Experimental measurement and analysis of inertia force and aerodynamic force in flapping motion of flexible wing
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摘要: 在蝙蝠扑翼运动过程中，惯性力和气动力往往同时存在。为研究蝙蝠柔性膜翼挥拍运动的气动特性，需从耦合的扑翼惯性力和气动力中分离出气动力。本文搭建了基于多目视觉的拍摄平台，以获取不同属性的柔性膜翼挥拍运动图像，使用多目视觉算法重构了柔性膜翼变形，从变形中计算惯性力。通过六维力传感器获得了柔性膜翼实时受力，从中消除惯性力后得到气动力，并分析了惯性力与气动力之间的关系。经短梁标准模型验证，采用该方法重构的最大变形误差约为2.36%。研究结果表明：大柔性膜翼在挥拍运动中显著变形，变形程度与惯性力和气动力相关；随着膜翼厚度增大，惯性力和气动力都有不同程度提高。Abstract: Inertia force and aerodynamic force are often coupled in flapping motion. In order to study the aerodynamic characteristics of a bat flexible membrane wing in flapping motion, it is necessary to separate the inertia force and the aerodynamic force to obtain the aerodynamic force. By setting up a photographic platform based on multi-vision, images of flexible membrane wings with different properties were captured, and a multi-vision algorithm was used to reconstruct the deformation of the flexible membrane wing, so the inertia force can be calculated from the deformation. A six-axis force sensor was used to obtain the real-time force of the flexible membrane wing, then the aerodynamic force can be obtained by eliminating the inertia force, and the law between the inertia force and the aerodynamic force was analyzed. A standard model verifies that the deformation error of this method is 2.36%. The results show that the highly flexible wing membrane has a significant deformation during the flapping process, which is related to both inertia force and aerodynamic force. And with the increase of the thickness of the wing membrane, the inertia force and the aerodynamic force are increased to different extents.
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Keywords:
- flexible wing membrane /
- flapping motion /
- passive deformation /
- inertia force /
- aerodynamic force /
- multi-vision
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0 引 言
昆虫、鸟类和蝙蝠是自然界主要的扑翼飞行生物。人们从这些生物得到启发，研制出各种扑翼微型飞行器[1-5]，以满足民用领域和军用领域的应用需求。在扑翼过程中，惯性力和气动力同时作用，使柔性翼发生被动变形，变形又对气动力产生影响。为研究扑翼运动中气动力的作用机理，首先需得到扑翼惯性力，进而分离耦合的惯性力与气动力。
昆虫翅膀质量占比较小（约5%），研究昆虫扑翼飞行时通常忽略其惯性力，或忽略翅膀变形，将其简化为质心或刚性板来计算惯性力[6-7]。与昆虫相比，鸟类翅膀和蝙蝠翼的质量占比通常更大[8]（最大可达25%[9-10]），且蝙蝠翼柔性极大，扑翼过程中会产生较大的被动变形[11]，产生的惯性力不可忽略。
惯性力在扑翼飞行中的正向作用也有待进一步研究。蜂鸟的飞行方式与昆虫类似，相关研究发现[12]，蜂鸟扑翼飞行中19%的惯性力功转化为对飞行有帮助的气动力功。惯性力还可能在机动飞行时发挥作用，Liang和Sun[13]发现蜻蜓扑翼时的惯性力可以帮助蜻蜓改变飞行方向。Rahman和Tafti[14]对2种蝙蝠的平飞和转弯机动飞行进行了实验研究，发现蝙蝠平飞主要由气动力驱动，而惯性力则在转弯机动飞行时发挥关键作用。
在扑翼飞行相关研究中，对惯性力的处理方法主要有3种。第一种方法，也是最简单直接的方法，将翼（或翅膀）简化为刚性模型，忽略运动过程中变形所带来的惯性力。这种方法仅适用于小变形情况，如尺寸较小、质量较轻的昆虫翅膀，可以忽略小变形影响，适当简化模型。或者，仅追踪关键位置（如翼尖或翼骨架关节）的速度，其他位置的速度则沿展向线性插值得到[15]。第二种方法是移除翼膜，仅考虑骨架的惯性力[16]。这种方法适用于翼膜惯性较小的情况，如昆虫轻而薄的翅膀等。第三种方法是通过实验直接在真空中测量翼（或翅膀）挥拍时的惯性力[17-18]。在真空中可以排除气动力，但同时也排除了气动力所致翼变形带来的惯性力，与真实情况不符，且实验条件复杂，结果未必可靠。此外，蝙蝠骨架、翼膜的质量分布也会导致蝙蝠翼各部位产生的惯性力不同[19]，需考虑分布惯性力的影响。因此，基于扑翼变形计算扑翼惯性力更为合理和准确。
基于多目视觉的数字图像相关法（Digital Image Correlation, DIC）的原理是跟踪被测对象表面不同时刻的散斑图案，计算散斑域的灰度值变化，从而得到被测对象表面变形和应变数据。该方法已广泛应用于扑翼变形测量[20-22]。该方法对被测对象运动范围限制较大，通常仅能测量小范围运动和变形，对柔性较大的翼膜大变形的捕获效果可能不佳。
为得到大柔性翼挥拍过程中的惯性力，本文建立了蝙蝠翼简化模型（柔性模型翼），采用多视图立体重建方法测量模型翼挥拍运动时的变形分布，基于变形计算分布加速度，进而计算惯性力，而后对力传感器测得的耦合的惯性力和气动力进行分离，并结合变形对扑翼惯性力和气动力进行分析。
1 实验方法
1.1 材料准备和平台搭建
在无来流情况下，通过不同角度多相机同步拍摄柔性模型翼挥拍运动，从拍摄图像中重建模型翼运动和变形，同时实时测量模型翼受到的力，剔除基于运动和变形计算得到的惯性力后，即可得到模型翼的气动力。拍摄平台如图1所示，以4台GoPro HERO10运动相机组成相机阵列，在拍摄目标两侧斜上方45°角，距离拍摄目标约40 ～ 50 cm处同步拍摄模型翼挥拍运动。相机分辨率为2704像素 × 1520像素，拍摄频率为200 Hz，挥拍频率为3 Hz，故每个挥拍周期可拍摄67组图像，能够有效捕捉运动过程。采用四连杆曲柄摇杆机构实现挥拍运动，挥拍幅度为60°，下挥拍比（1次下拍时间与1个挥拍周期之比）为0.5，如图2所示。
驱动电机为28步进电机，通过驱动器和Arduino开发板编程控制电机转速，进而控制挥拍频率。以光电编码器实时反馈电机位置，构成闭环系统，防止丢步。电机匀速转动，一个周期内的电机角度α为：
$$ \alpha = 2\pi {t^*} - \frac{\pi }{2},{\text{ }}0 \leqslant {t^*} \leqslant 1 $$ (1) 式中，t* = t/T为无量纲时间，T为1个挥拍周期。
根据图2所示四连杆机构的几何关系，通过式（2）即可得到一个周期内的挥拍角度φ（即模型翼与水平面的实时夹角），如图3所示。图中左边灰色部分表示下拍阶段，右边白色部分表示上挥阶段。
$$ \begin{split} \varphi =& \frac{1}{{{l_3} \cdot [{{({y_{{O_3}}} - {l_1}\sin\alpha )}^2} + {{({x_{{O_3}}} - {l_1}\cos\alpha )}^2}]}} \cdot \\& \left[ {({y_{{O_3}}} - {l_1}\sin\alpha ) \cdot [({y_{{O_3}}} - {l_1}\sin\alpha ) \cdot {y_{{O_3}}} + ({x_{{O_3}}} - {l_1}\cos\alpha ){x_{{O_3}}} - {c_0}] - } \right. \left| {{x_{{O_3}}} - {l_1}\cos \alpha } \right| \cdot \\& \left. \sqrt {l_3^2{{({y_{{O_3}}} - {l_1}\sin \alpha )}^2} + l_3^2{{({x_{{O_3}}} - {l_1}\cos \alpha )}^2} - {{[({y_{{O_3}}} - {l_1}\sin \alpha ) \cdot {y_{{O_3}}} + ({x_{{O_3}}} - {l_1}\cos \alpha ) \cdot {x_{{O_3}}} - {c_0}]}^2}} \right] \end{split} $$ (2) $$ {c_0} = \frac{1}{2}(l_2^2 - l_1^2 - l_3^2 + x_{_{{O_3}}}^2 + y_{_{{O_3}}}^2) $$ (3) 为观察翼膜对惯性力的影响，暂不考虑骨架形状的影响，将翼型简化为矩形骨架（无膜翼），翼长180 mm，弦长80 mm，以PLA + 材料3D打印制成，如图4（a）所示。为研究翼膜质量和柔性对挥拍运动惯性力的影响，以矩形骨架为基础，分别粘上尼龙膜和乳胶膜制成尼龙膜翼和乳胶膜翼，粘贴时无预应力，材料参数见表1。
表 1 模型翼膜和骨架的材料参数Table 1 Material parameters of the model wing’s membrane and skeleton材料 密度
ρ/（kg·m−3）弹性模量
E/MPa厚度
h/mm弯曲模量
Eb /MPaPLA + 1300 4000 5 1913 尼龙 629 2500 0.07 — 乳胶 1520 0.66 0.30 — 为捕捉模型翼的运动和变形，在无膜翼和有膜翼上分别标记12和24个点，如图4（b）和（c）所示。六维力传感器（Nano17E, ATI）固定于翼根处，测量挥拍运动时整个模型翼受到的力。传感器参数见表1。
表 2 力传感器量程和分辨率Table 2 Range and resolution of the force sensor参数 量程 分辨率 Fx, Fy 25 N 1/160 N Fz 35 N 1/160 N Tx, Ty, Tz 250 N·mm 1/32 N·mm 1.2 变形测量方法
为有效测量模型翼运动过程中的变形量，编写了基于多目视觉原理的MATLAB程序BatTracker，用于从不同角度拍摄的图像对中计算得到标记点的三维坐标。将三维坐标系（世界坐标系）中的被测对象经刚体变换和透射投影变化至像素坐标系（即相机拍摄的二维图像）中，如图5所示。两次变换的变换矩阵即为相机的外参矩阵和内参矩阵，分别与相机位置和相机参数相关。从二维图像计算标记点三维坐标的BatTracker程序界面如图6所示，图6（a）～（d）为4个角度相机拍摄的图像，（e）为重构标记点的三维坐标。
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图 6 以BatTracker程序计算标记点的三维坐标Fig. 6 The BatTracker program calculates the three-dimensional coordinates of the marked points对相机进行标定，以获得相机的内参矩阵和外参矩阵。张正友标定法[23]是常用的相机标定方法，可用于标定相机位姿和相机参数。本文使用一块12 × 9棋盘格氧化铝基板标定板，每个棋盘格边长10 mm。标定过程如下：将标定板平放于实验台上，以不同角度和位置的相机拍摄棋盘格，得到多幅图像。基于MATLAB工具箱的相机标定应用，可以从多幅图像中得到相机的内参矩阵和外参矩阵。
对变形测量方法进行验证及误差分析。在变形测量实验中，误差主要来源于相机标定的系统误差和人工标记点的人为误差。为验证变形测量方法的有效性，对标准模型进行预实验，计算实验的系统误差和人为误差。首先，计算静态测量的精度。用4台相机从不同角度拍摄5组静态模型翼，重建后的展长和弦长平均值分别为184.02 mm和79.31 mm（见表3），与真实展长180 mm和弦长80 mm相比，相对误差分别为2.23%和0.86%，可见静态重建结果比较准确。
表 3 静态测量误差Table 3 Static measuring error展长/mm 弦长/mm 1 182.89 78.72 2 182.52 78.99 3 185.73 79.61 4 184.66 79.55 5 184.30 79.68 平均值 184.02 79.31 相对误差 2.23% 0.86% 再对动态测量精度进行计算。以3D打印矩形短梁作为标准模型，有效长度L = 8 cm，其他参数和实验所用的矩形骨架相同，如图7所示。以1 Hz频率做挥拍运动，拍摄其运动过程。标准模型尺寸及运动频率较小，可以忽略变形，理论运动幅度可根据几何关系直接得到：短梁中心点距转轴80 mm，挥拍角度为60°，因此短梁中心点在竖直方向上的运动幅度为80 mm。使用BatTracker程序标记短梁的2个端点，重建短梁中心点的运动，得到中心点在竖直方向上的运动幅度为81.89 mm，相对误差为2.36%，与静态重建的误差相近。
1.3 惯性力测量方法
为计算模型翼的运动惯性力，首先需从运动变形数据中拟合出运动曲线。采用BatTracker计算出各时刻所有标记点的三维坐标值，通过线性插值得到以标记点为角点的单元的中心点坐标值。挥拍运动具有周期特性，经测试发现采用七阶傅里叶函数拟合翼膜单元中心点运动曲线和骨架中心点运动曲线较为准确。第i个单元中心点坐标的拟合方程为：
$$ \left\{ \begin{gathered} {x_i} = {a_{i0}} + \sum\limits_{n = 1}^7 {[{a_{in}}\cos (n\omega t) + {b_{in}}\sin (n\omega t)} ] \\ {y_i} = {c_{i0}} + \sum\limits_{n = 1}^7 {[{c_{in}}\cos (n\omega t) + {d_{in}}\sin (n\omega t)} ] \\ {z_i} = {e_{i0}} + \sum\limits_{n = 1}^7 {[{e_{in}}\cos (n\omega t) + {f_{in}}\sin (n\omega t)} ] \\ \end{gathered} \right. $$ (4) 式中：ω = 2π/T为角频率，T为周期；ai0、ci0、ei0为0阶傅里叶系数；ain ～ fin为第n阶傅里叶系数；n表示第n阶，最高7阶；xi、yi、zi为第i个单元中心点的x、y、z坐标。采用式（5）分别对骨架和翼膜的单元惯性力积分，即可得到两者的惯性力[19-21]。
$$ \left\{ \begin{gathered} {F_{Ix}} = - \sum\limits_{i = 1}^{} {{m_i}} {{\ddot x}_i} \\ {F_{Iy}} = - \sum\limits_{i = 1}^{} {{m_i}} {{\ddot y}_i} \\ {F_{Iz}} = - \sum\limits_{i = 1}^{} {{m_i}} {{\ddot z}_i} \\ \end{gathered} \right. $$ (5) 式中：FIx、FIy、FIz分别为模型翼骨架或翼膜在x、y、z方向上的惯性力；$ {\ddot{x}}_{i}、{\ddot{y}}_{i}、{\ddot{z}}_{i} $分别为第i个单元中心点在x、y、z方向上的加速度；mi为第i个单元的质量。
划分的单元越小，计算结果越准确。以往实验研究划分的单元节点间距约为1 ～ 3 cm[19-20]。本文实验中翼膜标记点的弦向间距为2.6 cm，展向间距为3.6 cm，由于挥拍频率较低，翼膜变形量的局部空间差异不大，可以对惯性力进行合理估算。
采用图7的标准模型验证惯性力实验方法，在1 Hz挥拍频率下测量模型惯性力，并与理论值对比。忽略变形，短梁质心坐标可直接由式（2）得到：
$$ \left\{ \begin{gathered} x = 0 \\ y = \frac{L}{2}\cos \varphi \\ z = \frac{L}{2}\sin \varphi \\ \end{gathered} \right. $$ (6) 升力方向和推力方向的惯性力理论值为：
$$ \left\{ \begin{gathered} {F_{Iz}} = - {m_0}L\ddot z \\ {F_{Ix}} = 0 \\ \end{gathered} \right. $$ (7) 式中，m0为单位长度短梁的质量，m0 = 1.82 × 10−4 kg/cm，$ \ddot z $为短梁质心坐标的加速度。
图8为实验值和理论值的对比。实验得到的推力和升力与理论值的时均误差分别为4.24 × 10−5 N和9.59 × 10−5 N。
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图 8 惯性力实验值与理论值对比Fig. 8 Comparison of experimental and theoretical values of inertia forces1.4 气动力测量方法
固定于翼根处的ATI六维力传感器测量的是模型翼受到的气动力和惯性力之和。力传感器记录的力分量数据是以传感器坐标系定义的，需转换至模型翼坐标系再转换至世界坐标系，世界坐标系和力传感器测量坐标系如图1所示（图1中Oxyz为世界坐标系，OAxAyAzA为力传感器坐标系）。坐标转换式如下：
$$ \left\{ \begin{gathered} {F_x} = - {F_{Ax}}\sin \beta - {F_{Ay}}\cos \beta \\ {F_y} = {F_{Az}}\cos \varphi - ({F_{Ax}}\cos \beta - {F_{Ay}}\sin \beta )\sin \varphi \\ {F_z} = {F_{Az}}\sin \varphi + ({F_{Ax}}\cos \beta - {F_{Ay}}\sin \beta )\cos \varphi \\ \end{gathered} \right. $$ (8) 式中：（Fx, Fy, Fz）为世界坐标系下的力分量，（FAx, FAy, FAz）为力传感器直接测得的力分量；β为力传感器测量坐标系x–y平面与模型翼坐标系x–y平面的夹角，β = 48°。
挥拍频率为3 Hz。根据采样定理，只要采样频率大于或等于有效信号最高频率的2倍，采样值就可以包含原始信号的所有信息，可选择传感器有效采样频率为1 kHz，并采用巴特沃斯低通滤波去除高频噪声。若设计的实际截止频率为9 Hz，通带纹波应不大于3 dB，阻带衰减不小于60 dB。根据设计原则确定巴特沃斯低通滤波阶数为3，对测力数据进行滤波，得到如图9所示的结果。
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图 9 ATI力传感器数据滤波前后对比Fig. 9 Comparison of ATI force sensor data before and after filtering对测力数据进行误差分析。使用质量分别为5、10、50和100 g的标准砝码对ATI六维力传感器进行标定，每个砝码取1000个数据点的平均值作为测量结果。假设当地重力加速度为9.8 m/s2，则真实值和测量误差如表4所示。从表中可见，测量值越大，相对误差越小。在本文实验中，测量的受力量级约为0.1 N，由表4可知相对误差约为1.02%，力传感器的量程和分辨率（见表2）能够满足实验要求。已有的应用和研究[24-25]验证了该传感器在运动状态下仍能得到较准确的测量结果。
表 4 ATI力传感器测量误差Table 4 Force sensor measurement error砝码质量/g 重量真实值/N 重量测量值/N 误差值/N 相对误差 5 0.049 0.047 0.002 4.08% 10 0.098 0.097 0.001 1.02% 50 0.490 0.491 0.001 0.20% 100 0.980 0.982 0.002 0.20% 2 实验结果分析
2.1 尼龙膜翼实验结果分析
采用BatTracker重构无膜翼和尼龙膜翼在3 Hz频率下的挥拍运动，如图10和11所示。图中为前视图，即y–z平面图。
以翼尖弦长的中点在竖直方向上的移动距离定义幅值位移。由于惯性的作用，与基于刚性体计算的挥拍运动位移幅值相比，变形后的尼龙膜翼的位移幅值扩大了18.8 mm，而无膜翼的位移幅值几乎不变。
图12展示了升力和推力方向上一个周期内的尼龙膜翼惯性力变化。图中灰色虚线表示一个周期内挥拍角度的变化曲线。可以看出，整体（翼膜 + 骨架）惯性力曲线和骨架惯性力曲线近乎重合，说明惯性力主要是骨架惯性力，翼膜惯性力很小。其原因在于：尼龙膜密度较小，且弹性模量较大、被动变形较小，因此惯性力较小。升力方向上，惯性力在下拍和上挥的转换阶段达到峰值。尽管尼龙膜惯性力很小，但尼龙膜翼骨架部分的惯性力峰值稍大于无膜翼。结合变形结果来看，翼膜的存在增大了模型翼在挥拍方向上的变形。无膜翼惯性推力曲线正负波动的最大幅度大于尼龙膜翼的骨架。从变形上观察，翼膜约束了挥拍运动中骨架在推力方向上的扩张，从而减弱了该方向上的惯性力。
实验在零来流、零迎角条件下进行，因此推力应近似为0，但实验结果表明仍然存在一定推力（比升力低一个量级），且同样在下拍和上挥的转换阶段达到峰值。这可能是由于模型翼在挥拍运动中发生了扭转变形，改变了有效迎角，进而影响了推力。
对扭转角（展长中心处的中心弦线绕前缘旋转的角度）进行计算。实际计算时，将前后缘中点连线作为中心弦线，中心弦线与翼面（刚性翼面）的夹角即为扭转角。从图13中可以看到，模型翼发生了明显的扭转变形，在下拍阶段产生正向扭转，达到最大扭转角后逐渐恢复，在上挥阶段以相同规律产生反向扭转。
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图 13 中心展长处的翼弦绕前缘的扭转角Fig. 13 Twist angle of the wing chord around the leading edge at the center of the span弦向截面上的弯曲变形称为“弓形变形”[26]。弓形变形可以用翼膜拱起高度来衡量，即z方向上翼膜相对于弦线的变形，如图14右上角小图所示：下拍阶段翼膜向上拱起，翼膜最大弓形变形（zmax/c）一直为正，上挥阶段则刚好相反；下拍和上挥阶段的最大弓形变形波动都不大，两者转换阶段则会在惯性作用下发生变形的突变。此外，由于翼膜两边都与骨架相连，最大弓形变形主要集中发生于翼展中段（图中展向位置为y/c）。
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图 14 尼龙膜翼最大弓形变形及其展向位置Fig. 14 Maximum camber and its spanwise location of nylon membrane wing从升力和推力方向上的测力数据中分别剔除根据变形计算得到的升力和推力方向上的惯性力，即可得到模型翼受到的升力和推力，如图15所示。可以看到，在下拍阶段，模型翼主要产生正升力，上挥阶段则主要产生负升力，符合挥拍运动的气动力规律。惯性力量级与升力相当，在下拍转换为上挥时，惯性力峰值甚至大于升力峰值，可见惯性力影响不可忽略。
2.2 乳胶膜翼实验结果分析
采用BatTracker重构翼膜厚度为0.3 mm的乳胶膜翼在3 Hz频率下的挥拍运动。与基于刚性体计算的挥拍运动位移幅值相比，运动变形的乳胶膜翼的位移幅值扩大了28.1 mm，比相同频率下尼龙膜翼和无膜翼的位移幅值扩大得更大。如图16所示。
图17展示了升力和推力方向上一个周期内的乳胶膜翼惯性力变化。与尼龙膜翼相同，升力方向上的惯性力在下拍和上挥的转换阶段达到峰值；与尼龙膜翼不同，密度更大、弹性模量更小的乳胶翼膜在升力方向上的惯性力峰值明显大于尼龙翼膜。乳胶翼膜的惯性力峰值大于其骨架的惯性力峰值，整体（翼膜 + 骨架）惯性力不再以骨架惯性力为主。尼龙膜翼和乳胶膜翼的翼膜惯性力曲线相位都滞后于骨架惯性力曲线，这是由于翼根处骨架主动运动，翼膜被动运动，翼膜运动相位滞后。
如图18所示：与尼龙膜翼不同，柔性更大的乳胶膜翼的最大弓形变形（zmax/c）不再呈现出下拍和上挥阶段“拱起”方向相反的规律，而是更为复杂的波动变化，变形幅值也更大；与尼龙膜翼相比，乳胶膜翼最大弓形变形出现的位置（y/c）也更加分散。
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图 18 乳胶膜翼的最大弓形变形及其展向位置Fig. 18 Maximum camber and its spanwise location of latex membrane wing从升力和推力方向上的测力数据中分别剔除惯性力，即可得到乳胶膜翼受到的升力和推力，如图19所示。与尼龙膜翼的升力曲线相似，乳胶膜翼在下拍阶段主要产生正升力，上挥阶段则主要产生负升力。惯性力量级与升力相当，在下拍转换为上挥时，惯性力峰值略大于升力峰值。乳胶膜翼的正负升力峰值都分别大于尼龙膜翼的正负升力峰值，这是由于柔性更大的材料被动变形更大，气动力也更大。尼龙膜翼和乳胶膜翼的升力峰值都明显大于无膜翼，可见柔性膜翼有效提升了升力。
2.3 翼膜厚度的影响
为探究翼膜厚度的影响，对厚度为0.3、0.5、0.8、1和1.5 mm的乳胶翼膜惯性力和气动力进行对比分析。不同厚度翼膜的弯曲刚度（EI，E为材料弹性模量，I为截面惯性矩）如表5所示。
表 5 不同厚度翼膜的弯曲刚度Table 5 Flexural stiffness of membranes with different thicknesses翼膜厚度h/mm 翼膜弯曲刚度EI/(10−5N·m2) 0.3 1.188 × 10−2 0.5 5.5 × 10−2 0.8 0.2253 1.0 0.44 1.5 1.485 从图20的惯性力曲线看，随着厚度增大，惯性影响逐渐增强，惯性力峰值增大，相位滞后也更大。图21的气动力曲线也呈现出相似规律：随着厚度增大，气动力峰值增大，相位滞后。结合图22的挥拍运动位移幅值扩大变形来看：厚度较小时，随着厚度增大，位移幅值扩大变形迅速增大；厚度较大时，翼膜弯曲刚度也显著增大，位移幅值扩大变形变化不大。厚度增大导致惯性效应增强，使得位移幅值扩大变形增大，惯性力和气动力增大；但厚度增大带来的气动力提升似不足以抵消质量负载的增大，这可能也是蝙蝠翼膜很薄的原因。
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图 21 不同厚度柔性翼的气动力Fig. 21 Aerodynamic forces of flexible wings with different thicknesses![]()
图 22 不同厚度柔性翼的挥拍运动位移幅值扩大变形Fig. 22 Flapping amplitude expansion of flexible wings with different thicknesses3 结 论
本文搭建了基于多目视觉的拍摄平台，获取了柔性膜翼挥拍运动图像，采用多目视觉算法从二维图像中重构了运动过程并获得了实时变形量，从力传感器测得的受力中剔除了根据变形计算得到的惯性力，获得了气动力数据。对柔性膜翼的变形、惯性力和气动力数据进行了分析，主要结论如下：
1）基于多目视觉的动态柔性翼重建方法的测量误差约为2.36%，实现了动态大变形翼挥拍运动中的变形、惯性力和气动力测量。
2）无膜翼、尼龙膜翼和乳胶膜翼都存在不同程度的挥拍运动位移幅值扩大。柔性较大的乳胶膜翼变形更大，惯性力和气动力也更大。挥拍运动中的扭转变形导致了推力的产生。尼龙膜翼和乳胶膜翼的最大弓形变形主要出现于翼展中段，但柔性较大的乳胶翼膜的最大弓形变形位置更加分散，波动变化也更大。
3）随着翼膜厚度增大，模型翼的被动变形增大，惯性力和气动力增大且相位滞后，但与惯性力相比，增大的气动力仍然更小，尤其是当翼膜厚度较大时，继续增大翼膜厚度可能并不能提升气动效率。
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图 6 以BatTracker程序计算标记点的三维坐标
Fig. 6 The BatTracker program calculates the three-dimensional coordinates of the marked points
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图 8 惯性力实验值与理论值对比
Fig. 8 Comparison of experimental and theoretical values of inertia forces
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图 9 ATI力传感器数据滤波前后对比
Fig. 9 Comparison of ATI force sensor data before and after filtering
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图 13 中心展长处的翼弦绕前缘的扭转角
Fig. 13 Twist angle of the wing chord around the leading edge at the center of the span
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图 14 尼龙膜翼最大弓形变形及其展向位置
Fig. 14 Maximum camber and its spanwise location of nylon membrane wing
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图 18 乳胶膜翼的最大弓形变形及其展向位置
Fig. 18 Maximum camber and its spanwise location of latex membrane wing
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图 21 不同厚度柔性翼的气动力
Fig. 21 Aerodynamic forces of flexible wings with different thicknesses
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图 22 不同厚度柔性翼的挥拍运动位移幅值扩大变形
Fig. 22 Flapping amplitude expansion of flexible wings with different thicknesses
表 1 模型翼膜和骨架的材料参数
Table 1 Material parameters of the model wing’s membrane and skeleton
材料 密度
ρ/（kg·m−3）弹性模量
E/MPa厚度
h/mm弯曲模量
Eb /MPaPLA + 1300 4000 5 1913 尼龙 629 2500 0.07 — 乳胶 1520 0.66 0.30 — 
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表 2 力传感器量程和分辨率
Table 2 Range and resolution of the force sensor
参数 量程 分辨率 Fx, Fy 25 N 1/160 N Fz 35 N 1/160 N Tx, Ty, Tz 250 N·mm 1/32 N·mm
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表 3 静态测量误差
Table 3 Static measuring error
展长/mm 弦长/mm 1 182.89 78.72 2 182.52 78.99 3 185.73 79.61 4 184.66 79.55 5 184.30 79.68 平均值 184.02 79.31 相对误差 2.23% 0.86%
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表 4 ATI力传感器测量误差
Table 4 Force sensor measurement error
砝码质量/g 重量真实值/N 重量测量值/N 误差值/N 相对误差 5 0.049 0.047 0.002 4.08% 10 0.098 0.097 0.001 1.02% 50 0.490 0.491 0.001 0.20% 100 0.980 0.982 0.002 0.20%
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表 5 不同厚度翼膜的弯曲刚度
Table 5 Flexural stiffness of membranes with different thicknesses
翼膜厚度h/mm 翼膜弯曲刚度EI/(10−5N·m2) 0.3 1.188 × 10−2 0.5 5.5 × 10−2 0.8 0.2253 1.0 0.44 1.5 1.485
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