Investigation on error correction method of five-holes probes used in flow field with large velocity gradient
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摘要: 为探究大梯度流场下五孔探针的失真特性，建立了用于修正速度梯度(ΔV/V)所引起的测量误差的数据处理方法。从五孔探针测量原理出发，研究了梯度流场下，气流角和梯度大小对于五孔探针测量误差的影响，提出了减小测量误差的修正方法；采用实验方法验证了该修正方法的准确性。研究结果表明，探针的速度测量误差远小于角度误差，在所研究的梯度范围内(ΔV/V = ± 0.3)通常可忽略；探针角度测量误差通常较为显著，其大小不仅受速度梯度的影响，还与气流的来流角度有关。实验结果证明了本文提出的基于梯度和气流角的修正方法能有效减小角度测量误差。Abstract: In order to explore the distortion characteristics of the five-holes probe under a large gradient flow field (ΔV/V), a data processing method for correcting the measurement error caused by the velocity gradient is established. An investigation based on the five-holes probe principle is employed to reveal the effect of the flow angle and velocity gradient on the measurement error. A correct method is proposed and verified by the experiment. The results show: the measurement error of the velocity value is far less than that of the flow angle and can be ignored in ordinary range (ΔV/V = ± 0.3 in this paper). The measurement error of the flow angle is usually notable. The error is affected by the velocity gradient and flow angle. The results of the experiment confirm that the correction method based on the velocity gradient and flow angle can reduce the angle error effectively.
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0 引 言
多孔探针作为一种流场参数测量设备，能够测量测点处的速度大小、方向、总压和静压等参数，在水利、航空航天等方面应用广泛，其测量结果较为准确和稳定，在大部分使用环境下都能得到较为满意的结果。与其他流场测试技术相比[1-3]，其最大优势在于能够获得测点处的压力信息。但是，多孔探针的测量原理限制其在具有梯度的流场中的应用，梯度的存在会使得探针测量存在较大的误差。
针对这梯度流场中压力探针测量问题的研究开始得很早。Sitaram[4]、Shreeve[5]、Ligrani[6]等均研究了梯度对于探针测量结果的影响，他们将误差来源分为动压不同所带来的误差与梯度导致的流线偏移所带来的误差。
针对这一误差的解决方法，一般有两种。一是采用更小直径的探针，减小梯度造成的影响，将测量误差降低到可以接受的范围。马兴宇等[7]研究了平行流场下，速度梯度、七孔探针直径、滚转角等因素对测量结果的影响，给出了不同测量要求下的探针最大尺寸；第二种方法是根据误差的产生原因，导出误差大小与其他流动因素的数学关系，利用这一关系对误差进行修正。马宏伟等[8-9]采用模拟实验方法，分别研究了梯度流场下锥形五孔压力探针、锥形四孔压力探针、圆柱单孔针和楔顶圆柱双孔针等四种探针的测量误差，发现测量误差与当地速度、当地速度梯度、来流方向等因素有关，在使用迭代方法对误差进行修正后，测量值与真实值吻合的较好；他们还进一步研究了圆锥四孔压力探针测量时的速度梯度与近壁效应的叠加影响，发现二者并不是线性叠加；王洪伟等[10]将误差与流动因素拟合为函数曲线，用以对探针结果加以修正；Livesey[11]、Lighthill[12]、Hall[13]等分别研究了头部形状不同的几种探针在剪切流中的速度分布相对无探针干扰的流型位移，并以位移量作为测量误差的自变量来修正总压测量结果；Hoenen等[14]通过设计测点位置，将各感压孔在测量过程中分别布置在同一位置，使各感压孔可以得到不受影响的测量值，满足探针测量的均一流场的假设，测量结果较为准确；Dixon[15]、Sevilla[16]通过不同的研究方法都得到了测量误差与其所定义的无量纲速度梯度存在比例函数关系，只需确定比例系数，就可以通过速度梯度计算得到测量误差，从而对所测气流角进行修正。
综上所述，在该问题的研究上，主要集中于速度梯度大小对测量误差的影响，而对不同的来流角度下，速度梯度大小所带来的测量误差研究较少，且对结果的定量分析较少，使得对梯度流场下的探针测量结果无法做出更为精确的修正。
本项研究从多孔探针的测量原理出发，分析了不同来流情况下测量误差与速度梯度的关系，发现来流角度对测量误差也存在影响，同时研究了梯度流场下的速度测量误差，得到了针对不同气流角下的速度梯度所造成的气流角度误差的修正方法，并利用实验方法对该方法进行了验证。
1 理论分析
1.1 探针测量方法
五孔探针是基于伯努利方程，运用势流理论，通过测量探针头部各孔压力，对其绕流的驻点位置及滞止压力进行预测，从而获取待测流场某空间点处的气流角、速度大小、总压和静压。
图1给出了五孔探针俯仰平面，偏航平面位置及感压孔编号。五孔探针的校准公式一般有两种，一是计算总压系数和静压系数，二是计算总压系数和动压头系数，本文选取计算动压头系数的校准公式，其公式如下[17]:
$$ {K_\alpha } = \frac{{{P_5} - {P_4}}}{{2{P_2} - {P_4} - {P_5}}} $$ (1) $$ {K_\beta } = \frac{{{P_3} - {P_1}}}{{2{P_2} - {P_1} - {P_3}}} $$ (2) $$ {\zeta _5} = \frac{{\dfrac{1}{2}\rho {V^2}}}{{{P_2} - {P_3}}} $$ (3) $$ K = \frac{{{P_4} - {P_5}}}{{{P_2} - \bar P}} $$ (4) $$ {K_0} = \frac{{{P_2} - {P_{\text{t}}}}}{{{P_2} - \bar P}} $$ (5) 式中：Kα，Kβ，K0，K，分别为俯仰角校准系数、偏航角校准系数、总压系数及静压系数。Pt和ξ5分别气流总压和动压头系数。P1至P5为探针头部感压孔所测得的压力，
$ \bar P $ 为5个感压孔测得压力的算数平均值。在测量前，需要对探针进行校准，一般在校准风洞中进行，将探针置于风洞出口射流核心区，校准风洞出口为自由淹没射流[18]，核心区静压等于大气压，总压可通过布置在风洞内部的总压管测得，从而可求得核心区速度。通过分别改变探针的偏航角和俯仰角，可以获得一系列P1至P5，按式（1）至式（5）处理后，得到与气流角一一对应的五个系数，将其分别绘制成角度特性、速度特性和总压特性曲线。图2～4为本项研究所使用的探针在实验验证阶段完成的校准曲线。
1.2 速度梯度对速度值测量的影响
图5为一均匀流场示意图，气流角分别为α、β，速度为V，则根据式（3），可得动压头系数为：
$$ {\zeta _5} = \frac{{\dfrac{1}{2}\rho {V^2}}}{{{P_2} - {P_3}}} $$ (6) 式中，P2、P3根据图5可得：
$$ {P_2}{\text{ = }}P + {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \rho $} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}{\left( {V\cos \beta \cos \alpha } \right)^2} $$ (7) $$ {P_3}{\text{ = }}P{\text{ + }}{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \rho $} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}{\left( {V\sin \left( {\delta - \beta } \right)\cos \alpha } \right)^2} $$ (8) 式中，δ为探针头部半顶角，则式（3）变为：
$$ {\zeta _5} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\beta {\text{ - }}{{\sin }^2}\left( {\delta - \beta } \right)}}\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} $$ (9) 在图6所示的梯度流场中，若梯度存在于偏航角方向（β方向），气流角分别为α、β，速度为V，感压孔1、3间速度差为ΔV，设测得的角度误差为Δβ，则其测量所得到的速度V´可表示为：
$$ {V}^{\prime }\text=\left(\frac{{\zeta }_{5}\left({\text{P}}_{2}{\text{-P}}_{3}\right)}{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1 $} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}\rho} \right)^{\frac{1}{2}} $$ (10) 在梯度流场中，式9中的β应为β + Δβ，而P2、P3根据图5可得：
$$ {P_2} = P + \frac{1}{2}\rho {\left( {V{\text{cos}}\beta \cos \alpha } \right)^2} $$ (11) $$ {P}_{3}=P + \frac{1}{2}\rho {\left(\left(V\text-\frac{\Delta \text{V}}{2}\right)\text{sin}(\delta \text-\beta )\mathrm{cos}\alpha \right)}^{2} $$ (12) 则
$$ V' = V{\left( {\frac{{{{\cos }^2}\beta - {{\left( {1 - \dfrac{{\Delta V}}{{2V}}} \right)}^2}{{\sin }^2}(\delta - \beta )}}{{{{\cos }^2}(\beta + \Delta \beta ) - {{\sin }^2}(\delta - \beta - \Delta \beta )}}} \right)^{\frac{1}{2}}} $$ (13) 式11中，速度测量值为速度真实值与系数λ之积，即：
$$ V' = V\lambda $$ (14) $$ \lambda = {\left( {\frac{{{{\cos }^2}\beta - {{\left( {1 - \dfrac{{\Delta V}}{{2V}}} \right)}^2}{{\sin }^2}(\delta - \beta )}}{{{{\cos }^2}(\beta + \Delta \beta ) - {{\sin }^2}(\delta - \beta - \Delta \beta )}}} \right)^{\frac{1}{2}}} $$ (15) 该系数λ与速度梯度ΔV/V、探针结构δ、气流角β和测量误差Δβ有关。λ越接近1，表明测量速度
$V' $ 与真实速度V越接近。绘制λ随Δβ、ΔV/V和β的变化规律曲线，如图7所示。需要说明的是，图7中曲线上并非所有取值都是有物理意义的，比如当ΔV/V = 0时，Δβ = 0，不会出现Δβ的其他取值。但是，所有存在物理意义的点都在图7所示曲线上，不影响利用其进行速度误差分析。在β=0°时，如图7（a），若角度测量误差Δβ > −10°时，系数λ偏离λ = 1不超过10%。在图7（b）中，当β = 15°时，在|Δβ| < 10°的情况下，速度误差不超过5%，说明在角度误差已经非常可观的情况下，速度值的误差依然不大。速度值误差非常大的情况一般出现在速度梯度大但速度小的流场区域，如壁面附近，其余区域一般可以忽略速度值测量误差。1.3 角度误差修正方法
在现有研究中，速度梯度对角度测量的影响有着统一的认识[8-10，16]，即速度梯度会使探针的角度测量结果偏离真实值，且梯度越大，误差越大，当地速度越大，误差越小。在此基础上，将分析速度梯度对角度测量误差的定量影响。
由图6可知，在来流气流角为α、β的情况下，压力P1、P2、P3分别为：
$$ {P}_{1}=P + \frac{1}{2}\rho {\left(\left(V\text{ + }\frac{\Delta V}{2}\right)\mathrm{sin}\left(\delta \text{ + }\beta \right)\mathrm{cos}\alpha \right)}^{2} $$ (16) $$ {P_2} = P + \frac{1}{2}\rho {\left( {V{\text{cos}}\beta \cos \alpha } \right)^2} $$ (17) $$ {P}_{3}=P + \frac{1}{2}\rho {\left(\left(V-\frac{\Delta V}{2}\right)\text{sin}(\delta -\beta )\mathrm{cos}\alpha \right)}^{2} $$ (18) 则Kβ可以变为：
$$ \begin{split}&{{\text{K}}_\beta } =\\& \dfrac{{{{\left( {1{{ - }}\dfrac{{\Delta V}}{{2V}}} \right)}^2}{{\sin }^2}\left( {\delta - \beta } \right) - {{\left( {1{{ + }}\dfrac{{\Delta V}}{{2V}}} \right)}^2}{{\sin }^2}\left( {\delta + \beta } \right)}}{{2{{\cos }^2}\beta - {{\left( {1{{ - }}\dfrac{{\Delta V}}{{2V}}} \right)}^2}{{\sin }^2}\left( {\delta - \beta } \right) - {{\left( {1{{ + }}\dfrac{{\Delta V}}{{2V}}} \right)}^2}{{\sin }^2}\left( {\delta + \beta } \right)}} \end{split}$$ (19) 绘制Kβ随ΔV/V和β变化的规律曲线，如图8所示。从图中可以发现，当β不变时，Kβ与ΔV/V在ΔV/V = ± 0.3范围内近似为一次函数关系，所以可以将Kβ近似为：
$$ {K_\beta }{\text{ = }}{c_1}\left( \beta \right)\frac{{\Delta V}}{V}{\text{ + }}{c_2}\left( \beta \right) $$ (20) 而由文献[16]可知，当测量误差存在且为Δβ时，Kβ近似为：
$$ {K}_{\beta }\text={k}_{1}\cdot \left(\beta \text{ + }\Delta \beta \right) $$ (21) 式中，K1为由探针结构有关的常数。联立式19、20，可得：
$$ \Delta \beta {\text{ = }}{{\text{c}}_3}\left( \beta \right)\frac{{\Delta V}}{V} - {{\text{c}}_4}\left( \beta \right) $$ (22) 从理论上讲，当ΔV/V=0时，角度误差Δβ应该为0，所以c4（β）=0，则：
$$ \Delta \beta {\text{ = }}{{\text{c}}_3}\left( \beta \right)\frac{{\Delta V}}{V}{\text{ = c}}\left( \beta \right)\frac{{\Delta V}}{V} $$ (23) 定义无量纲速度梯度k为：
$$ k{\text{ = }}\frac{{{\text{d}}V}}{{dy}}\frac{{{y_{13}}}}{V} $$ (24) 式中，dV/dy为速度梯度，y13为1、3号孔的孔间距，V为当地速度。而在探针头部1、3孔间，由于距离较小，可近似认为该区域梯度为均匀值，1、3孔间的速度差可以表示为：
$$ \Delta V = \frac{{dV}}{{dy}}{y_{13}} $$ (25) 角度误差Δβ可以表示为：
$$ \Delta \beta {\text{ = c}}(\beta ) \cdot k $$ (26) 式（24）即为误差修正式，该式考虑了气流的速度梯度k与来流角度β的影响。当梯度在俯仰角方向（α方向）时，修正原理与此相同。
考虑到探针加工的差异性，c（β）通过校准确定，具体办法是在流场中，固定气流角β，改变无量纲速度梯度k，测得不同k对应的角度测量误差Δβ，从而拟合出该气流角下的修正系数c；重复该过程，继续改变气流角β，便能得到不同气流角β下的修正系数c，从而拟合出c（β）。图9为所用探针在β = 0时，角度测量误差Δβ与无量纲速度梯度的关系，图中拟合线的斜率即为该角度下的修正系数c（0）。图10为各角度下对应的c（β）的变化，采用二次曲线进行拟合。
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图 9 角度测量误差Δβ随速度梯度的变化（β = 0°）Fig. 9 The measurement error of the angle Δβ changes with the gradient of the velocity as a function of speed （β = 0°）式（24）中存在真实气流角β，而在实际测量中，β是未知的，所以采用测量得的气流角β测来代替真实值β。因为β测是失真的，所以需要迭代来得到真实气流角β。修正迭代公式为：
$$ {\beta }_{i + 1}={\beta }_{测}{-c(}{\beta }_{i}{)}k $$ (27) 其中，公式右侧βi初值取β测，也可以采用其他方法先减小测量值的误差，再利用式25迭代至βi + 1与βi之差小于规定值，即可认为βi + 1为真实气流角β。
理论上，若不考虑测量仪器所带来的影响，仅评估该方法的修正精度，采用上述方法进行角度修正后的测量误差，其来源在于各角度下修正系数c（β）的准确性及其拟合精度。根据对数值结果的评估，如图9和图10所示，偏差主要来源于c的实际分布与理论分布形式式（24）的差别，其原因在于探针头部流动不完全贴壁所造成的扰动，在对俯仰角α进行修正时，由于受到该方向上探杆的影响，偏离会更大，c（β）通常小于10%，c（α）通常小于25%。对c（β）和c（α）在不同角度下拟合的精度，可以选择不同的拟合形式，通常可根据需要控制在10%以内。两项偏差综合，以均方根方式估计，偏航角β和俯仰角α的修正误差（dΔβ/Δβ或dΔα/Δα）约为不大于14.1%和26.9%。如果流动梯度带来的测量偏差在10°左右，修正后可将偏航角误差减小到在1.4°左右，俯仰角偏差减小到2.7°左右。
2 误差修正方法的实验验证
为了验证误差修正方法的可靠性，利用校准风洞构建了梯度流场，在该流场下进行探针测量，以验证误差修正方法的可靠性。
2.1 实验系统及实验件
图11为探针校准和修正方法验证的实验系统图。以离心风机为气源，空气被压缩后经供气管道进入校准风洞，在校准风洞出口喷入大气，形成自由淹没射流，射流总压可在稳定段测得，静压为沉没环境压力，即大气压。校准风洞由小角度扩张段，稳定段和喷管组成，稳定段内有孔板，蜂窝和密网，气流形成稳定均匀的低速流动条件后，测量总压、总温，经有特殊设计曲面的喷管喷出，提供均匀、稳定、低湍流度的已知射流。通过在喷管出口加装多孔板，可以在喷管出口实现带速度梯度的射流。多孔板样式如图12所示，两个多孔板能分别产生水平方向（y方向）和竖直方向（z方向）的速度梯度。喷管外有5自由度坐标架，可实现探针3个维度的直线移动和2个方向的转动，保证探针位于射流核心区或特定梯度区，并固定气流角。
图13给出了五孔探针模型，从图13（a）中可以看出，实验选择的探针为锥形探针，支杆为蛇形，整体为圆柱状，可通过夹持具固定在三维坐标架上，引压管由支杆内部引出。五孔探针结构参数如图13（b）所示，其中头部感压孔直径为0.5 mm，两侧感压孔孔间距为1.5 mm。
2.2 实验数据采集与处理
验证实验中，校准风洞采用直径75 mm喷管，在喷管外加装多孔板实现梯度流场，通过监测稳定段总压一致，保证喷管出口流动的稳定；采用电子式压力扫描阀同时测量五孔针各孔的压力。分别以喷管中心为原点，周围30 mm为测量区域，向右、向上为正方向，测点间隔为2 mm。
验证实验前，首先保持校准风洞出口畅通，在出口外形成流动参数均匀的射流核心区，选择不可压流动的风速（45 m/s）在核心区内进行探针校准，校准曲线见图2~4，获得探针的基础特性数据。之后在风洞出口加装多孔板，通过不同开孔布置的多孔板，形成风洞出口下游不同速度梯度的流场，完成c（β）和c（α）的校准。带速度梯度流场最大速度与校准风速相同，也为45 m/s。每种开孔布置的多孔板有两个孔排布置方向，用于形成探针偏航和俯仰方向的速度梯度。带速度梯度的流场由热线风速仪测量其具体参数，以避免速度梯度对测量的影响。该流场可控且参数已知，选择其中一组作为验证流场。
2.3 实验结果与讨论
图14为采用热线风速仪和五孔探针对某梯度流场的速度测量结果。由于热线风速仪不受梯度的影响，所以可以将热线风速仪测得的速度分布认为是梯度流场真实的速度分布。从图中可以看到，流场速度分布为在z = −30至−10 mm间，速度呈类似线性增长的状态，在z = −10至10 mm间，速度基本保持在同一大小，在z = 10至30 mm间，速度呈近似线性下降的状态。图11显示，五孔探针的速度测量结果与真实的速度分布基本吻合，最大误差不超过1 m/s,说明在所研究的范围内，梯度的存在并没有影响探针对速度值测量的准确性。
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图 14 探针与热线风速仪测量结果对比Fig. 14 Distribution of measuring results of velocity by probes and hot-wire anemometer图15为z向速度梯度流场下的修正结果对比，其中图15（a）、（b）分别为真实俯仰角α = 5°和10°时的测量和修正结果。图中蓝线为真实角度，红线为未修正的测量值，橙线为修正后的角度。从图中可以看到，越靠近喷口边缘（z = −30 mm），速度梯度越大，测量误差也越大，在不修正的情况下，误差绝对值非常可观。经修正后，测量误差已大为减小。在α = 5°和10°时误差和修正结果具有相似的规律和效果。
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图 15 z向梯度流场下，气流角修正前后结果对比Fig. 15 Comparison of uncorrected and corrected results of flow angle in flow field of z direction gradient图16为y向梯度流场下的修正结果，在实际的探针结构中，y向与z向的区别在于，结构上z向有探针的探杆，其对α和β方向的影响可能是不一样的，从结果看，y向测量和修正特征与z向相同，表明该因素并未对此方法的应用产生明显影响，修正方法在各方向上是比较有效的。
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图 16 y向梯度流场下，气流角修正前后结果对比Fig. 16 Comparison of uncorrected and corrected results of flow angle in flow field of y direction gradient3 结 论
针对五孔探针测量大梯度流场的结果修正问题，分析了气流角、速度梯度等因素对角度测量、速度测量的影响，提出了减小测量误差的修正方法，并通过实验对所提出的方法进行了验证，主要研究结论如下：
1） 在梯度流场中，角度测量误差与气流角和无量纲速度梯度k均相关，在速度梯度大的区域，来流角的影响也较大，相应的，大的来流角也会增加无量纲速度梯度的影响；
2） 速度值的测量误差虽然也与来流角和速度梯度有关，但来流角和速度梯度对速度值测量的影响比对角度测量要小。通常情况下（ΔV/V = ± 0.3），速度值测量误差较小，可以忽略；
3） 所提出的修正方法综合考虑了来流角和无量纲速度梯度的影响，能有效地减小梯度流场中气流角的测量误差。
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图 9 角度测量误差Δβ随速度梯度的变化（β = 0°）
Fig. 9 The measurement error of the angle Δβ changes with the gradient of the velocity as a function of speed （β = 0°）
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图 14 探针与热线风速仪测量结果对比
Fig. 14 Distribution of measuring results of velocity by probes and hot-wire anemometer
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图 15 z向梯度流场下，气流角修正前后结果对比
Fig. 15 Comparison of uncorrected and corrected results of flow angle in flow field of z direction gradient
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