Research progress on acoustic impedance eduction technology of aeronautical liner
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摘要:
本文综述了航空声学环境下声衬声阻抗实验提取技术，介绍了多种方法的基本原理、实验布置、研究进展和优劣势。在低频平面波场下，介绍了阻抗管法、单模态法，以及目前主流的目标函数法和直接提取法，其中直接提取法因具有高效、准确的解析优势而受到认可，以上方法均受模态成分限制而存在频率上限。在高频多模态场下，介绍了原位测量法、三维目标函数法、多模态直接提取法、准三维直接提取法、镜像多模态直接提取法，这些方法解决了模态限制，可在不同程度上拓展频率上限。原位测量法的侵入性测量导致其误差和局限性大，三维目标函数法因需三维数值模拟和迭代而效率极低，多模态直接提取法因测点横向间距小而精度不足，准三维直接提取法因受最高阶模态限制而测点需求量大。镜像多模态直接提取法能较好地解决上述问题，它采用锯齿形阵列，基于声场周期性和镜像原理，先将物理阵列展开为多倍宽度等效声场中的对角映射阵列，再调用多模态直接提取法以多模态Prony算法进行声场分解，进而提取声阻抗。镜像多模态直接提取法打破了以往3 kHz的频率上限，能覆盖航空发动机风扇噪声0.2～10 kHz的主要频带，全频提取仅需1 min，比三维目标函数法的效率至少高3个量级，准确性和可靠性较高，且测点大幅减少，兼具宽频、高效、准确、测点少且无损的优势。
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关键词:
- 航空声衬 /
- 声阻抗提取技术 /
- Prony算法 /
- 镜像多模态直接提取法 /
- 高频三维多模态气动声场
Abstract:This paper provides an overview of the impedance eduction techniques of liners in aeroacoustic environments, including the basic principles, experimental arrangements, research progress and features of various methods. In low-frequency plane-wave fields, the impedance tube method, the single mode method, the current mainstream Objective Function Method (OFM) and Straightforward Method (SFM) are available, the latter of which is recognized for high efficiency and accuracy. But all these methods are confined to low-frequency ranges for the modal component limitation. In high-frequency multimodal fields, the in-situ method, the three-dimensional (3D) OFM, the Multimodal SFM (M-SFM), the quasi-3D SFM and the Mirror-based Multimodal SFM (MM-SFM) are developed. All of them address the modal limitation and thus can extend the upper frequency limit to different degrees. The in-situ method suffers from invasive tests resulting in significant errors and limitations. The 3D-OFM suffers from an iteration of 3D numerical simulations resulting in extremely low efficiency. The M-SFM suffers from small transverse spacing between adjoint probes so that its accuracy is not enough. The quasi-3D-SFM suffers from large demand for measuring probes depending on the highest-order mode. The MM-SFM can effectively solve the above problems. It adopts a zigzag array and unfolds it into a mapping diagonal array in a multiple-width equivalent sound field, based on the field periodicity and the mirror symmetry, and then invokes the multimodal Prony algorithm of the M-SFM to decompose the field, so as to educe the acoustic impedance finally. This method breaks the previous upper frequency limit of 3 kHz and can cover the main frequency range of 0.2−10 kHz for aeroengine fan noises; takes only 1 minute to conduct a full-frequency eduction which is at least 3 orders of magnitude more efficient than the 3D-OFM; is of high accuracy and reliability; and decreases the probe number significantly. Generally, it possesses advantages of broadband, efficient, accurate, fewer-probes and non-invasive tests.
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0 引 言
在传播路径上，可以通过适当的边界声处理来改变声波传播特性。该声处理一般用当地声压$ p $和法向声质点脉动速度$ {v}_{\mathrm{n}} $（$ v $在该边界的法向分量）来描述，即声阻抗$ Z $（式（1）），包含实部声阻$ R $和虚部声抗$ X $，其中声阻常取正值以起到吸声作用。
$$ {\textit{Z}}=\frac{p}{{v}_{\mathrm{n}}}=R + \mathrm{i}X $$ (1) 在航空领域，上述声处理常以（局域反应）声衬的形式呈现。图1列举了几种典型的航空声衬[1-5]。单层穿孔板声衬以小孔耗散声能并以蜂窝层调制吸声频率，双层穿孔板声衬则在此基础上多串联了一层“穿孔层 + 蜂窝层”结构，可在一定程度上拓宽吸声频带。A380发动机外涵外壁声衬即为图1（b）所示的双层构型[1]。
航空噪声的最主要来源是航空发动机（简称“航发”），而风扇噪声又在航发噪声乃至整机噪声中占比最大[6]，是航空声衬最重要的降噪目标。有鉴于此，消声短舱（图2）应运而生，其将声衬铺设于短舱流道侧壁以吸收风扇等辐射噪声，对民机总降噪量的贡献极高[7]。但棘手的是，现代民用大涵道比航发短舱内航空声学环境复杂，以高流速（马赫数Ma可达0.6～0.8）、宽频带（风扇主要噪声频率覆盖0.2～10.0 kHz[8]）、高声强（声压级超过155 dB [9]）和多变工况（飞行包线内工况变化大）为典型特征。出于减重减阻的考虑，短舱还呈现出“短而薄”的发展趋势，极大压缩了降噪空间[10]。除此之外，2020年，国际民航噪声指标又降低了7 dB [11]，进一步提升了民机市场准入门槛。综上，航空声学环境复杂、降噪空间有限、噪声标准严苛这3方面因素极大增加了航空声衬的技术难度。为此，本领域的研究者们正在进一步发展适用于复杂气动声学环境的高效航空声衬技术，重点在航空声衬研制流程（图3）中的3个主要环节上发展创新[8, 12]：
1） 声衬声阻抗建模
声衬声阻抗建模包括物理建模和数学建模，目的是获得宽工况降噪的最优结构。物理建模即发展更先进的宽频、线性声衬构型。多自由度是宽频声衬的典型策略[14-21]，通过并联不同参数的多种声学单元，从而在不增大吸声面积和厚度的前提下，实现比双层穿孔板声衬更宽的吸声频带，满足短而薄的短舱发展需求。例如图1（c）所示的多自由度隔膜声衬，其早期构型在1992年就已应用于波音飞机[8]。线性声衬则是一类用微孔阻性结构降低声衬对掠流和声强的敏感性、拓宽吸声流速和声强范围的结构，以金属丝网声衬（图1（d））、微穿孔声衬为代表[5, 22-24]，前者已应用于航空领域[25]。Palma[6]和马绪强[26]等近期综述了航空声衬的发展，可以参考。数学建模则需建立多种机制下声衬声阻抗的准确数学模型[27-28]，如图4所示，除了黏性声阻抗，还有依赖于声强/流速的高声强声阻抗[29-30]、掠流声阻抗[31-32]等。传统穿孔板声衬因由后2种机制主导而呈现较强的敏感性；而微孔结构能显著抑制这2种非线性机制，故上述金属丝网声衬的适用工况更宽。
2）声衬声阻抗优化
声衬声阻抗优化是寻找能为具体问题设计带来最大降噪的最优声阻抗。迭代搜索设计方法[33-34]是以成千上万次（如有限元）声场模拟来搜索最优解的数值方法，适用于复杂几何外形、流场和声源，能给出准确解。然而，其单次模拟计算量与频率、计算域等正相关，参数寻优的模拟迭代次数又与寻优空间维度、目标工况数正相关，用其处理多工况、宽/高频问题时，就会面临计算量激增数个量级的计算瓶颈。模态融合设计方法提供了另一种思路，将降噪优化问题转化为特征值调控问题，即利用模态融合将最小衰减模态尽可能地向更高衰减方向移动，以最大化总降噪量，并高效求解最优声阻抗。该方法由Cremer[35]提出并经Tester[36-37]、Zorumski[38]和Kabral[39]等发展，最近邱祥海和张吉等[40-43]将其发展到圆环管、有限长、局域/非局域声衬等复杂问题。因其解析特性，模态融合设计方法相较于迭代搜索设计方法或与之结合时，能显著提高设计效率[44]。
3）声衬声阻抗提取
声衬声阻抗提取是在航空声学实验条件下采集被测声衬附近的声压场或声速度场等信息来提取声阻抗的技术。回顾航空声衬研制流程（图3）发现：①在研究阶段，声阻抗建模需要声阻抗提取技术供以大量实验数据。②在设计阶段，声衬经声阻抗优化和结构设计后，进入发动机测试之前，也需开展声阻抗提取以作实验验证。可见，无论研究建模阶段，还是声衬设计阶段，声阻抗提取技术都具有关键的基础支撑作用。然而，经典声学中的阻抗管法[45-46]因未引入掠流而无法实现上述目的。为此，气动声学领域相继发展了多种实验方法[47-48]，包括早期的原位测量法[49]、单模态法[50]等，以及目前流行但局限于低频二维平面波场的目标函数法[51]、直接提取法[52]等。但是，随着航空降噪指标进一步提高，声衬目标工况变得更宽、更复杂，故提取方法需朝着更高频率、更多模态、更复杂气动声场的方向发展。为此，新近出现了适用于高频三维多模态场的三维目标函数法[53]、多模态直接提取法[54-55]、镜像多模态直接提取法[56]等。
本文旨在对声衬声阻抗提取技术的发展脉络和新近研究进展予以综述。其中，第1节介绍管道声传播和声阻抗提取的基本原理，第2、3节分别介绍低频平面波声场、宽频多模态声场下的声阻抗提取技术，第4节进行总结并展望未来发展趋势。
1 管道声传播和声阻抗提取基本原理
本节首先从一个典型的矩形流管声处理问题出发，对管道声传播和声阻抗提取的基本原理作简要介绍，以便后续展开讨论。如图5所示，管道高$ {H}_{0} $、宽$ {W}_{0} $，下壁面齐平安装着声阻抗为$ Z $、长度$ L $的声衬，其余管壁均为刚壁；流管中通以一定马赫数的气流，声波从上游刚壁段出发，经声衬段后传至下游刚壁段。流管中采用直角坐标系（x, ${\textit{y}} $, ${\textit{z}} $），其中x、${\textit{y}} $、${\textit{z}} $分别表示轴向、纵向和横向维度。
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在均匀流简化假设下（Ma简化为常数），管内三维声场可由对流Helmholtz方程描述：
$$ {\left(\mathrm{i}{k}_{0} + {M a}\frac{ \partial }{ \partial x}\right)}^{2}p-{\nabla }^{2}p=0 $$ (2) 式中：$ {k}_{0} $为自由空间波数。刚壁处建立法向声质点速度消失边界条件$ \partial p/ \partial n=0 $，而声衬表面则可建立Ingard−Myers声阻抗边界条件[58-59]：
$$ \begin{aligned} &Z={\left(\frac{ \partial p}{ \partial y}\right)}^{-1}\left(\mathrm{i}{k}_{0} + 2{M a}\frac{ \partial }{ \partial x} + \frac{{M a}^{2}}{\mathrm{i}{k}_{0}}\frac{{ \partial }^{2}}{ \partial {x}^{2}}\right)p \end{aligned}$$ (3) 在声处理壁面，基于经典的模态分解理论，该问题的声场解可写为级数展开形式：
$$ p = \sum\nolimits _{m=0}^{M-1} \sum\nolimits_{n=0}^{N-1} {A}_{mn}^{\pm }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(z{k}_{z,m}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(y{k}_{y,mn}^{\pm }\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x{k}_{x,mn}^{\pm }} $$ (4) 式中省略了时间简谐项，$ {A}_{mn}^{\pm } $为复模态幅值，$ m $和$ n $分别为横向和纵向模态阶次，分别截断至$ M-1 $和$ N-1 $阶。上标“$ \pm $”表示流管中前、后传模态。$ {k}_{x,mn}^{\pm } $、$ {k}_{y,mn}^{\pm } $、$ {k}_{z,m} $分别为轴向、纵向、横向波数，通过频散方程关联：
$$ {k}_{x,mn}^{\pm } = \frac{-{M a}\,{k}_{0} \pm \sqrt{{k}_{0}^{2} - \left(1-{M a}^{2}\right) \left[{\left({k}_{{\textit{y}},mn}^{\pm }\right)}^{2} + {\left({k}_{{\textit{z}},m}\right)}^{2}\right]}}{1-{M a}^{2}} $$ (5) 其中，横向刚壁条件下声特征问题决定了$ {k}_{{\textit{z}},m}= m\pi /{W}_{0} $。将声场解式（4）和（5）代入边界条件式（3），可得到声衬法向特征方程：
$$ \begin{aligned} & Z=\frac{{\rm{i}}{k}_{0}}{{k}_{y,mn}^{\pm }{{\rm{tan}}}\left({k}_{y,mn}^{\pm }{H}_{0}\right)}\Bigg\{\frac{1}{1-{M a}^{2}}\Bigg[1\mp \\ & {M a}\sqrt{1-{\frac{{\left({k}_{y,mn}^{\pm }\right)}^{2} + {\left({k}_{z,m}\right)}^{2}}{k_{0}^{2}}}}{({1-{M a}^{2}})}\Bigg]\Bigg\}^{2} \end{aligned}$$ (6) 为方便起见，后文省略上标“$ \pm $”。在正向的管道声传播问题中，式（3）常被用于已知声阻抗输入情况；而在反向的声阻抗提取问题中，式（6）或（3）常被用于计算被测声阻抗输出。
2 低频平面波声场下的声阻抗提取技术
掠流下的声衬声阻抗提取技术可以追溯到20世纪60年代，Rolls-Royce Conway作为第一款民航小涵道比（0.3）涡扇发动机于1960年在波音707上服役，通用电气的全球第一款大涵道比（8.0）涡扇发动机TF39−GE−1A于1969年定型，装配了普惠JT9D−3大涵道比（5.2）涡扇发动机的波音747宽体客机同年试飞成功，大涵道风扇噪声控制及航空声衬测试需求随之变得迫切。
为此，NASA的Marino等[60]在1967年改造了阻抗管，将其末端与通以气流的管道或风洞相接，实现了掠流下的穿孔板声阻抗测量。1974年，波音的Armstrong等[50]提出了假设无限长管道的单模态法，可以在理想情况下得到较准确的测量值。随着计算机数值模拟技术的兴起，NASA的Watson[61-62]又于1984年提出了基于声阻抗猜测和声场数值迭代的目标函数法。2008年，北京航空航天大学景晓东等[52]受电磁学Prony算法启发，提出基于管道声特征值分析的直接提取法，该方法具有高效而准确的优势。在低频二维平面波气动声场下，目标函数法和直接提取法是目前的主流测试方法，其他方法形成补充，下面将对它们进行介绍。
2.1 早期萌芽
阻抗管法[45-46]是经典声学中广泛使用的一种传统声阻抗测量方法。它将声学试样置于阻抗管一端，声波从另一端发出并垂直入射至试样，研究者采用传声器等采集管内声场信息，从而可以简单地计算声阻抗。但航空声衬工作在高速掠流下且对其变化特别敏感，这就要求声阻抗提取实验也必须包含掠流。为此，Marino[60]、Feder[63]和Mechel[64]等在20世纪60年代对阻抗管进行了改造，将其末端与通以气流的管道或风洞相接，整体为如图6 所示的“T”型[49]，并将试样平齐安装于两者交界处，声源和测点仍置于阻抗管内，从而实现了气动声学条件下的声阻抗测量。Goldman[65]和Kompenhans[66]等在早期的穿孔板掠流声阻抗研究中便利用了该方法。然而，该方法中声源入射形式和被测声负载均与实际不符，使测量结果中掺入了声波透过试样进入气流管道/风洞而引起的辐射声阻抗，需进行复杂的标定，准确性无法保证；且试样仅限于穿孔板等声学单元，结构和尺寸受限。因此，该方法未被广泛使用并逐渐被淘汰。
单模态法，亦称为无限波导管法，是由波音短舱降噪技术部门的Armstrong等[50]于1974年提出的一种声阻抗提取方法。如图7（a）所示，为了更真实地模拟航发短舱内的声衬工作环境，在矩形管道一侧壁面平齐安装被测声衬，管内通以声波和掠流，并布置测点于声衬对壁进行声场采集—这种实验配置即为此后声衬测试流管实验台的雏形。该方法进一步假设声衬段无限长，使其内部只存在单个声模态，记为$ \left(0,\mathrm{ }0\right) $，从而使所测声场的声压级LSP和相位$ \phi $沿轴向线性变化，其斜率分别包含了模态的轴向衰减速率和相速度信息，由此可以计算出其复轴向波数$ {k}_{x, 00} $：
$$ {k}_{x, 00}=-\frac{{\rm{d}}\varphi }{{\rm{d}}x} + \mathrm{i}\frac{\mathrm{ln}10}{20}\frac{{\rm{d}}{{L}_{{\rm{SP}}}}}{{\rm{d}}x} $$ (7) 进而在均匀流假设下，可以基于第1节的推导，用频散方程（式（5））计算声衬法向波数$ {k}_{y, 00} $，再代入声特征方程（式（6））即可代数计算声阻抗$ Z $。若考虑更接近真实情况的流动，也可以假设剖面为$ {M a}\left(y\right) $的一维剪切流；此时模态声压的$ y $方向分布记为$p\left(y\right)$，不再满足式（4）中$ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({k}_{y,00}y\right) $的解析形式，需利用射点法或四阶Runge−Kutta法等从声衬对侧刚壁边界出发数值积分Pridmore−Brown二阶常微分方程[67]，来计算声衬表面的$p$和$\partial p/ \partial y$；再将其与$ {M a}\left(y\right) $一起代入Ingard−Myers边界条件（式（3））中，即可计算出声阻抗。
遗憾的是，由于声衬段无限长、单模态这2个极为苛刻的假设在实验中难以满足，该方法目前已甚少见诸报道[68-70]。即使声源发出单模态波，经过刚壁和声衬的阻抗间断后，也常会在声衬段散射出多个声模态，且声衬出口强反射也可能在声衬末端叠加出驻波（这在图7（b）中便有所体现），进而使LSP和$ \phi $沿轴向线性变化的假设不成立，无法保证提取准确性，该方法因而失效。
2.2 目标函数法
20世纪80年代，国际民航产业爆发式增长[72]。上述几种早期的声阻抗测量方法不够准确和实用，不再能够满足民航降噪技术的发展需求，驱使着学界对测量方法进行升级。
目标函数法[61-62]，亦称反演迭代法，其思想最早源于Rolls-Royce 公司的工程师[73]，并由NASA Langley研究中心的Watson于1984年正式提出，是一种实验测量与模拟预测相结合、迭代提取声阻抗的方法。如图8所示，该方法在前后刚壁段、声衬对壁及其两侧刚壁布置传声器阵列，开展声场测量；同时采用有限元法[74-76]、模态匹配法[77]、多模态法[78]和Wiener−Hopf法[79]等，对与实验相对应的声传播问题开展声场预测。然后，将实验测量与模拟预测的流管内声压场残差[80]、轴向波数残差[81]、声速度场残差[82]、声透射损失残差[73]或上述残差在一定权重下的线性组合定义为目标函数。式（8）为一种基于声压场残差的形式最简单的目标函数：
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图 8 NASA Langley研究中心的GFIT流管实验台[90]Fig. 8 GFIT flow duct setup in NASA Langley research center[90]$$ {Res}=\sum\nolimits _{j=0}^{J-1}\left|{p}_{j}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}}-{p}_{j}^{\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}}\right| $$ (8) 式中：$ J $为总测点数，$ {p}_{j}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}} $和$ {p}_{j}^{\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}} $分别为第$ j $个测点的测量声压和数值模拟声压。如图9（a）所示，为了初始化提取过程，该方法需猜测一个声阻抗值代入传播模型，以预测声物理量分布；在之后的每次迭代前，再根据此前的计算结果给出本次迭代的声阻抗输入。当预测与实验的声场残差足够小，即目标函数值小于给定阈值时，迭代终止，本次声阻抗迭代值就被当作声衬试样的声阻抗提取值；否则继续迭代，直至满足残差阈值或最大迭代次数[51, 74, 83]。
该方法可在模拟短舱声衬工作环境的气动声场下对较大尺寸的试样进行无损测试，不仅可以采用对流Helmholtz方程或Pridmore−Brown方程，也可采用简化较少的线化Euler、Navier−Stokes等主控方程[81, 84-85]，从而可以考虑热黏效应和湍流边界层等的影响，使之比前述几种方法能更准确地提取声阻抗。Zhang等[86]则通过将等效声阻抗边界施加于主流和边界层交界面处以考虑剪切流速度型的影响。Roncen等[87]发展了基于Bayesian理论和马尔科夫链−蒙特卡洛技术的目标函数法。该方法能够定量考虑高声强效应，提取声衬沿程声压级衰减下的空间变化声阻抗，并使用代理模型在一定程度上减少了计算量，成为之后的主流提取方法之一。
然而，该方法在“阻抗猜测−声场模拟”迭代中需消耗大量的计算时间和资源，当初值猜测不合理时收敛更慢，效率较低，尤其是在涉及大量实验提取需求的声衬声阻抗建模中。而且，模拟计算域的声源和出口边界条件必须由实验测量确定，测量偏差可能引入额外的提取误差源，也使传声器需求量大幅增加。此外，当目标函数随声阻抗变化比较平坦[76, 88]，或流管内声场对进出口边界条件比较敏感时[89]，采用该方法可能导致所提取的声阻抗存在反常的不确定性。
2.3 直接提取法
直接提取法（Straightforward Method, SFM），是北京航空航天大学景晓东等[52]于2008年提出的一种无需任何迭代、通过单次运算来提取声阻抗的方法。对于流管截面内平行于声衬的z方向上仅存在单个横向模态m的声场，此时声衬法向（y方向）上通常仍存在多个声模态$ n $，导致上述单模态法的理想假设难以成立。由第1节的声特征方程（式（6））可知，解析提取声衬未知声阻抗的关键在于波数$ {k}_{y,mn} $的确定（由于只有单个横向模态，以下省略下标m），即如何根据壁面声压数据进行模态分解得到模态波数，进而开展声阻抗提取。
为此，直接提取法在流管测试段的声衬对壁（y = 0）沿轴向均匀布置$ J $个传声器以采集声压信号（图10），并参照式（4）将各测点的声压截断至共计N阶的法向模态：
$$ {p}_{j}=\sum\nolimits _{n=0}^{N-1}{A}_{n}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{x,n}j{\text{Δ}} x},\left(j=0,1,\cdots ,J-1\right) $$ (9) 式中：测点j = 0位于x = 0处，$ {\text{Δ}} x $为相邻测点间距，且$J\geqslant 2N$。为了对空间声场做模态分解以得到这$ N $个模态的信息，进一步引入电磁学研究中的Prony算法[91-92]，并将上式改写为：
$$ \begin{aligned} &{p}_{s + r}=\sum \nolimits_{n=0}^{N-1}{A}_{n}{w}_{n}^{s + r},(s=0,1,\cdots ,N;\\ &r=0,1,\cdots ,J-N-1)\end{aligned}$$ (10) 式中：定义$ {w}_{n}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{x,n}{\text{Δ}} x} $，并假设它是以下关于$ w $的N阶多项式的解：
$$ \sum \nolimits_{s=0}^{N}{C}_{s}{w}^{s + r}=0,\left({C}_{N}=1\right) $$ (11) 在式（10）的两端同时乘以未知系数$ {C}_{s} $并对其实施$ s $从0至N的求和操作，再利用式（11）可得：
$$ \sum \nolimits_{s=0}^{N}{p}_{s + r}{C}_{s}=0,\left(r=0,1,\cdots ,J-N-1\right) $$ (12) 如图9（b）所示，一旦确定式（12）中的未知系数${C}_{s}\left(s=0,1,\cdots, N-1\right)$，便可通过式（11）求得N阶多项式的根$ {w}_{n} $，进而获得轴向波数$ {k}_{x,n} $，再结合各波数之间的频散关系（式（5）），即可求得这$ N $个模态的法向波数${k}_{{\textit{y}},n}\left(n=0,1,\cdots ,N-1\right)$，最后选取合适的模态（一般为最小衰减模态）代入声特征方程（式（6））便可确定声衬未知声阻抗Z。
该方法提出后获得了持续发展。Renou等[93]将Prony算法替换为类Prony的KT算法[94]，进行真伪模态识别和选取；景晓东等[95]发展了求解Pridmore−Brown方程的直接提取法以考虑一维速度型对声阻抗提取的影响；Zhou等[84]又将其发展至基于线化Navier−Stokes方程从而进一步引入了黏性效应对阻抗提取的影响。此外，d’Elia等[96]采用激光多普勒速度显示技术测量声质点脉动速度场并代入直接提取法中，且以矩阵束算法代替Prony算法计算轴向波数，进而提取声阻抗，也得到了准确的结果；同时也指出，由于速度场采集时间远超过传声器声压场采集时间，该方法更适用于机理研究而非大规模实验。
直接提取法的优势在于避免了单模态法的理想假设，能准确测量复杂多自由度声衬结构，具有更广泛的适用性；还避免了目标函数法的全声场模拟及进出口边界条件测量引入的额外误差，极大缩短了计算时间、减少了资源消耗。尽管直接提取法与目标函数法的提取原理有着本质区别，但两者实验台设置的共通之处在上述单模态法中已初见端倪，于是NASA Langley研究中心的Watson等[90, 97]曾在图8所示的GFIT实验台上对两者进行了细致的比较研究，KTH的Weng等[98]也对比过两者的性能。结果表明，直接提取法没有初值猜测和收敛性问题，在刚壁声导纳验证实验中的提取精度高达小数点后12位，明显高于目标函数法的小数点后5位[90]；而在声衬测试中，两者的提取准确性相当；在时间效率方面，直接提取法比他们提出的目标函数法高1～2个量级[97]，展现出显著优势。正因如此，尽管直接提取法还存在下文2.4节所述的频率限制，它仍在学界受到了诸多关注和应用[22, 59, 99-100]。
2.4 提取频率和模态限制
上述方法中，早期的改进阻抗管法和单模态法都不能准确提取实际声阻抗，因此，本小节关于模态和频率限制的讨论主要针对目标函数法和直接提取法。
二维目标函数法基于二维数值模型，其最大问题在于横向物理场的均一假设。其中，均匀背景流假设对声阻抗提取虽有干扰，但在很多情况下未产生质变性影响[95]，仍属次要因素；而均匀横向声场假设则意味着管道横向仅有平面波，在高频下出现多个横向高阶声模态时，各特征值之间阶跃变化，二维目标函数法及该假设会因无法处理这一情况而失效。因此，该方法的横向平面波假设实际上设定了一个与管道截面几何相关的提取频率上限，例如，在NASA Langley研究中心的典型小尺寸（宽51 mm）掠入射流管GIT和GFIT上，提取频率上限都约为3 kHz[101-102]，对应于其刚壁段第一个高阶模态的截止频率。三维目标函数法则因提取中需要大量模拟迭代三维声场而存在计算量巨大的问题，局限性很大，这将在后文3.2节展开详细讨论。
直接提取法允许存在多个法向模态，但却隐性地限制了管道声场只能有单个横向模态，否则面临全模态分解的难题，即不能确定所提取的轴向波数属于哪一个横向模态。然而，当高阶模态截通时，要在管内创造单模态声场并非易事，这导致该方法在高频下失效。Watson等[100, 103]在实验中使用了32个扬声器组成的声源阵列，才能够在大尺寸流管实验台CDTR内创造了这样的声场[104]，即便如此，直接提取法在该流管内的提取频率上限也仅能被拓展到与GIT流管相当的程度，而这仍然是不够的。Medeiros等[99]为了避免多模态声场的全模态分解及轴向与横向波数匹配的难题，沿管内一个模态的节线布置传声器阵列，仅需采集另一个模态，即可实现2个横向模态声场下的声阻抗提取。本质上，这仍是单个横向模态提取，且如他们所述，该方法无法被推广至包含更多横向模态的工况，而这在高频下或在CDTR流管内是比较典型的工况。
综上，直接提取法和二维目标函数法分别因为横向的单模态或平面波假设，导致其存在与流管截面尺寸负相关的频率上限，在典型小尺寸流管上也仅能达到3 kHz，不能满足覆盖航发风扇噪声主要频率范围的声衬声阻抗提取需求。
3 宽频多模态声场下的声阻抗提取技术
一方面，进入21世纪，民航涡扇发动机的涵道比明显提高，喷流速度和喷流噪声随之明显减小[105-106]；另一方面，风扇叶片弯掠优化、转静叶片排距离改进等声源方面的降噪技术又极大地减小了风扇纯音[107-108]。这两方面因素使现代典型大涵道比风扇宽频噪声在航发总噪声中的占比进一步提高，主要分布在0.2～10 kHz较宽频带内，因此，NASA的Jones等[51]早在2005年便指出“最终目标是发展全三维方法，将提取频率拓展到10 kHz”，这对声衬声阻抗提取技术提出了更高的要求。
受原理所限，第2节所述方法仍未解决掠流下的高频提取难题，提取频率仅限于3 kHz以下，无法应用于高频三维多模态气动声场。既然流管截面尺寸越大时，模态成分限制导致的提取频率上限就越低，那么，能否通过简单地减小流管截面尺寸，来提高频率上限呢？答案是否定的。例如，GIT流管的51 mm宽试样对应的截止频率约为3 kHz，若要将截止频率提高到10 kHz，则试样宽度需减小至15 mm左右，这并非一个好的方案。因为声阻抗提取实验中，需要一个大小合理的试样来呈现原声衬结构的声学性能，以避免由试样制造缺陷等局部效应导致的声阻抗提取误差。
实际上，Dean[49]1974年提出的原位测量法就能实现掠流下的高频测量，但它存在声衬探针侵入性安装、无法测量复杂宽频声衬结构等问题（3.1节将详述）。为此，近十来年，研究者们开始尝试发展能够打破该频率上限的无损测试方法。NASA的Jones等[51]和法国里昂中央理工学院的Troian等[53] 分别于2005和2017年将目标函数法推广到准/全三维，原理上确实不再受频率和模态限制，但却存在计算效率低的问题。邱祥海、景晓东等[54-55]于2018年发展了多模态Prony算法和对角阵列，之后引入信赖域方法，提出了多模态直接提取法，并开展了实验验证，打破了直接提取法对模态成分和频率的限制。2020年，陈凌峰等[109]从另一技术路线出发提出的准三维直接提取法也实现了这一功能。最近，邱祥海等[56]又发展了折线阵列、声场镜像原理，提出了镜像多模态直接提取法，大幅提高了提取精度和效率，减少了测点需求，实现了覆盖航发风扇噪声0.2～10 kHz主频的目标。下面对以上方法进行介绍。
3.1 原位测量法
原位测量法[49]是由洛克希德·马丁公司的Dean发明、与早期的单模态法（2.1节）同年诞生的一种声阻抗测量方法。如图11（a）所示，将2只传声器侵入性地插入声衬内部，分别测量声衬外表面和背腔底部的声压信号，进而得到这2个测点间的声压级差值${\text{Δ}} {L_{{\rm{SP}}}}$和相位差值$ {\text{Δ}} \phi $，再将其代入下式，即可代数计算声衬声阻抗：
$$ {\textit{Z}}=\frac{\mathrm{sin}{\text{Δ}} \phi -\mathrm{i\,}\mathrm{cos}{\text{Δ}} \phi }{\mathrm{sin}\left({k}_{0}{d}_{{\rm{c}}}\right)}{10}^{{{\text{Δ}} L_{{\rm{SP}}}}/{20}} $$ (13) 式中：${d}_{{\rm{c}}}$为腔深。进一步地，荷兰宇航中心NLR的Zandbergen[110]于1981年发展了针对双层声衬的原位测量法，采用如图11（b）所示的3支传声器分别采集面板、中间层和背板处的声压，从而同时提取出整体声阻抗和中间层声阻抗。然而，由于外置传声器在高速流下受湍流随机脉动信号的影响很大，测量结果较为分散，误差较大。为此，Gaeta等[111] 于2007年在Dean工作的基础上引入三传声器信号增强技术[112]，如图11（c）所示，将第三只传声器平齐安装于穿孔面板且与另一支外置传声器保持一定距离，再通过传声器信号间的互相关来分离湍流噪声，提高了信噪比和测量质量。
Geata等所提方法的优缺点都很明显。一方面，它仅感受当地声信号，不受管内模态成分、声场空间分布的影响，因而原理上没有频率上限，这也使其不仅适用于阻抗管和流管等的实验室测量[28]，也能应用于航发短舱飞行条件下的声衬声阻抗提取，Gaeta[111]和Zandbergen[113]等就曾对此进行报道—这是其他方法难以做到的，也是该方法的最大优势。同时，该方法原理简单，提取结果严格对应于当地声压级，可以定量研究掠流和高声强效应的相互作用。因此，NLR和NASA等研究机构[114-116]都使用过该方法。
另一方面，该方法仅能测量当地声阻抗，测量结果受局部加工误差干扰极大，有较强的随机性，也难以测量多自由度宽频声衬这类空间非均匀复杂结构[14-21]。例如，图1（c）中的隔膜声衬[117]由多种背腔交叉组合而成，每种背腔都植入了不同型号、深度、数量的隔膜，因而具有不同的声阻抗，而该声衬的总声阻抗是各背腔并联后的集总参数，显然，用原位法对其测量不太现实。原位测量法对试样的侵入性安装后会引入额外误差，实验也表明其声阻抗测量结果对传声器安装状态极为敏感[111]。
3.2 三维目标函数法
目标函数法作为一种最小化模拟/测量声场残差来迭代搜索声阻抗的数值方法，从2.2节的二维版本推广到本节的三维版本，仅需调用三维数值声传播模型，就能适用于高频三维多模态声场，这是直接且容易的。
2005年，NASA的Jones等[51]便基于横向声场傅里叶级数发展了准三维的目标函数法，但当时并未尝试更高频率和多模态声场。从2009年开始，Watson等[76, 118-119]在包含横向高阶声模态的CDTR大尺寸流管上（图12）应用该准三维方法多次开展三维声场下的声阻抗提取实验，取得了不错的效果。Watson等[120]又于2015年发展了基于有限元求解对流Helmholtz方程的准三维目标函数法，并在GFIT上对横向分段声衬开展提取，测得了准确的声阻抗结果。Buot de l’Épine等[121]同年提出一种基于模态匹配法和Bayesian理论的准三维目标函数法，先预设声阻抗简单关系式，再在提取中确定其中的未知系数，进而在多模态场下一次性提取整个声阻抗频谱。这2项研究中，尽管声场是三维的，但都做了均匀背景流假设，相比真实实验条件仍有较大简化。2020年，Roncen等[122]也发展了一种基于截面二维线化Euler方程、通过最小化数值轴向波数与测量轴向波数来提取声阻抗的准三维目标函数法，该方法考虑了截面非均匀声场和流场，但因结合了KT算法而仍局限于单个横向声模态。2017年，Troian等[53]发展了一种基于线化Euler方程的全三维时域目标函数法，通过时域阻抗模型参数优化来最小化声场残差，实现了宽频声阻抗提取，在考虑声场/流场三维效应方面，比以往方法都更进了一步。
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上述研究表明，目标函数法在三维多模态场下是可行的；尽管提取频率上限大多仍未超过3 kHz，未能实现10 kHz的目标，但在原理上并不存在不可解决的问题。三维目标函数法的真正困难在于模拟迭代中所面临的计算负担问题。虽然利用代理模型能在一定程度上加速计算[85]，但对于声衬提取实验中动辄成百上千个工况点而言，三维模拟迭代的计算量仍是个巨大的挑战。例如，Troian等[53]使用单核需要20 天才能完成单流速点的声阻抗提取，且该提取中仅有前三阶横向模态（m $\leqslant $ 2）。模拟中的边界条件设置及提取中的目标函数构建所需的实验测量也变得更加困难，且可能引入更大的误差，例如Buot de l’Épine等[121]在2.5 kHz以下、m $\leqslant $ 2时便使用了多达72支传声器开展测量。这些都是棘手的问题。总的来说，为了更好地满足覆盖航发风扇噪声主要频率范围的提取需求，三维目标函数法尚需进一步发展。
3.3 多模态直接提取法
多模态直接提取法（Multimodal-SFM, M-SFM）是邱祥海等[54]2018年通过打破直接提取法的横向单模态限制，使入射声波可以是平面波与多个高阶模态的任意组合，进而提出的一种覆盖航发风扇噪声主频的新方法。该方法在声衬对壁沿斜对角线布置传声器阵列，同时采集包含轴向和横向模态信息的壁面声压；同时提出了多模态Prony算法，以实现所提取轴向波数与横向模态的自动匹配，解决了特征值和边界条件均未知条件下对三维多模态声场的全模态分解难题，达到了提取声衬声阻抗的目的。
下面简要介绍该方法原理。如图13（a）所示，$ J $个传声器以（$ {\text{Δ}} x,0,{\text{Δ}} z $）间距均布于流管上壁，形成对角阵列，坐标原点在流管侧壁与阵列延长线的交点处。假设流管内有$ \mathcal{M} $个横向模态，其阶次$ m $不一定连续，将其按$ m $的升序排序，并以$ {m}_{q} $表示第$ q $个模态的阶次，则有${m}_{\mathcal{M}-1}\geqslant M-1$。这样处理的好处在于无需对其中不存在的模态布点解析，能有效减少测点数。每个横向模态被截断到共计$ N $阶纵向模态，总模态数为$ \mathcal{M}N $。测点$ j $处的声压可共计由式（4）改写为：
$$ {p}_{j}=\sum \nolimits_{q=0}^{\mathcal{M}-1}\sum\nolimits _{n=0}^{N-1}{A}_{{m}_{q}n}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({z}_{j}{k}_{z,{m}_{q}}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{x}_{j}{k}_{x,{m}_{q}n}} $$ (14) 该问题的难点在于：不同于经典模态分解，除横向波数$ {k}_{z,{m}_{q}} $外，各模态轴向波数$ {k}_{x,{m}_{q}n} $、纵向波数$ {k}_{{\textit{y}},{m}_{q}n} $、模态幅值$ {A}_{{m}_{q}n} $、声阻抗$ Z $（即特征值、特征系数、特征边界）均未知。分析声特征方程（式（6））可知，若$ {k}_{{\textit{z}},{m}_{q}} $对应的$ {k}_{x,{m}_{q}n} $确定，就可由频散方程（式（5））计算$ {k}_{{\textit{y}},{m}_{q}n} $，再由式（6）计算声阻抗$ {\textit{Z}} $。可见，关键在于求解$ {k}_{x,{m}_{q}n} $并确定它与$ {k}_{{\textit{z}},{m}_{q}} $的对应关系。为此，发展了多模态Prony算法来分解三维多模态声场，引入2组变量：
$$ {w}_{qn}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{x,{m}_{q}n}{\text{Δ}} x},{w}_{q}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{{\textit{z}},{m}_{q}}{\text{Δ}} z} $$ (15) 将式（15）代入式（14），则测点$ j $的声压可写为：
$$\begin{aligned} &{p}_{j}=\sum \nolimits_{q=0}^{\mathcal{M}-1}\sum\nolimits _{n=0}^{N-1}{A}_{{m}_{q}n}\frac{{w}_{q}^{j + {j}_{0}} + {w}_{q}^{-j-{j}_{0}}}{2}{w}_{qn}^{j + {j}_{0}},\\ &(j=\mathrm{0,1},\cdots ,J-1) \end{aligned}$$ (16) 引入$ {j}_{0}={z}_{0}/{\text{Δ}} z={x}_{0}/{\text{Δ}} x $来描述第一个测点$ j=0 $的起始坐标。假设$ {w}_{q}{w}_{qn} $和$ {w}_{q}^{-1}{w}_{qn} $分别是2个关于$ w $的$ N $阶多项式的根：
$$ \sum\nolimits _{s=0}^{N}{C}_{qs}{w}^{s}=0,\sum\nolimits _{s=0}^{N}{w}_{q}^{2s}{C}_{qs}{w}^{s}=0,\left({C}_{qN}=1\right) $$ (17) 在式（16）等号的两端同时乘以 $ \prod _{q=0}^{\mathcal{M}-1}{C}_{q{s}_{2q}} {w}_{q}^{2{s}_{2q + 1}}{C}_{q{s}_{2q + 1}} $，并结合式（17），可推导出$ \mathcal{M} $个横向模态入射时的一组方程：
$$ \begin{aligned} &\sum \nolimits_{{s}_{i}=0}^{N}\left[{p}_{r + \sum \nolimits_{k=0}^{2\mathcal{M}-1}{s}_{k}} \cdot \prod\nolimits _{q=0}^{\mathcal{M}-1} \left({C}_{q{s}_{2q}}{w}_{q}^{2{s}_{2q + 1}}{C}_{q{s}_{2q + 1}}\right)\right] = 0,\\ &\left(r=0,1,\cdots J-2\mathcal{M}N-1\right) \end{aligned}$$ (18) 这里$ p $的下标“$ j $”被写为变量$ r $和$ {s}_{0},{s}_{1},\mathrm{ }\cdots , {s}_{2\mathcal{M}-1} $求和的形式；其中$ {s}_{2q} $和$ {s}_{2q + 1} $与第$ q $个横向模态的$ N $阶多项式（式（17））相关联；系数$ {C}_{qs}(s=0, 1,\cdots ,N-1) $是待定系数，要求测点数$J\geqslant 3\mathcal{M}N$。邱祥海等[55]最近推导了式（18）的雅可比矩阵，并采用高效的信赖域算法对$ {C}_{qs} $进行求解，一旦代入$ {p}_{j} $确定$ {C}_{qs} $，便可如图14所示，从式（17）和（15）求解$ {k}_{x,{m}_{q}n} $，随后由式（14）和（5）分别求得$ {A}_{{m}_{q}n} $和$ {k}_{y,{m}_{q}n} $，再由式（6）代数计算声阻抗$ Z $。
该方法巧妙之处在于，它引入分别关联横向波数$ {k}_{z,{m}_{q}} $和轴向波数$ {k}_{x,{m}_{q}n} $的变量$ {w}_{q} $和$ {w}_{qn} $，并在式（17）中将两者结合，使$ {k}_{z,{m}_{q}} $与$ {k}_{x,{m}_{q}n} $绑定，以实现2组波数的自动匹配，这是其全模态分解、进而提取声阻抗的关键。有赖于此，该方法打破了直接提取法的单个横向模态限制和3 kHz频率上限，其原理上实际已经不再受频率限制。例如，在图13（b）所示的流管实验中，邱祥海等使用36支传声器将提取频率拓展到了6 kHz[54-55]。该方法还继承了直接提取法高效的优势，提取时间以秒计，效率比三维目标函数法[53]至少高2～3个量级。该方法所需传声器数量也相对较少：如3.2节所述，三维目标函数法在2.5 kHz前三阶横向模态截通时使用了多达72支传声器[121]，相比之下，在类CDTR大尺寸流管实验中同为三阶模态截通时，本节所述方法不仅将频率提高到5 kHz，还将测点数减少到48个[54]。
但该方法也存在一些缺点：与其他方法相同，它也无法做到如原位测量法一般开展航发短舱飞行条件下的声衬测试[111, 113]，也暂时无法采用Roncen的方法，用目标函数法测量声衬沿程声衰减下的空间变化声阻抗[87]。此外，采用该方法的阵列排布方式，测量精度不高，该问题将在3.4节予以很好地解决。
3.4 镜像多模态直接提取法
2023年，镜像多模态直接提取法（Mirror-based Multimodal-SFM, MM-SFM）由邱祥海等[56]提出，在3.3节多模态直接提取法的基础上，将对角阵列升级为如图15所示的锯齿形阵列，从而采集到更丰富的声场信息，并利用横向刚壁边界条件带来的声场驻波周期性和镜像对称，将该阵列展开为多倍宽度管道等效声场中的映射对角阵列（图16），再调用M-SFM提取声阻抗。该方法是一种更准确、更高效、频带更宽、测点更少且无损的新方法。
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图 16 锯齿阵列与对角阵列的镜像映射关系[56]Fig. 16 Mirror-based mapping from the zigzag array to the diagonal array[56]下面简要介绍该方法的原理。图15中矩形流管内截面宽度为$ {W}_{0} $，上壁面装有J个传声器组成的“Z”形阵列，用以监测声衬上方声压数据。假设该阵列有$ \varPsi $个分段，相邻测点沿“Z”形路径的轴向和横向间距分别为$ {\text{Δ}} x $和$ {\text{Δ}} z $。再假想一个宽度为$ \varPsi {W}_{0} $，即宽度为原管道$ \varPsi $倍的流管，其下壁面安装与待测声衬声阻抗相同的试样，并假设其声场的模态成分为$ \left(\varPsi {m}_{q},n\right) $，各模态与原声场中对应模态$ \left({m}_{q},n\right) $的幅值相同，即$ {A}_{\varPsi {m}_{q},n}^{{'}}={A}_{{m}_{q}n} $。该映射流管上有一个映射的等间距对角阵列，轴向和横向间距也是$ {\text{Δ}} x $和$ {\text{Δ}} {\textit{z}} $，且其前几个测点与锯齿阵列第一段折线上的各传声器重合。该映射问题中包括$ {H}_{0} $、$ L $、$ {M a} $和$ {k}_{0} $在内的其余参数都与原流管一致。由此可推导原物理场与映射场之间的对应关系如下：
原流管中测点声压$ {p}_{j} $可由式（14）给出，下面考虑映射声场。不难发现，模态$ \left(\varPsi {m}_{q},n\right) $的横向波数$ {k}_{{\textit{z}},\varPsi {m}_{q}}^{{'}}=\varPsi {m}_{q}\pi /\varPsi {W}_{0} $与原流管中实际模态$ \left({m}_{q},n\right) $的$ {k}_{{\textit{z}},{m}_{q}}={m}_{q}\pi /{W}_{0} $一致。声衬阻抗相同的前提下，将$ {k}_{{\textit{z}},\varPsi {m}_{q}}^{{'}}={k}_{{\textit{z}},{m}_{q}} $代入式（6）中，可发现$ {k}_{{\textit{y}},\varPsi {m}_{q}n}^{{'}}= {k}_{{\textit{y}},{m}_{q}n} $，再根据式（5），有$ {k}_{x,\varPsi {m}_{q}n}^{{'}}= {k}_{x,{m}_{q}n} $。这表明2组声场有完全相同的模态波数，又因为已假设各对应模态幅值一一相等，因此映射阵列中测点$ j $即$ \left({x}_{j},0,{{\textit{z}}}_{j}^{{'}}\right) $处的声压$ {p}_{j}{{'}} $为：
$${p}_{j}^{\mathrm{{'}}}=\sum\nolimits _{q=0}^{\mathcal{M}-1}\sum\nolimits _{n=0}^{N-1}{A}_{{m}_{q}n}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({k}_{z,{m}_{q}}{z}_{j}^{\mathrm{{'}}}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{x}_{j}{k}_{x,{m}_{q}n}} $$ (19) 如图16所示，该映射流管可被若干直线$z=\psi {W}_{0} \left(\psi =\mathrm{0,1},\dots ,\varPsi -1\right)$等分成宽度$ {W}_{0} $的$\varPsi$块。引入变量${dz}_{j}'={z}_{j}{'}-\psi {W}_{0}\in \left[0,\right.\left.{ W}_{0}\right)$表示第j个测点到其所处分块侧边界$ z=\psi {W}_{0} $的横向距离，于是式（19）可重写为：
$$\begin{aligned} &{p}_{j}{'}=\sum\nolimits _{q=0}^{\mathcal{M}-1}\sum\nolimits _{n=0}^{N-1}{A}_{{m}_{q}n}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\psi {m}_{q}\pi + {k}_{z,{m}_{q}}{dz}_{j}^{{'}}\right)\\ &{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{x}_{j}{k}_{x,{m}_{q}n}} \end{aligned}$$ (20) 式中，$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\psi {m}_{q}\pi + {k}_{z,{m}_{q}}{dz}_{j}{{'}}\right)$可依据$ \psi $的奇偶性进行化简，再考虑原声场解（式（14）），声压${p}_{j}{{'}}$可进一步重写为：
$$ \begin{aligned} & p_j^{\prime}\left(x_j, 0, \psi W_0+d z_j^{\prime}\right)= \\ &\left\{\begin{array}{l} \sum_{q=0}^{\mathcal{M}-1} \sum_{n=0}^{N-1} A_{m_q n} \cos \left(k_{z, m_q} d z_j^{\prime}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x_j k_{x, m_q n^n }}= \\ p_j\left(x_j, 0, d z_j^{\prime}\right), \psi \text { 为偶 } \\ \sum_{q=0}^{\mathcal{M}-1} \sum_{n=0}^{N-1} A_{m_q n} \cos \left[k_{z, m_q} \left(W_0 - d z_j^{\prime}\right)\right] \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x_j k_{x, m_q n }}= \\ p_j\left(x_j, 0, W_0-d z_j^{\prime}\right), \psi \text { 为奇 } \end{array}\right. \end{aligned}$$ (21) 实际上，$ \psi $为偶数时的${{\rm{d}}{\textit{z}}}_{j}^{{'}}$和$ \psi $为奇数时的${W}_{0}-{{\rm{d}}{\textit{z}}}_{j}^{{'}}$正好是原流管上第j个传声器到侧壁$ z=0 $的距离$ {z}_{j} $，于是上式总结为：
$$ {p}_{j}^{\mathrm{{'}}}\left({x}_{j},0,{{\textit{z}}}_{j}^{\mathrm{{'}}}\right)={p}_{j}\left({x}_{j},0,{{\textit{z}}}_{j}\right) $$ (22) 这说明映射场与原声场在各自测点j处的声压正好相等，即锯齿阵列被展开为映射对角阵列。实际上，整个映射场与原声场也都是等效的，即边界$ {\textit{z}}=\psi {W}_{0} $与$ z=\left(\psi + 1\right){W}_{0} $所框定的部分映射场，在$ \psi $为偶数时正好是原声场的平移场，而在$ \psi $为奇数时则是原声场的镜像场。所以，2组阵列的等效性也可通过声场的多次镜像对称操作来证明，此处不再赘述。这样，原流管中锯齿形阵列的提取问题被转化为在展开的映射场中用等间距对角映射阵列从声压${p}_{j}{{'}}$中提取声阻抗的等效问题，使该方法可将2组阵列声压映射关系式（22）代入3.3节式（18），进而调用M-SFM方法提取声阻抗$ Z $，因此该方法被称为“镜像多模态直接提取法”（MM-SFM）[56]。
该方法继承了M-SFM[54-55]的诸多优点，例如不受模态成分限制、适用频率宽、效率高、传声器需求量相对少、无需侵入性安装、能准确无损测量复杂宽频声衬结构等，更重要的是，它还能显著提高提取精度。研究[56]表明，相比M-SFM在宽度$ {W}_{0} $窄管道上的原始斜对角阵列，锯齿阵列及其映射操作可以显著提高相邻传声器的横向间距，例如，在$51\;{\rm{mm}}\times 51\;{\mathrm{m}\mathrm{m}}$截面管道中，横向间距在满足采样定理前提下可以从毫米量级[54-55]增大到几厘米量级，获得更丰富的声场信息，从而更好地区分横向模态。图17展示了MM-SFM方法在随机噪声扰动下的提取结果，其横向间距22.5 mm恰好为半管宽，提取不确定度较小，均值也几乎与正确值重合，提取精度和可靠性得到显著提升。这又使其频率和效率有进一步提升的空间：在均为前三阶横向模态截通（m $\leqslant $ 2）的情况下[53, 56, 121]，该方法[56]仅用36个测点就覆盖了航发风扇噪声0.2～10 kHz主频带，测点数仅为文献[121]中的一半，而频率上限则为其4倍；即使单线程运行也仅需1 min便能完成一次全频谱声阻抗提取，效率比三维目标函数法[53]至少高3个量级。
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图 17 MM-SFM法（36个测点，$ {\text{Δ}} \mathit{x} $ = 22 mm, $ {\text{Δ}} \mathit{z} $ = 25.5 mm, $ \mathcal{M}\mathit{N} $ = 10）在75 m/s平均流速、50和5000 次随机噪声扰动（最大幅度为声压级±0.5 dB/相位±1°）下提取声衬声阻抗的均值和不确定度[56]Fig. 17 Averaged educed liner impedance and uncertainties of the MM-SFM under 50 and5000 random perturbations （with maximum errors of ±0.5 dB in SPL and ±1° in phase） using 36 probes, $ {\text{Δ}} \mathit{x} $ = 22 mm, $ {\text{Δ}} \mathit{z} $ = 25.5 mm and $ \mathcal{M}\mathit{N} $ = 10 at ${M a}$ = 0.22[56]3.5 准三维直接提取法
准三维直接提取法是北京航空航天大学陈凌峰等[109]2020年基于直接提取法，参考经典圆管周/径向模态分解思路，采用矩阵阵列提出的一种同样适用于宽频三维多模态声场的声阻抗提取方法，但仅考虑了均匀流场，所以与3.2节的多数目标函数法相同，是一种准三维方法。
如图18所示，该方法将轴向$ {J}_{x} $排、横向$ {J}_{z} $排共$J={J}_{x} {J}_{z}$个传声器以间距（${\text{Δ}} x,0,\;{\text{Δ}} z$）均布于流管上壁，形成矩阵阵列，其中测点$ \left({j}_{x},{j}_{z}\right) $的声压$ {p}_{{j}_{x},{j}_{z}} $可由式（4）改写为：
$$ \begin{aligned} &{p}_{{j}_{x},{j}_{z}}=\sum\nolimits _{m=0}^{M-1}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({k}_{z,m}{z}_{{j}_{z}}\right){B}_{m{j}_{x}},\\ &\left({j}_{x}=\mathrm{0,1},\cdots ,{J}_{x}-1;{j}_{z}=\mathrm{0,1},\cdots ,{J}_{z}-1\right) \end{aligned}$$ (23) 其中：
$$ {B}_{m{j}_{x}}=\sum\nolimits _{n=0}^{N-1}{A}_{mn}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{x,mn}{j}_{x}{\text{Δ}} x},\left({j}_{x}=\mathrm{0,1},\cdots ,{J}_{x}-1\right) $$ (24) 首先做横向模态分解，将$ J $个测点的声压代入式（23），易得$ {J}_{x} $个轴向位置处各$ M $个未知量$ {B}_{m{j}_{x}} $。对比式（24）与（9）发现，其本质完全相同，于是将式（24）中各横向模态的$ {B}_{m{j}_{x}} $分别代入式（9）的$ {p}_{j} $中，即可调用2.3节的直接提取法进行法向模态分解、求得$ MN $个模态并提取声阻抗Z。
该方法与3.3～3.4节的M-SFM和MM-SFM方法相同，都能在宽频带、多模态下高效且较准确地提取声衬声阻抗，但需要的传声器数量更多，这是因为其测点数由最高横向模态阶数$ M $决定，而M-SFM和MM-SFM的测点数则由横向模态数量$ \mathcal{M} $决定，且$\mathcal{M}\leqslant M$。例如，考虑以下算例[54]：宽0.38 m大尺寸流管内有横向模态$ m $ = 3和5，在提取过程中，将它们各分解$ N $ = 5个纵向模态，由此可知$ \mathcal{M} $ = 2，而$ M-1 $ = 5，即$ M $ = 6。据此可计算出采用准三维直接提取法求解上述方程需要的最少测点数$ 2MN $为60，而该方法兼顾测点数和准确性的实际推荐数为$ M\left(2N + 4\right) $[109]，即84个。与之相比，3.3节中M-SFM的最小测点数为$ 3\mathcal{M}N $，即30个，实际取了36个[54]，远少于前者；至于升级后的镜像版本MM-SFM[56]，由于精度提高，测点数还能进一步减少。
4 结论与展望
本文综述了航空声衬声阻抗实验提取技术的发展脉络和研究进展，对多种方法作了基本原理介绍和优劣势分析。直接提取法和目标函数法作为2种主流方法，因受模态成分限制，测量频率上限较低，实际只适用于低频平面波声场测量。针对高频多模态声场测量及声阻抗提取，新近的镜像多模态直接提取法较好地解决了上述问题，它采用锯齿形阵列，并基于声场周期性和镜像原理将其展开为多倍宽度等效声场中的映射对角阵列，再调用多模态Prony算法开展声场分解和声阻抗提取。该方法打破了以往的3 kHz频率上限，能覆盖航发风扇噪声0.2～10 kHz主要频带；全频提取仅需1 min，比三维目标函数法提取效率至少高3个量级；准确性和可靠性较高，测点大幅减少，兼具宽频、高效、准确、测点少且无损等优势。此外，尽管原位测量法为侵入性测试且误差和局限性大，但它适用于航发短舱飞行条件下声衬测试的优势是其他方法无法比拟的。三维目标函数法效率极低，但它能在数值模拟中考虑物理场全三维效应、声阻抗空间变化等复杂因素。
通过航空工程中声阻抗的提取需求及趋势，可部分展望其未来发展方向—声衬自由度更多、试样/管道尺寸更大、吸声频带向高/低频拓展得更宽、测试工况更多/更密、时间/资源效率要求更高、需更精细地考虑黏性/流场/声场空间变化等的影响。为此，镜像多模态直接提取法需发展非均衡模态分步求解算法，以进一步拓展至任意大管道、任意多模态和任意宽频带，并正确考虑沿程衰减声压级、截面非均匀流场、顺逆流声波阻抗统一性和黏性效应等因素；三维目标函数法则需发展代理模型等快速算法和高效阵列等，以解决时间效率低、传声器数量多等问题。
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图 8 NASA Langley研究中心的GFIT流管实验台[90]
Fig. 8 GFIT flow duct setup in NASA Langley research center[90]
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图 16 锯齿阵列与对角阵列的镜像映射关系[56]
Fig. 16 Mirror-based mapping from the zigzag array to the diagonal array[56]
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图 17 MM-SFM法（36个测点，$ {\text{Δ}} \mathit{x} $ = 22 mm, $ {\text{Δ}} \mathit{z} $ = 25.5 mm, $ \mathcal{M}\mathit{N} $ = 10）在75 m/s平均流速、50和
5000 次随机噪声扰动（最大幅度为声压级±0.5 dB/相位±1°）下提取声衬声阻抗的均值和不确定度[56]Fig. 17 Averaged educed liner impedance and uncertainties of the MM-SFM under 50 and
5000 random perturbations （with maximum errors of ±0.5 dB in SPL and ±1° in phase） using 36 probes, $ {\text{Δ}} \mathit{x} $ = 22 mm, $ {\text{Δ}} \mathit{z} $ = 25.5 mm and $ \mathcal{M}\mathit{N} $ = 10 at ${M a}$ = 0.22[56] -
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1. 景秋岚，肖友洪，余亮. 切向流条件下融合阻抗模型的声阻抗与管内流速同步提取方法. 声学学报. 2025(02): 287-298 . 
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