Multi-objective optimization method for light-field multi-spectral pyrometer
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摘要: 多光谱测温是一种应用广泛的非接触式测温方法。针对多光谱高温计分光系统复杂的问题，本文设计了基于光场相机的光场多光谱高温计，用简洁的光学系统即可实现二维高温测量。光场相机可同时记录入射光线的方向和强度，通过在相机主镜头前放置滤波片阵列，光线的方向信息被替换为光谱信息，使得图像传感器可同时获取光线的光谱和强度。在光谱发射率未知的情况下获得被测对象温度，是多光谱数据处理中亟待解决的难题。常用的发射率假设模型法无法广泛应用于各种材料的温度测量。本文提出了一种基于多目标优化的多光谱温度反演方法，无需发射率先验知识即可精确求解被测对象真实温度和光谱发射率。该方法根据辐射方程建立多目标函数，设置发射率约束条件，并采用惩罚函数法求解约束优化问题。黑体炉标定实验结果表明：该方法的测量误差小于1%，表明了所提出的光场多光谱测温硬件设计及温度反演方法的可行性和可靠性。Abstract: A light-field multi-spectral pyrometer is designed for two-dimensional, high-temperature measurements. The proposed method is based on an unfocused light-field camera, which can simultaneously record directions and intensities of incident rays. The direction information of rays is substituted by radiation spectrums via placing an array of filters in front of the camera’s main lens, such that the image sensor can simultaneously acquire spectra and intensities of rays. For multi-spectral data processing, how to obtain the accurate target temperature under unknown spectral emissivity is a difficult problem to be solved. A multi-objective optimization method is proposed to obtain the inverse true temperature and spectral emissivity without assuming the emissivity model. In this method, the multi-objective function is established according to the radiation equations. The emissivity constraint conditions are set for the objective function, and the penalty function method is used to solve the optimization problem. The calibration experiment results of the black-body furnace show that the relative error of the light-field multi-spectral pyrometer method is less than 1%, which proves the feasibility and reliability of the proposed design and temperature inversion method.
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0 引 言
为精确控制飞行器姿态和轨迹，需时刻掌握飞行器周围的大气数据（迎角、侧滑角、马赫数、静压、动压等）。通过惯性导航系统间接获得的大气参数精度难以满足要求，传统探针式大气数据测量系统则会给飞行器带来隐身性能下降、气动热等问题[1]，两者都难以满足现代飞行器的测量需求。高精度、高可靠性、低成本的嵌入式大气数据传感（Flush Air Data Sensing, FADS）系统是新型战斗机及高超声速飞行器大气数据测量的优选。
与探针式大气数据传感系统不同，FADS系统是在飞行器表面布置测压孔，通过内嵌压力传感器阵列测得飞行器表面压力分布，利用表面压力分布与飞行状态之间的对应关系，采用解算算法获取大气参数[2]。FADS系统可实时测量飞行器大气参数，为大气层内飞行器的飞行控制提供实时高精度飞行参数，目前已应用于多种飞行器，如F–18战斗机[3]，X–31[4]、X–33[5]、X–43A[6]等技术验证机，B–2、X–47B等飞翼飞行器[7]及多种航天飞行器[8-9]。国内FADS技术研究起步较晚，飞行试验公开报道较少，目前多为理论研究和风洞试验研究（包括解算算法、补偿算法[10]、故障识别方法[11]、组合导航技术[12]等研究），也有部分团队完成了工程样机研制[13]。
常见的FADS技术一般需在飞行器头部驻点开设测压孔测量总压，但是受限于飞行器头部外形结构和内部空间，以及火控雷达等设备的影响，工程上难以在飞行器头部配置测压孔[14]。部分尖前体飞行器前缘半径过小，也无法在头部驻点配置测压孔[15]。驻点压力对于马赫数解算至关重要[16]，缺乏驻点压力信息会导致测压点接收的动压大幅减小，进而导致大气数据解算精度大幅下降，因此，亟需建立高精度、无驻点压力的FADS技术，以满足工程需求。
Whitmore等[17]提出将FADS系统安装于机翼前缘（LE-FADS），在算法中使用加权最小二乘法。低速风洞试验结果表明该方案具有一定可行性，但受风洞堵塞效应影响，大迎角下的测量值与理论值相差较大。王岩和郑伟[14]针对某型战斗机研究了基于查表法的分布式FADS系统（DFADS）。该系统测压点全部位于雷达罩后方，避免了对雷达系统的干扰，但系统精度尚未得到验证。王鹏等[18]针对某尖楔前体飞行器研究了驻点压力对BP神经网络算法精度的影响，在驻点压力不作为训练输入时，迎角测试误差从0.15°升高至0.25°。王禹等[7]针对飞翼飞行器设计了基于机翼上下或左右压力系数差的解算算法，仿真结果表明该算法精度较高且稳定收敛。
本文针对菱形前体外形开展亚跨声速风洞试验，对基于卡尔曼滤波算法的无驻点压力FADS技术进行研究及精度分析。
1 试验模型与设备
本文工作基于现代战斗机常用的菱形机头模型。模型长L = 280 mm，宽b = 88 mm，高H = 89 mm。沿机体轴向在5个横截面上开设14个测压孔（以P1～P14表示，孔径均为1.2 mm），其中11个测压孔位于机体下表面，呈十字形分布，3个测压孔位于上表面，如图1所示。将机头驻点定义为坐标系原点，x轴沿机体轴向向后为正。模型支杆设置了基准块，利用角度象限仪可将模型迎角及滚转角调整至0°。迎角机构底座设有弯槽，可供支杆安装的侧滑角至多可达到 ± 6°，模型侧滑角依靠支杆安装角度确定，安装误差≤0.02°。迎角机构控制误差≤0.06°。
表 1 测压孔位置信息Table 1 Location information of pressure ports测压孔编号 轴向位置/mm 圆周角/(°) 1 35.0 0 2 52.5 0 3 70.0 0 4 87.5 0 5 105.0 0 6 70.0 −30 7 70.0 −60 8 70.0 −90 9 70.0 30 10 70.0 60 11 70.0 90 12 35.0 180 13 70.0 180 14 105.0 180 试验在南京航空航天大学空气动力学系NH–1亚跨超声速风洞进行。NH–1风洞是一座间歇型直流下吹式亚跨超三声速风洞，运行马赫数范围为0.2～3.5，试验段口径为0.6 m × 0.6 m。经过标校，亚跨声速下NH–1风洞试验段核心流区气流偏角＜0.13°，马赫数误差＜0.0037。在本文试验中，校准马赫数为0.3、0.6、0.9、1.05，模拟高度分别为300 m、1.5 km、3.0 km、3.8 km；迎角范围为−10°～10°；侧滑角范围为−6°～3°。此外，还开展了马赫数0.8、侧滑角6°的试验，试验结果用于检验算法模型精度。模型最大横截面积为5422 mm2，风洞试验最大阻塞度约为4.6%。
表面压力测量系统为PSI公司的DTC Initium电子压力扫描阀系统。该系统由主机及多个ESP–64HD模块组成，主机可同时连接多个模块同步采集，每个模块可提供64个通道压力数据，且有多种量程可供选择。模块使用了差压传感器，64个通道共用1个参考端，实验中，参考端一般连接常温静止大气。测量精度为 ± 0.05% FS，试验过程中采样频率为333 Hz，量程为15 psi（约103.425 kPa）。
2 解算原理与方法
目前，FADS技术已发展出较多解算算法，例如三点法（应用案例：X–33[5]）、最小二乘法（应用案例：F–18[19]）、神经网络法[20]、卡尔曼滤波算法（应用案例：HFLEX[21]、“火星科学实验室MSL”[22]）等。三点法、最小二乘法基于钝头体空气动力学模型推导而来，一般认为不适用于尖头体外形。神经网络法拟合精度通常较高，但需要大量训练样本数据。卡尔曼滤波算法已经在HFLEX、“火星科学实验室”中得到了应用，测量精度较好（测压孔在非机头锥布局情况下，该方法也能够保持较好的测量精度[23]）。因此，本文基于该算法建立亚跨声速小迎角稳态飞行FADS解算算法。
大气参数解算是复杂的非线性问题，应用卡尔曼滤波算法需利用泰勒展开将系统线性化。飞行器表面某点压力可以下式表示：
$$ p_{i} = p_{∞} + qC_{pi} $$ (1) 式中：pi为第i个测压点的压力值；p∞为来流静压，q为来流动压；Cpi为与马赫数Ma、迎角α、侧滑角β有关的压力系数函数[14]，该函数是FADS算法的核心。p∞、q和来流总压p0、马赫数Ma中只有2个独立变量，因此决定飞行器表面压力的独立变量仅有4个。本文选取$X $= [α, β, p∞, q]T作为独立变量预测压力。通过风洞试验获得各测压点压力与大气参数变量的关系，即：
$$ {p_i} = {f_i}\left( {\boldsymbol{X}} \right) + {e_i} $$ (2) 式中，ei为测量误差。任取n个测压点用于解算，有：
$$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_1}} \\ {{p_2}} \\ \vdots \\ {{p_n}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}(X)} \\ {{f_2}(X)} \\ \vdots \\ {{f_n}(X)} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_1}} \\ {{e_2}} \\ \vdots \\ {{e_n}} \end{array}} \right] $$ (3) 将上式简写为向量形式：
$$ {\boldsymbol{P}} = {\boldsymbol{F}}\left( {\boldsymbol{X}} \right) + {\boldsymbol{e}} $$ (4) 式（4）为非线性方程，通过级数展开将其线性化，可得压力近似值：
$$ {\boldsymbol{P}} = {\boldsymbol{F}}\left( {{{\boldsymbol{X}}_0}} \right) + {\left[ {\frac{{\partial {\boldsymbol{F}}}}{{\partial {\boldsymbol{X}}}}} \right]_{{\boldsymbol{X}} = {{\boldsymbol{X}}_0}}}\Delta {\boldsymbol{X}} + {\boldsymbol{e}} $$ (5) 式中，${\boldsymbol{X}}_0$为先验状态估计值，Δ${\boldsymbol{X}} $为递归过程中的更新向量，即Δ${\boldsymbol{X}} $= ${\boldsymbol{X}} $ − ${\boldsymbol{X}}_0$。定义${\boldsymbol{H}} $为雅可比矩阵：
$$ {\boldsymbol{H}} = {\left[ {\frac{{\partial {\boldsymbol{F}}}}{{\partial {\boldsymbol{X}}}}} \right]_{{\boldsymbol{X}} = {{\boldsymbol{X}}_0}}} $$ (6) 定义${\boldsymbol{y}} $为压力残差：
$$ {\boldsymbol{y}} = {\boldsymbol{P}} - {\boldsymbol{F}}\left( {{{\boldsymbol{X}}_0}} \right) $$ (7) 式（5）可简化为：
$$ {\boldsymbol{y}} = {\boldsymbol{H}}\Delta {\boldsymbol{X}} + {\boldsymbol{e}} $$ (8) 至此，式（5）已从非线性问题转化为线性问题。
假设测量误差${\boldsymbol{e}} $均值为0，协方差为${{S}} $，根据Gauss–Markov定理，可得Δ${\boldsymbol{X}} $最佳线性无偏估计为：
$$ \Delta {\boldsymbol{X}} = {\left( {{{\boldsymbol{H}}^{\mathrm{T}}}{{\boldsymbol{S}}^{ - 1}}{\boldsymbol{H}}} \right)^{ - 1}}{{\boldsymbol{H}}^{\mathrm{T}}}{{\boldsymbol{S}}^{ - 1}}{\boldsymbol{y}} $$ (9) 假设测量误差不相关，则测量误差协方差矩阵${\boldsymbol{S}} $为：
$${\boldsymbol{ S }}= E\left[ {{\boldsymbol{e}}{{\boldsymbol{e}}^{\mathrm{T}}}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sigma _1^2}&{}&{}&{} \\ {}&{\sigma _2^2}&{}&{} \\ {}&{}& \ddots &{} \\ {}&{}&{}&{\sigma _n^2} \end{array}} \right] $$ (10) 式中，σi为压力测量误差的标准差。
解算出Δ${\boldsymbol{X}} $后，需进行递归运算，令：
$$ {\boldsymbol{X}}_{0} = {\boldsymbol{X}}_{0} + \Delta {\boldsymbol{X }} $$ (11) 经多次迭代运算，当压力残差${\boldsymbol{y}} $趋于0时，估计值${\boldsymbol{X}}_0 $已趋于真实值${\boldsymbol{X}} $。
得到动压、静压后，马赫数Ma和总压p0可分别根据以下公式求出：
$$ q = 0.5\gamma {p_{{\infty}} }M{a^2} $$ (12) $$ \frac{{{p_0}}}{{{p_{{\infty}} }}} = {\left( {1 + \frac{{\gamma - 1}}{2}M{a^2}} \right)^{\frac{\gamma }{{\gamma - 1}}}} $$ (13) 式中，γ为空气比热比，值为1.4。
卡尔曼滤波算法目前应用较少，其缺点主要在于：1）需进行大量矩阵运算，且需要迭代，计算量较大；2）使用绝压进行计算，为满足飞行器全速域飞行要求，需使用大量程传感器，导致在起飞等低速阶段传感器测量精度不高；3）算法不解耦，当某一变量计算误差较大时，其他变量的计算误差也会同时增大。
为弥补这些缺点，本文将纵截面或横截面测压点的差压引入预测变量${\boldsymbol{P}} $。此时，预测压力的拟合式从pi = p∞ + qCpi简化为pij = qCpij（pij = pi − pj, Cpij = Cpi − Cpj），计算量减小；两点之间的差压远小于每个点的绝压，因此可以使用小量程差压型传感器，提高测量精度。一般纵截面内差压与侧滑角关联较小，横截面内差压与迎角关联较小，引入这部分差压可将预测变量部分解耦，其形式如下：
$$ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} {p_i} \\ {p_j} \\ {p_k} \\ \vdots \\ \end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered} {p_{{\infty}} } + q{C_{pi}}(\alpha ,\beta ,Ma) \\ {p_{{\infty}} } + q{C_{pj}}(\alpha ,\beta ,Ma) \\ {p_{{\infty}} } + q{C_{pk}}(\alpha ,\beta ,Ma) \\ \vdots \\ \end{gathered} \right] \\ \Downarrow \\ \left[ \begin{gathered} {p_i} \\ {p_i} - {p_j} \\ {p_i} - {p_k} \\ \vdots \\ \end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered} {p_{{\infty}} } + q{C_{pi}}(\alpha ,\beta ,Ma) \\ q{C_{pij}}(\alpha ,Ma) \\ q{C_{pik}}(\beta ,Ma) \\ \vdots \\ \end{gathered} \right] \\ \end{gathered} $$ (14) 3 结果分析
3.1 测压点选择方案
通过风洞试验建立了各测压点的压力数据库，对各测压点的试验数据进行分析，图3展示了Ma = 0.9、β = 0时部分测压点的压力值（图中pi表示第i个测压点的压力值）。可以看出：纵截面上P1、P3、P5、P12、P13和P14的压力随迎角变化显著，即关于迎角敏感；下表面P1、P3和P5的压力随迎角增大单调上升，上表面P12、P13和P14的压力随迎角增大单调下降，符合压力变化规律；P1、P3、P12和P14的压力变化幅度大、线性度好，更有利于解算。侧滑角为0时，对称位置测压点的压力值应相等：P6与P9、P7与P10呈现出较好的对称性，更有利于解算；P8与P11呈现出一定非对称性，这可能是由模型加工误差所导致。解算4个大气参数至少需4个测压孔，增加测压孔数量可以提升精度，但数量过多会导致计算量大幅增加且易引入故障，本文使用了6个测压孔，初步选用P3、P6、P7、P10、P12、P14展示解算过程。
3.2 基于绝压数据的解算精度分析
关于马赫数Ma、迎角α、侧滑角β的Cp函数是非常复杂的非线性函数，通常难以直接获得。根据泰勒公式，可将复杂函数近似为形式简单的多项式函数。多项式方程计算简单，易于实现，适合工程应用。
采用多项式形式对Cp函数进行了拟合。图4展示了不同马赫数下P1的压力系数空间曲面拟合结果。从图中可以看出Cp与迎角、侧滑角大致呈线性关系，与马赫数呈非线性关系。由于马赫数仅有4个，因此关于马赫数采用了二次拟合。
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图 4 不同马赫数下Cp1随迎角和侧滑角变化的空间曲面Fig. 4 Cp1 with angle of attack and sideslip at different Mach numbers首先，仅使用单一马赫数下的试验数据进行拟合，此时拟合的Cp函数仅涉及迎角和侧滑角，暂不涉及马赫数，便于确定算法精度上限。在不融合其他马赫数数据时，Cp函数拟合度极高，R2达到0.97以上。多次试验的结论基本一致，本文仅介绍其中部分数据结果。以马赫数0.6、侧滑角3°工况的试验数据为例，拟合精度如图5所示（本文以均方根误差衡量精度）。由图5可以得出：FADS测量迎角精度0.11°，侧滑角精度0.15°，静压精度0.18%，马赫数精度0.004；迎角最大误差<0.37°，侧滑角最大误差<0.61°，静压最大误差<0.67%，马赫数最大误差<0.011。可以看出，在精确拟合出Cp函数的前提下，无驻点压力解算算法可以较好地还原马赫数。在本试验的校准范围内，初始值选择上一轮迭代收敛值或恒定值，算法均可收敛，前者一般迭代3～5次达到收敛，后者一般迭代7～10次达到收敛。
风洞校准试验仅能获得离散马赫数下的数据，而飞行器实际飞行过程是一个连续调速调姿过程，需基于离散校准数据建立连续算法，使FADS系统在飞行器整个速域内均可解算大气数据。将所有校准马赫数下的试验数据全部用于拟合，得到较宽速域内的连续Cp函数。为兼容多个马赫数下的数据，连续Cp函数的拟合度有所下降。
以马赫数0.8、侧滑角6°工况的试验数据检验算法模型的解算能力。图6展示了使用连续Cp函数解算马赫数0.8、侧滑角6°工况试验数据的精度：迎角精度0.27°，侧滑角精度0.44°，静压精度1.14%，马赫数精度0.017；迎角最大误差<0.42°，侧滑角最大误差<1.05°，静压最大误差<1.93%，马赫数最大误差<0.041。在非校准车次里，算法解算误差增大，这是因为校准马赫数仅有4个且间隔较大，导致算法存在欠拟合问题，整体拟合度有所下降。此外，侧滑角6°在校准侧滑角范围之外，这证明算法具有一定外插预测能力。
从以上不同工况的试验结果可以看出：无驻点压力解算算法具有较高精度，且压力系数函数拟合度越高，解算精度越高。若要投入实际应用，还需根据实际需求合理规划校准马赫数，以建立较为精确完整的表面压力模型。
3.3 引入差压数据的解算精度分析
图7展示了马赫数为0.9时的P14与P3压力系数差值。在校准范围内，Cp14 − Cp3随迎角变化显著，且几乎与侧滑角无关，引入此差压可以部分地解耦，提高整体解算精度。本文预测变量P最终调整如式（15）。
$$ P{\text{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_3}} \\ {{p_6}} \\ \begin{gathered} {p_7} \\ {p_{10}} \\ {p_{12}} \\ \end{gathered} \\ {{p_{14}}} \end{array}} \right] \to P{\text{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} {p_{14}} - {p_3} \\ {p_6} \\ {p_7} \\ \end{gathered} \\ {{p_{10}}} \\ {{p_{12}} - {p_3}} \\ {{p_{14}}} \end{array}} \right] $$ (15) 图8展示了以优化算法解算马赫数0.8、侧滑角6°工况试验数据的精度：迎角精度0.33°，侧滑角精度0.30°，静压精度0.67%，马赫数精度0.011；迎角最大误差<0.55°，侧滑角最大误差<0.78°，静压最大误差<1.70%，马赫数最大误差<0.036。对比原算法的解算结果，侧滑角、静压、马赫数的解算误差均有所减小，迎角解算误差略增大。在非校准马赫数下，算法迭代次数仍然少于10次即可达到收敛。
表2列出了多种测压孔方案下的解算精度提升幅度（以均方根误差的下降幅度衡量，正值代表误差减小，精度提升）。引入差压数据后，大部分参数的解算精度获得提升，少数参数的解算精度下降但降幅较小，迭代所需次数无明显增加。因此可以得出结论：引入差压数据可以减小计算量并提升解算精度。若应用于其他构型，还需根据气动外形特点，尝试不同测压孔方案和差压绝压组合方案，获得最佳解算精度。
表 2 精度提升幅度Table 2 The increase of accuracy测压孔编号 迎角精度
/(°)侧滑角精度
/(°)静压精度
/%马赫数
精度3、6、7、10、12、14 −0.07 0.14 0.47 0.006 1、6、7、10、12、14 0.89 1.02 −0.08 0.059 1、3、6、7、10、14 0.59 0.14 0.37 0.018 1、3、6、7、10、12 0.75 0.61 0.05 0.035 3、7、9、10、12、14 1.13 0.25 −0.02 0.060 3、6、9、10、12、14 −0.22 0.13 0.37 0.004 3、6、7、9、12、14 −0.20 0.19 0.25 0.003 4 结 论
以战斗机常用菱形机头为研究对象，开展了亚跨声速风洞试验，对基于卡尔曼滤波算法的无驻点压力FADS技术进行了研究和改进。研究结果表明：
1）无驻点压力FADS技术可以在缺乏驻点压力信息的条件下解算出大气数据，其中迎角精度为0.33°，侧滑角精度为0.30°，静压精度为0.67%，马赫数精度为0.011。
2）合适地引入差压可以减小计算量并提升无驻点压力FADS技术的精度。
3）无驻点压力FADS技术迭代次数少，计算较快，具有一定工程应用前景。
本文仅研究了小迎角稳态飞行状态下的测量方法，而真实战斗机常需进行大迎角飞行和高动态机动飞行。较大的运动角速率会对基于表面压力的FADS技术应用产生不利影响。未来还需针对大迎角测量方法及运动角速率的影响开展深入研究。
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图 5 黑体炉的二维温度误差分布
Fig. 5 Two-dimensional temperature error distribution of black-body furnace
表 1 光场多光谱高温计参数
Table 1 Parameters of the light-field multi-spectral pyrometer
参数 值 滤波片波长（λi ± 10 nm） 470, 500, 530, 575, 620, 670 微透镜阵列像素 800像素 × 600像素 微透镜阵列尺寸 25 mm × 18 mm 单个微透镜尺寸/µm 28 微透镜焦距/µm 510 传感器像素 7915像素 × 5436像素 传感器尺寸 22 mm × 15 mm 像元尺寸/µm 2.8 
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