0   引　言

1.   热线风速仪基本原理

热线风速仪在湍流研究中发挥了重要的作用^[1–3]。该技术利用流场中长（$ l $）1 ～ 2 mm、直径（$ d $）1 ～ 5 μm的钨丝或铂丝作为敏感单元（称为探头或探针，图1），通过测量流经探头的电流来确定风速。热线风速仪包括探头和测量仪2个主要组成部分。

图  1  热线探头示意图

Fig.  1  Schematics of a hot-wire probe

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探头的电阻值与其温度有关：当参考温度$ {T}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}={20} $ ℃时，电阻值为$ {R}_{\mathrm{w},\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}} $；当电流将探头加热至工作温度$ {T}_{\mathrm{w}} $时, 其工作电阻$ {R}_{\mathrm{w}} $（式（1））升高。

式中， α为金属钨的温度电阻系数，为0.0045 ℃⁻¹。探头工作电阻与参考电阻之比$ \;{\beta =R}_{\mathrm{w}}/{R}_{\mathrm{w},\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}} $，被称为“过热比”。通过设定探头过热比，可设定探头工作温度。

恒温型热线风速仪（Constant-Temperature Anemometry, CTA）是最为常见的测量仪，其测量原理如图2所示。CTA的核心是一个用来加热探头的惠斯通电桥，由电阻$ {R}_{1} $、$ {R}_{2} $，变阻器$ {R}_{3} $，探头$ {R}_{\mathrm{w}} $和附加电阻$ {R}_{\mathrm{L}} $（导线与两端接口接触电阻之和）组成。CTA利用反馈系统保持电桥平衡，即电桥左侧电位（$ {E}_{1} $）与右侧电位（$ {E}_{2} $）差$ \varepsilon $为0。这样，就可通过改变$ {R}_{3} $设定探头电阻值，进而设定探头工作温度$ {T}_{\mathrm{w}} $：

图  2  恒温式热线风风速仪原理示意图

Fig.  2  Schematics of a Constant Temperature Anemometry system

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由于探头温度保持不变，且反馈系统具有极高的响应频率（约500 kHz），CTA对流速变化响应很快，配平良好的CTA可测量200 kHz以上的流速变化^[4]。

2.   热线风速仪标定及相关问题

CTA使用前需要进行标定，以建立输出电压E（通常是桥顶电压$ {E}_{{\rm{t}}} $经增益、偏置、滤波等信号调制操作后的电压）与风速U的关系。标定基本过程如下：CTA参数（工作温度、桥路反馈参数、信号调制参数等）设定以后，将热线放置于已知速度区域，记录来流速度U和输出电E（若无输出调制，输出即为桥顶电压）；改变来流速度并重复实验；在获得多组风速和输出电压后，通过幂级数法（power-law fit）或多项式曲线法（polynomial fit）建立来流速度与输出电压的关系式^[5]。幂级数法依靠来流速度$ U $与电压$ {E}^{2} $的幂级数关系建立（king’s law^[6]）：

式（3）上式涉及3个参数a、b、n，所以标定过程复杂，n通常被假设为0.5^[6]或0.45^[7-8]。因自然对流的存在，当来流速度为0时，b值偏离应有的零点，无法确定准确的b值。针对这一问题，George等^[8]提出多项式曲线法：

式中，$ {c}_{0} $ ～$ {c}_{4} $ 为四次多项系数。该方法的使用便利性优于幂级数法^[8]。

气流温度变化对热线测量结果有很大影响。测量时，当气流温度T₀发生变化，与标定时的气流温度$ {T}_{\mathrm{c}} $不再相同时，式（4）便不能正确反映电压与气流速度的关系，从而出现较大幅值的测量误差^[5]。Bremhorst^[9]指出：每1 ℃的温度变化会带来2%的速度测量变化。鉴于此，Bruun^[10]提出了一种补偿方法，利用无量纲温变幅度来修正输出电压（式（5）），获得了广泛应用：

将修正后的电压$ {E}_{{\rm{c}}} $代入式（4）即可获得修正后的速度。虽然该方法能在一定程度上修正温差$（{T}_{\mathrm{c}}-{T}_{0}）$的影响，但当温差超过$ {3} $ ℃后，该方法会造成过度修正（over correction）^[11]。温度变化对测量结果的影响一直是限制热线风速仪推广（尤其是在工业中）的主要原因。

探头工作温度与来流温度差（${T}_{{\rm{w}}}-{T}_{{\rm{0}}}$）越大，CTA输出电压E就越大。Hultmark等^[11]据此提出标定$ U/\nu $与$ E/k\left({T}_{{\rm{w}}}-{T}_{0{\rm{}}}\right) $之间的关系，其中，$ \nu $和$ k $分别为空气动力黏度系数和导热系数，其值按照热线风速仪工作温度和来流温度的均值T_m[$ {T}_{\mathrm{m}}=\left({T}_{\mathrm{w}} + {T}_{0}\right)/2] $，从空气性质表中查询。Hultmark等^[11] 发现该标定方法在$ \left({T}_{\mathrm{c}}-{T}_{0} \right)$ ＜ 15 ℃时测量精度良好。虽然该方法的效果优于其他方法，但仍未能从根本上提高热线风速仪使用的便利性和可靠性，$ 15\;\mathrm{℃} $的温差仍然不能满足需求。

3.   免标定方法及其实现的障碍

利用流速与对流换热理论模型直接计算流动速度可能使热线测量更加便利。这样，可通过监测CTA的桥顶电压$ {E}_{\mathrm{t}} $和来流温度$ {T}_{0} $获得来流速度，从而省略标定过程。但目前此方法还存在一些障碍。

实现上述免标定热线测量的第一个理论障碍是目前还没有非常精确的圆柱对流换热理论模型。圆柱的强迫对流换热强度通常表示为^[12]：

式中，$ Nu $为努塞尔数，$ Re $为雷诺数，$ h $为对流换热强度，$ Q $为发热量，计算公式分别为：

式中：热线表面积$ A=\mathrm{\pi }dl $。Hilpert ^[12]提出：当Re = 4 ～ 40（直径5 μm钨丝对应的速度范围为20 ～ 200 m/s时，式（6）中的常数可为a = 0.911、b = 0、n = 0.385。可利用桥顶电压$ {E}_{\mathrm{t}} $，使用式（6） ～ （9）计算流速$ u $。

Hilpert 模型的雷诺数范围不适合20 m/s以下的低速流动。另外，Collis等^[13]指出式（6）不能完全描述探头与气流温差（$ {{T}}_{\mathrm{w}}-{T}_{0} $）带来的影响：温差不同，对应的常数a、b、n也不同。为解决这一问题，Collis等^[13]提出了带有温度修正项的换热强度公式：

式中：温度为兰金温标（R），非摄氏度和华氏度。Collis的方法有效拟合了该文中的实验数据，但此后多项研究发现该温度项无法拟合实验数据^{[7-8, 14]}。时至今日，仍未出现能有效描述流速与传热关系的物理模型，缺少物理模型是热线便捷测量的理论障碍。

实现上述免标定热线测量的第二个理论障碍是无法全面描述通过2个支杆的导热损失。由于低温金属支杆的存在，金属丝展向温度分布并不均匀。式（6）中的常数项b很可能与导热损失相关联：当雷诺数降低后，传热以导热和自然对流为主。Hultmark等^[11] 指出：当流速超过0.1 m/s，自然对流相对于强迫对流可忽略不计。所以，当流速趋近于0.1 m/s时，常数项b将体现导热损失强度。关于导热损失，Bruun^[10]指出直径5 µm、长1.25 mm的探头约有15%的长度受支架“吸热”影响而低于平均温度。Ligrani等^[15]提出探头长径比（$ l/d $）需大于260才能有效减小支架的影响，保证系统频响。但探头过大会降低热线测量的空间分辨率。

除了理论障碍以外，使用电压输出直接计算风速还存在一些技术障碍。首先，多数热线风速仪使用旋钮式可调电位器调节$ {R}_{3} $来设定$ {R}_{\mathrm{w}} $，难以实现精确设定；其次，大多数热线风速仪还使用可调电位器来调节放大、偏置。因为调节的误差，这2个功能难以完全取消，导致桥顶电压测量误差。

近期出现的新型热线风速仪（如航华CTA04）可实现工作电阻$ {R}_{\mathrm{w}} $的精确设定和输出信号调制的便捷关闭，从而解决了技术障碍。本文利用该热线风速仪开展单丝热线探头散热量与流速关系的研究。首先，结合文献中能够获得的相关数据，提出小雷诺数（$ \mathrm{R}\mathrm{e}\leqslant 4.5 $）条件下的圆柱强迫换热模型（式（6））和温差补偿方法（式（11））；其次，讨论免标定的热线风速仪测量的技术细节；最后，利用低湍流度自由来流、湍流边界层、钝体尾流等3组实验数据来验证该方法的可行性。

1   实验方法

实验在加拿大新布伦瑞克大学（University of New Brunswick, Fredericton, New Brunswick, Canada）机械工程系直流闭口风洞内开展。该风洞试验段截面为60 cm × 60 cm，长3 m，收缩段面积比16，最大速度30 m/s。实验段湍流度低于0.3%。水银温度计显示室温$ {T}_{0} $ = 23 ℃。

实验中使用了2个直径都为5 µm但长度不同的钨丝热线探头（航华HW1A）。显微镜下测量2个探头的长度分别为0.98 mm（探头1）和1.50 mm（探头2）。在室温环境下使用万用表（FLUKE 15B）测量电阻的初始值$ {R}_{0} $，并利用式（1）换算成$ {T}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}={20} $ ℃条件下的参考值（冷态电阻）。探头1和2的冷态电阻分别为3.72和5.60 Ω 。

探头通过2个迷你香蕉头插口与一条长2 m的屏蔽导线相连，导线另一端通过两芯航空插头（LEMO connector）连接风速仪。本研究中，导线与两端接口接触电阻之和$ {R}_{{\rm{L}}} $小于0.1 Ω，可忽略不计。

本文使用航华CTA04风速仪，该风速仪$ {R}_{1} $为 50 Ω，R₂为500 Ω；采用内部继电器阵列设定$ {R}_{3} $阻值，设定范围为1$ ～1\;999 $ Ω，对应$ {R}_{\mathrm{w}} $工作电阻范围为0.1 ～ 199.9 Ω。$ {R}_{\mathrm{w}} $设定的分辨率为0.1 Ω。实验中设定过热比$ \;\beta $ = 1.1 ～ 2.0，对应探头温度$ {T}_{\mathrm{w}} $ = 45.7 ～ 250.3 ℃。

本文包括6组独立实验（实验细节如表1所示）。前4组为热丝对流换热强度研究实验。实验1 ～ 3组中，探头1置于风洞实验段入口中部（每组实验使用不同的过热比），而实验4则利用探头2进行类似测量。

表  1  实验参数列表

Table  1  List of experiments in this work

实验组别	探头	过热比	风速/(m·s−1)	流动情况
1	#1	1.4	0 ～ 18.0	均匀来流
2	#1	1.6	0 ～ 18.0	均匀来流
3	#1	1.8	0 ～ 18.0	均匀来流
4	#2	1.6	0 ～ 18.0	均匀来流
5	#2	1.6	14.7	湍流边界层
6	#1	1.6	14.7	钝体尾流

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实验1 ～ 4利用电脑和数据采集卡（National Instrument USB 6210）采集不同风速条件下热线风速仪输出的桥顶电压$ {E}_{\mathrm{t}}\left(t\right) $，采集频率为8192 Hz，采样时间为60 s。实验数据处理过程如下：首先通过式（2）计算$ {R}_{\mathrm{w}} $，再使用式（1）计算$ {T}_{\mathrm{w}} $，然后利用$ {E}_{{\rm{t}}}\left(t\right) $根据式（7） ～ （10）计算流速$ u\left(t\right) $及其时均值$\bar u $，进而计算$ Re $和$ Nu $。以上计算中使用的空气性质对应$ {T}_{{\rm{m}}}= \left({T}_{{\rm{w}}} + {T}_{{\rm{0}}}\right)/2 $的温度状态。在完成实验1 ～ 4后，通过拟合$ Re $、$ Nu $、$ {T}_{{\rm{m}}} $，提出无量纲关系。

实验5和6为免标定测量方法验证实验，分别在湍流边界层和钝体尾流中开展。实验5中，坐标架带动探头在距风洞底板1 ～ 50 mm之间测量，测点间距1 mm，测量位置距实验段入口1 m；来流速度14.7 m/s，本地雷诺数超过临界雷诺数，边界层状态为湍流。实验6中，探头1位于1个直径2.54 cm、高50 cm圆柱的下游30.5 cm处，距离壁面3 cm；来流速度14.7m/s，探头处于边界层与圆柱尾流形成的复杂流场中。实验5和6中，过热比均为1.6。采集热线风速仪输出的桥顶电压，再使用式（7） ～ （10）计算Nu，然后利用本文提出的无量纲关系计算$ Re $，进而获得流速$ u\left(t\right) $及其时均值$\bar u $，以及表征湍流强度的标准差$ u{'} $。

在实验5和6中，使用速度数据计算数据的功率谱密度$ {F}_{uu}\left(f\right) $：

式中，$\hat{u}\left(f,T\right)$为采集时长T = 1 s 的一组速度信号$ u\left(t\right) $的傅里叶变换：

本文得到的功率谱为60组独立数据的均值，计算过程详见文献[10]。

2   结果与讨论

2.1   热线探头的传热规律

第1～4组实验的结果如图3（a）所示。该图纵坐标为桥顶电压的平方，探头1在3个不同过热比下工作。首先，相同风速条件下，桥顶电压会随着过热比的增大而增大。系统输出更大的电流以将探头加热到更高的工作温度；其次，当工作温度不变时，风速增大，桥顶电压将增大以维持探头工作温度。探头2输出电压的变化趋势与探头1相似。由于长度、冷态电阻等参数不同，在相同过热比条件下，2个热线探头的桥顶电压数值不相同。

图  3  探头在不同风速及过热比条件下的桥顶电压输出和无量纲换热强度

Fig.  3  Comparisons of system output voltages and Nusselt numbers for different velocities and overheat ratios

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图3（b）为无量纲化的第1～3组实验的结果。图3横轴为$ {Re}^{0.45} $，指数0.45 是依照多数文献^{[8, 13, 16]}结果选择的；纵轴为无量纲化的换热系数Nu。 由图可见：Nu随$ {Re}^{0.45} $增大呈线性增大趋势。不同工作温度下，Nu随$ {Re}^{0.45} $增大的斜率相近。当雷诺数不变时，Nu随探头工作温度$ {T}_{\mathrm{w}} $的上升而减小，这说明Nu需要进一步根据$ {T}_{\mathrm{w}} $进行修正。通过线性插值计算了与$ {Re}^{0.45}=1.4 $对应的Nu，差值点在图3（b）中以“×”标出。

图4为图3中Nu随$ {T}_{\mathrm{m}}/{T}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}} $的变化情况。处理时，为了降低复杂程度，突出探头工作温度变化的影响，选取了固定的参考温度$ {T}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}= $ $ {20} $ ℃，而不是来流温度$ {T}_{0} $。通过对图4的数据进行拟合，可知探头工作温度对Nu的影响为：

图  4  Nu（实验1～3获得的、对应Re^0.45 = 1.4）随热膜与来流平均温度T_m变化规律图

Fig.  4  Distribution of the Nusselt number interpolated from marked data points in fig. 3

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为了获得Re与Nu之间关系，汇总了实验1～4的数据并将其以无量纲形式显示在图5中。图5为本文核心结果，纵轴为无量纲化的换热系数，并经过工作温度修正，横轴则为$ {Re}^{0.45} $。图5中给出了文献 [7-8, 14] 中的数据以方便对比。这些数据的采集环境、实验设备等有很大差异（表2），文献中的展示形式也不尽相同，因此根据文献提供的参数对这些数据进行了重新计算。

图  5  实验1 ～ 4无量纲结果及文献[7-8, 14]相应结果（蓝色实线为对每组数据分别进行线性拟合后得到的均值）

Fig.  5  Non-dimensional results from the experiments 1-5, with results from literature[7-8, 14]. Solid line denotes the average of the linear fittings to all the data sets

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表  2  实验参数及线性拟合结果

Table  2  Parameters for each test and results of the linear fitting

数据来源	过热比	钨丝长度/mm	室温/oC	a	b
探头1	1.4	0.98	23.0	0.994	1.274
探头1	1.6	0.98	23.0	1.021	1.258
探头1	1.8	0.98	23.0	1.001	1.190
探头2	1.6	1.50	23.0	0.950	0.904
Morrison[7]	1.6	2.00		0.906	0.834
Morrison[7]	1.8	2.00		0.950	0.807
Morrison[7]	2.2	2.00		0.952	0.876
Koch[14]	1.5	1.15	20.7	0.962	0.782
Koch[14]	1.7	1.15	20.7	0.920	0.844
Koch[14]	1.9	1.15	20.7	0.894	0.854
George[8]	1.5		24.5	1.178	0.953
George[8]	1.5		47.5	1.255	1.006
平均				0.999	0.965

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图5展现出若干明显的规律。1）探头1在不同过热比条件下的数据重合在一起，说明$ {（{T}_{\mathrm{m}}/{T}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}）}^{0.16} $有效补偿了探头工作温度变化对Nu的影响。2）文献[7, 14]中数据的基本规律与本次实验结果一致，且与探头2数据（第4组实验）基本重合。这在一定程度上说明热线测量具有可重复的规律，利用该规律形成统一的标定结果具有可行性。3）各组数据及文献数据的线性拟合结果（见表2和图5虚线）表明：探头1数据拟合线的截距（对应式（6）中的b值）比探头2及文献数据拟合线的截距大30%左右。这与探头1长度较短有关，较短的长度对应较大的相对热损失。4）本次实验中，2个探头及文献[7, 14]数据的斜率在0.89 ～ 1.02之间，相差较小，说明支架导热仅对截距b影响较大，对斜率a影响较小。

为了获得统一的拟合数据，对表2中所有拟合结果（包括文献[7-8, 14]的数据）进行平均，得到了描述Re与Nu关系的物理模型：

该模型对应的曲线为图5中蓝色实线。尽管各文献的实验条件差别很大，但该模型对本文及文献[7-8, 14]中的数据仍具有一定代表性。在验证实验中，将利用桥顶电压E_t根据式（7） ~ （10）和式（15）直接计算流速。

2.2   验证实验

本节将基于实验5和6的结果分别使用新方法（式（15））和传统方法（四次多项式）获得速度数据并进行对比，新方法所得数据标称为“估测数据”（estimated），传统方法所得数据标称为“真实数据” （calibrated）。

第一个对比实验（实验5）利用探头2对边界层内速度分布进行测量，图6为其均值结果对比。估测速度与真实速度分布曲线基本吻合，差异在3.7%以内；脉动速度w′分布曲线的估测值也与真实值基本吻合，差异在4%以内。均值和脉动值的估测值与真实值的最大差异均出现于远离壁面区域，该处本地速度较大，差异也较大。估测速度略低于真实速度，这与图5中结果平均曲线在探头2数据上方相符，即在特定的换热强度下，估测雷诺数低于真实雷诺数。

图  6  边界层平均速度、脉动速度的估测值与真实值对比

Fig.  6  Comparisons between the estimated and true values for themean and fluctuating velocity in a turbulent boundary layer

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图7 （a）为在近壁点（y = 1 mm）随机选取的一段0.1 s时长的瞬时速度分布曲线，其估测值与真实值基本重合（峰值和谷值处稍有偏差）。图7 （b）为近壁点（y = 1 mm）脉动速度功率谱密度分布，由图可见，估测的功率谱密度与真实的功率谱密度幅值基本吻合。

图  7  近壁点（y = 1 mm）瞬时速度、脉动速度功率谱密度的估测值与真实值对比（实验5结果）

Fig.  7  Instantaneous velocities and velocity spectrum from the turbulent boundary layer measurements （experiment 5）, measured at a position 1 mm from the wall

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第二个对比实验（实验6）对比了热线探头1所获复杂流场的估测速度与真实速度，结果如图8所示。图8（a）显示估测速度与真实速度差异较大：估测速度均值（13.7 m/s）比真实速度均值（11.1 m/s）高约23%。与探头2的结果相比，探头1的估测值偏离真实值更多，这可能与探头1长度较短、造成了较大的相对导热损失有关，也可能与冷态电阻的测量精度、导线和接触电阻的不确定性有关。

图  8  钝体尾流（实验6）的一段瞬时速度和脉动速度功率谱密度分布

Fig.  8  Instantaneous velocities and velocity spectrum from the wake flow measurements (experiment 6)

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3   结　论

本文对直径都为5 μm但长度不同的的钨丝在114 ～ 205 ℃范围内与室温来流之间的换热强度进行了实验研究。通过分析实验结果并与相关文献^{[7-8, 14]}数据比对后发现：

1） 当钨丝温度不变时，无量纲对流换热强度Nu与雷诺数$ {Re}^{0.45} $存在线性关系（式（6））。

2） 当钨丝温度变化时，需使用钨丝与来流的平均温度$ {\left({T}_{{\rm{m}}}/{T}_{{\rm{ref}}}\right)}^{0.16} $对Nu进行修正。修正后的值与$ {Re}^{0.45} $存在线性关系（式（15））。

3） 当Re趋近于0时，探头发出的热量以热传导形式为主传出探头。长度较短的探头相对导热强度较大，式（15）右侧的常数项b值较大；但探头长度对式（15）右侧的一次项系数a（测量敏感度）影响较小。

4） 本文实验结果与文献结果的相似性说明：存在描述热线探头Nu与Re关系的统一模型（式（15））。基于该模型，可以利用单丝热线风速仪的输出电压、来流温度等易测量参数来计算来流速度大小，从而实现无需标定的单丝热线测量。

5） 本文所提方法的一个主要特点是对热线风速仪工作温度变化、来流温度变化不敏感，与传统方法相比，抗干扰能力得到提高。

本文初步指出了一种免标定单丝热线测速法的可行性，但目前该方法还存在一定局限性，真正实现该方法还需要解决多个关键问题：1）由于存在通过2个支架的导热损失，而探头越短，导热损失造成的误差越大，统一模型（式（15））对小尺寸探头测量结果的估测会严重偏低；2）目前该方法仅能应用于单丝热线探头，还不能扩展至基于多丝热线探头的速度矢量测量；3）目前还缺乏对该方法误差的全面分析，热线探头导线电阻、接触电阻对测量不确定性的影响还不清楚。这些都需要在未来展开深入研究。