计算得到的横向速度二阶结构函数
Fig. 6 Transverse second order velocity structure function through method Ⅰ
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图 7 方法二计算得到的纵向速度二阶结构函数
Fig. 7 Longitudinal second order velocity structure function through method Ⅱ
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图 8 纵向速度二阶结构函数在尺度空间的分布（方法二）
Fig. 8 Scale-space distribution of longitudinal second order velocity structure function through method Ⅱ
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图 9 纵向速度二阶结构函数在不同尺度上的脉动（方法二）
Fig. 9 Fluctuations of longitudinal second order velocity structure function among the spherical shell through method Ⅱ
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图 10 三维尺度空间内极角和方位角的定义
Fig. 10 Definition of polar angle and azimuth angle in three-dimensional scale space
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图 11 纵向速度二阶结构函数随极角和方位角的变化（方法二）
Fig. 11 Variation of longitudinal second order velocity structure function with polar angle and azimuth angle (method Ⅱ)
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[1] POPE S B. Turbulent flows[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.
[2] SCHLICHTING H, GERSTEN K. Fundamentals of boundary–layer theory[M]//Boundary-Layer Theory. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2016: 29-49. doi: 10.1007/978-3-662-52919-5_2
[3] TAYLOR G I. Statistical theory of turbulence[J]. Proceedings of the Royal Society of London Series A - Mathematical and Physical Sciences, 1935, 151(873): 421–444. doi: 10.1098/rspa.1935.0158
[4] BATCHELOR G K. The theory of homogeneous turbu-lence[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1953.
[5] ORSZAG S A, PATTERSON Jr G S. Numerical simulation of three-dimensional homogeneous isotropic turbulence[J]. Physical Review Letters, 1972, 28(2): 76–79. doi: 10.1103/physrevlett.28.76
[6] ISHIHARA T, GOTOH T, KANEDA Y. Study of high–Reynolds number isotropic turbulence by direct numerical simulation[J]. Annual Review of Fluid Mechanics, 2009, 41: 165–180. doi: 10.1146/annurev.fluid.010908.165203
[7] KOLMOGOROV A N. The local structure of turbulence in incompressible viscous fluid for very large Reynolds numbers[J]. Proceedings of the Royal Society of London Series A: Mathematical and Physical Sciences, 1991, 434(1890): 9–13. doi: 10.1098/rspa.1991.0075
[8] FRISCH U, KOLMOGOROV A N. Turbulence: the legacy of A. N. Kolmogorov[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1995.
[9] MONIN A S, YAGLOM A M. Statistical fluid mechanics, volume Ⅱ: mechanics of turbulence[M]. New York: Dover Publications, 2013.
[10] ZANDBERGEN P J, DIJKSTRA D. Von Kármán swirling flows[J]. Annual Review of Fluid Mechanics, 1987, 19: 465–491. doi: 10.1146/annurev.fl.19.010187.002341
[11] DOUADY S, COUDER Y, BRACHET M E. Direct observation of the intermittency of intense vorticity filaments in turbulence[J]. Physical Review Letters, 1991, 67(8): 983–986. doi: 10.1103/physrevlett.67.983
[12] VOTH G A, SATYANARAYAN K, BODENSCHATZ E. Lagrangian acceleration measurements at large Reynolds numbers[J]. Physics of Fluids, 1998, 10(9): 2268–2280. doi: 10.1063/1.869748
[13] VOTH G A, LA PORTA A, CRAWFORD A M, et al. Measurement of particle accelerations in fully developed turbulence[J]. Journal of Fluid Mechanics, 2002, 469: 121–160. doi: 10.1017/s0022112002001842
[14] BOURGOIN M, OUELLETTE N T, XU H T, et al. The role of pair dispersion in turbulent flow[J]. Science, 2006, 311(5762): 835–838. doi: 10.1126/science.1121726
[15] TOMS B A. Some observations on the flow of linear polymer solutions through straight tubes at large Reynolds numbers[C]//Proc. of In. Cong. On Rheology, 1948.
[16] WHITE C M, MUNGAL M G. Mechanics and prediction of turbulent drag reduction with polymer additives[J]. Annual Review of Fluid Mechanics, 2008, 40: 235–256. doi: 10.1146/annurev.fluid.40.111406.102156
[17] CRAWFORD A M, MORDANT N, XU H T, et al. Fluid acceleration in the bulk of turbulent dilute polymer solutions[J]. New Journal of Physics, 2008, 10(12): 123015. doi: 10.1088/1367-2630/10/12/123015
[18] OUELLETTE N T, XU H T, BODENSCHATZ E. Bulk turbulence in dilute polymer solutions[J]. Journal of Fluid Mechanics, 2009, 629: 375–385. doi: 10.1017/s0022112009006697
[19] XI H D, BODENSCHATZ E, XU H T. Elastic energy flux by flexible polymers in fluid turbulence[J]. Physical Review Letters, 2013, 111(2): 024501. doi: 10.1103/physrevlett.111.024501
[20] ZHANG Y B, BODENSCHATZ E, XU H T, et al. Experimental observation of the elastic range scaling in turbulent flow with polymer additives[J]. Science Advances, 2021, 7(14): eabd3525. doi: 10.1126/sciadv.abd3525
[21] 陈正云, 张清福, 潘翀, 等. 超疏水旋转圆盘气膜层减阻的实验研究[J]. 实验流体力学, 2021, 35(3): 52–59. DOI: 10.11729/syltlx20200025 CHEN Z Y, ZHANG Q F, PAN C, et al. An experimental study on drag reduction of superhydrophobic rotating disk with air plastron[J]. Journal of Experiments in Fluid Mechanics, 2021, 35(3): 52–59. doi: 10.11729/syltlx20200025
[22] OUELLETTE N T, XU H T, BOURGOIN M, et al. Small-scale anisotropy in Lagrangian turbulence[J]. New Journal of Physics, 2006, 8(6): 102. doi: 10.1088/1367-2630/8/6/102
[23] SREENIVASAN K R. On the universality of the Kolmogorov constant[J]. Physics of Fluids, 1995, 7(11): 2778–2784. doi: 10.1063/1.868656
[24] YEUNG P K, ZHOU Y. Universality of the Kolmogorov constant in numerical simulations of turbulence[J]. Physical Review E, 1997, 56(2): 1746–1752. doi: 10.1103/physreve.56.1746
[25] MONCHAUX R, RAVELET F, DUBRULLE B, et al. Properties of steady states in turbulent axisymmetric flows[J]. Physical Review Letters, 2006, 96(12): 124502. doi: 10.1103/physrevlett.96.124502
[26] KNUTSEN A N, BAJ P, LAWSON J M, et al. The inter-scale energy budget in a von Kármán mixing flow[J]. Journal of Fluid Mechanics, 2020, 895: A11. doi: 10.1017/jfm.2020.277
[27] TAYLOR M A, KURIEN S, EYINK G L. Recovering isotropic statistics in turbulence simulations: the Kolmogorov 4/5th law[J]. Physical Review E, 2003, 68(2): 026310. doi: 10.1103/PhysRevE.68.026310
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期刊类型引用(1)
1. 余永哲，孙蒙，何灿星，刘琨，姜婕妤. 基于壁面淬熄诱导形成机理的非预混撞击火焰的动力学研究. 青岛科技大学学报(自然科学版). 2025(01): 102-110 . 
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