0   引　言

大长径比柔性管缆是深水油气、矿产资源开发的关键装备，其在海洋波流的激励下可能发生涡激振动响应（Vortex-Induced Vibration，VIV），导致疲劳损伤。近年来，大量学者开展了柔性管缆涡激振动响应研究，从管线形状（直线型、悬链线型、S型、懒散波型等）、来流条件（均匀流、线性剪切流、对数剪切流等）和端部约束方式等方面探究了管缆在不同服役工况下的振动响应特性。

早期的研究主要针对两端固定的直立立管。Vandiver等^[1]通过实验发现：当来流速度较大时，无限长圆柱涡振振动的轴向传播会从驻波转变为行波，呈现出多频竞争的现象。Bao等^[2]则指出在均匀流条件下，处于锁定区单频振动的柔性立管，其振动的轴向传播由驻波主导。Gao等^[3-4]利用尾流振子模型预测了均匀流、线性剪切流、对数剪切流作用下两端固定直立立管的振动响应，观察到了行-驻波混合的传递模式。Bai等^[5]对阶梯状来流激励的直立立管振动研究发现，流向振动的行波传递特性更为明显，但其能量输入区域不固定。Kumar和Nallararasu^[6]认为小长径比立管振动的轴向传递主要由驻波主导，而随着长径比的增加逐渐转变为行-驻波混合的模式。Gou^[7]、Han^[8]、Pang^[9]等的研究均发现立管流向振动存在多频竞争和行波效应，且在轴向呈非对称分布。Gedikli等^[10]指出结构流向振动的模态转移与横向振动相关，表明两个方向的振动存在耦合关系。Bourguet等^[11]在流向和横向都观察到了行-驻波混合特性，且行波分量从高速区传递至低速区。此外，旋涡脱落频率沿展向位置改变，即使空间上有多频参与，但对于局部管段而言，其瞬时振动仍由单频激励。随后，Bourguet等^[12]的CFD模拟结果表明，与线性剪切流激发的窄带振动相比，指数剪切流激发了宽带响应，这与展向的锁定区长度有关。

部分学者评价了立管端部约束对振动响应的影响。Kim等^[13]、Fan等^[14]研究了两端铰接直立立管的振动响应，发现流向振动的轴向传递由驻波主导，而横向振动的轴向传递呈行波特性，从而引起了立管振动在轴向上的非对称性。高云等^[15]对剪切流作用下两端铰接直立立管振动的预测结果表明，振动位移及行波波长随剪切流速参数的增大而减小，而振动频率与频宽均增大，且当剪切流速参数较大时，次频间歇性地参与立管振动响应。Lin等^[16]的报道认为结构振动的轴向传递取决于尾涡脱落模式，行波是由不同相位的展向涡脱落造成的。Seyed等^[17]实验对比了边界条件对立管振动的影响，认为边界条件主要影响了流向的振幅及频率。

深水管缆多呈非线性布置，如悬链线型、S型、懒散波型等。Morooka和Tsukada^[18]测试了钢悬链线型立管在雷诺数400～600范围内的VIV响应，讨论了流向振动的时空变化特征。Zhu等^[19-22]实验测试了剪切流作用下两端固定悬链线型柔性立管的振动响应，发现立管振动由多频参与，且不同空间位置的主频不同，解释了模态过渡的时空演变特征。Zhao等^[23]对均匀流作用下的两端铰接悬链线型立管VIV进行了实验和模拟研究，认为立管振动是由单一模态主导、多模态共同参与的形式。

关于顶端铰接-底端固定约束的悬链线型柔性立管振动响应实验研究较少，罕见关于其在三个维度上的模态竞争与耦合效应的分析报道。因此，本文抵近实际约束条件，开展了顶部铰接-底部固定的悬链线型柔性立管涡激振动实验研究，旨在明晰端部约束条件对柔性立管三个方向上的耦合振动与模态竞争的影响，为实际工程提供理论指导，并为预测模型的验证提供参考。

1   实验方法

1.1   实验装置

实验选用外径D = 8 mm、内径D_i = 6 mm的透明硅胶管作为模型立管，测试段长l = 1 m、高h = 0.65 m，长径比为l/D = 125，立管其余参数见表1。将模型立管在如图1所示的循环水槽中按顶部铰接-底部固定的悬链线型布置，模型立管充满水并完全浸没于水流中，即水深h = 0.65 m，上游来流为自由发展的对数剪切流。在模型立管外壁自上而下均匀标设了30个宽度为6 mm的黑色标记圈，相邻标记圈的中心间距为26 mm。利用两台高速摄像机正对立管所在的xOz面以及垂直于立管所在平面的xOy面，同步捕捉立管外壁30个标记圈的平面内（x、z两个方向）与平面外（y方向）的振动位移。该非介入光学测试手段与图像后处理方法在本研究团队的前期研究中成功运用，其测试流程与误差分析详见参考文献[24-33]。

表  1  柔性立管模型的相关参数

Table  1  Parameters of the flexible riser model

弹性模量E/ MPa	充满水时的质量比m*	管道密度ρr/(kg·m−3)	初始悬挂角度θ/(°)
7.15	1.073	1164.1	0

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图  1  实验系统示意图

Fig.  1  Schematic diagram of experimental set up

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1.2   实验组次

实验一共测试了22组流速作用下的立管振动响应，循环水槽来流发展至测试段为对数剪切流剖面，其沿垂直方向的分布如图2所示，定义其沿水深的平均约化速度和平均雷诺数为：

图  2  代表性的来流速度剖面及剖面系数

Fig.  2  Representative velocity profiles and section coefficient

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式中，$ \bar U $为来流沿水深的平均速度，$ f_{{\text{o}},1}^{\text{w}} $为立管在静水中平面外振动的一阶固有频率（反映了整个系统的固有性质^[34-36]），$ \upsilon $为水的运动黏度，u为瞬时来流速度，A、K为流速剖面系数。实验测试的平均约化速度为4.14 ≤ $ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ ≤ 33.57，对应的平均雷诺数为190 ≤ Re ≤ 1335。由于剪切来流不同深度的流速不一样，因而立管轴向不同位置的当地流速不一样，这里选择沿水深的平均约化速度以区分实验组次。

1.3   衰减实验测试

实验测试前，对浸没于静水中充满水的立管模型进行了自由振动的衰减测试。衰减测试时，分别在平面内和平面外给立管施加了一个初始位移后释放^[31,37]，利用高速摄像拍摄立管的自由振动位移随时间的变化历程，将位移衰减曲线快速傅里叶变换后，得到了柔性立管的固有频率，其平面外的前三阶固有频率分别为$ f_{\mathrm{o},1}^{\mathrm{w}} $ = 0.62 Hz、$ f_{\mathrm{o},2}^{\mathrm{w}} $ = 1.32 Hz、$ f_{\mathrm{o},3}^{\mathrm{w}} $ = 2.96 Hz，平面内前四阶固有频率分别为$ f_{\mathrm{i},1}^{\mathrm{w}} $ = 1.49 Hz、$ f_{\mathrm{i},2}^{\mathrm{w}} $ = 3.06 Hz、$ f_{\mathrm{i},3}^{\mathrm{w}} $ = 6.09 Hz、$ f_{\mathrm{i},4}^{\mathrm{w}} $ = 9.45 Hz。

2   结果与分析

2.1   立管振动的时空演变

图3为立管三个方向的均方根振幅随约化速度变化的空间分布，左侧二维垂直平面同时给出了最大均方根振幅$A_y^{{\mathrm{max}}} $、$A_x^{{\mathrm{max}}} $、$A_z^{{\mathrm{max}}} $及振动主导频率f_dy、f_dx、f_dz（结构位移响应的主振频率^[36]）的变化情况。随着约化速度的增加，立管平面内（x、z两个方向）、平面外（y方向）被激发出的振动阶数不断升高。通常，均方根振幅曲线的波峰个数与此时主导的振动模态阶数一一对应，但需要注意的是，对于平面外振动而言，几个波峰数就对应于几阶振动，而平面内振动的均方根振幅曲线波峰个数比对应的模态阶数多1个，这是由悬链线型曲线状布置所决定的。可见，在实验测试的最大约化速度时（$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 33.57），平面内、平面外分别被激发出四阶和三阶模态。

图  3  均方根振幅及主振频率随约化速度的变化情况

Fig.  3  Variation of the root-mean-squared amplitudes and dominant frequencies with the reduction velocity

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如图3所示，平面外的最大均方根振幅在模态过渡组次（一阶过渡至二阶、二阶过渡至三阶）有明显的先降后升的变化过程，表明模态过渡是由前一阶的下分支进入高一阶的初始分支^[21-22]，但这一过程在平面内振动中不易辨识，这可能与立管的曲线状布置有关。此外，主振频率也随着约化速度的增加而增加，且在模态过渡时有明显的跃升，但各阶振动频率均位于对应的固有频率附近（即主导频率与固有频率一致，结构出现锁定^[34-36]），很好地解释了此时振动的主导模态阶数。即使是同处于平面内的x和z两个方向，它们的模态过渡并不同步，例如从二阶向三阶模态过渡时，z向比x向更早完成（即在更小的临界约化速度进入三阶模态）。因此，悬链线型布置的柔性立管振动在空间三个维度上的模态转移均有差异。

选择$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 4.74、7.76、16.57、21.59和27.87五个代表性约化速度进一步分析立管振动的时空演变特征。图4为五个代表性约化速度时的平面外振动响应，其中第一列为立管瞬时振形（蓝线）和对应的均方根振幅曲线（红线），第二列为振幅的时空演变情况，第三列为振动频率的空间分布。$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 4.74时，立管振动瞬时包络图和均方根振幅曲线均呈现单一波峰，即一阶振型，对应的振动能量也集中于一阶固有频率（$ f_{\mathrm{o},1}^{\mathrm{w}} $）附近，因而振幅沿管轴方向无传递，呈现驻波形式。$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 7.76时，立管的平面外振动为二阶振型，振动能量主要集中于二阶固有频率（$ f_{\mathrm{o},2}^{\mathrm{w}} $）附近，振幅的时空演变仍为驻波形式。在$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 16.57、21.59和27.87时，尽管均方根振幅曲线有三个波峰，表明三阶模态主导，但振幅节点数值大于零，振动由多个频率参与，振幅沿轴向出现行波传递。值得注意的是，在$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 16.57时，部分管段的平面外振动主导频率位于二阶固有频率（$ f_{\mathrm{o},2}^{\mathrm{w}} $）附近，体现了空间上主导模态的竞争现象，同时也证实了该约化速度处于二阶向三阶模态的过渡阶段，立管振动的瞬时包络图也间歇性出现二阶振型。相较而言，在$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ =21.59和27.87时，尽管有低频成分的参与，但主导频率沿管轴方向没有改变。

图  4  代表性组次的平面外振动

Fig.  4  The out-plane responses at representative reduced velocities

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为进一步辨析$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 16.57时平面外振动的模态竞争现象，绘制了模态权重的空间分布及代表性位置频率随时间变化的云图，如图5所示，其中红线为均方根振幅曲线。可以看到，对应于均方根振幅曲线波峰处的6#、16#标记圈的三阶模态权重最大，振动能量也主要集中在三阶固有频率（$ f_{\mathrm{o},3}^{\mathrm{w}} $）附近，而对应于均方根振幅曲线波谷处的11#、20#标记圈的二阶模态权重最大，其振动能量分散于二阶固有频率（$ f_{\mathrm{o},2}^{\mathrm{w}} $）附近，体现了平面外振动在空间上的模态竞争现象。可见，振幅较小的11#、20#标记圈尚未完成模态过渡，而振幅较大的6#、16#标记圈已经过渡到三阶模态。整体而言，由于三阶模态主导的管段较长，因而最终立管的平面外振动呈现出三阶振型。

图  5  $ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 16.57时平面外振动模态权重的空间分布和典型位置的频率图

Fig.  5  The space-varying modal weight of out-of-plane response and the associated frequencies at representative locations for $ \overline{U}\mathrm{_r} $ = 16.57

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图6显示了五个代表性约化速度时立管在平面内x向的振动响应。可见，在关注的五个代表性约化速度下，x向振动均由超过一个的频率参与。$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 4.74时，两个位于一阶固有频率（$ f_{\text{i},1}^{\mathrm{w}} $）附近的振动频率分别主导了立管上半段和下半段的x向振动，体现了空间上的模态竞争，故振动包络图间歇性地出现两个波峰。对比图4发现，其中数值较小的频率与该约化速度的平面外振动主导频率吻合，表明平面外的振动影响了平面内的振动，即两者存在一定的耦合效应。$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 7.76时，尽管x向振动的包络图和均方根振幅曲线均表现出一阶振型，且振动能量主要集中于一阶固有频率（$ f_{\text{i},1}^{\mathrm{w}} $），但存在接近二阶固有频率（$ f_{\text{i},2}^{\mathrm{w}} $）的次频。此外，立管下半段的振幅相对较小，这与悬链线型立管下半段与来流的倾角较大有关。$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 16.57时，立管x向的瞬时振动形态在一阶振型、二阶振型、三阶振型间来回切换，同时发现了振动能量分散在一阶、二阶、三阶固有频率附近，为典型的多频参与振动，因而振幅沿立管轴向传递的行波效应增强。$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 21.59时，振动能量更多地向三阶固有频率（$ f_{\text{i},3}^{\mathrm{w}} $）聚集，振动包络图和均方根振幅曲线也呈现三阶振型，而分散在一阶和二阶固有频率附近的能量有所减弱，体现了随着约化速度增大的模态转移。$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $增大到 27.87时，振动包络图和均方根振幅曲线已呈现四阶振型，尽管此时的振动主导频率低于四阶固有频率（$ f_{\text{i},4}^{\mathrm{w}} $），但与其较为接近，可以认为处于四阶振动的初始分支^[21]，由于部分振动能量仍分散于一阶、二阶固有频率附近，多频竞争引起的行波传递现象依然存在。

图  6  代表性组次的x向振动响应

Fig.  6  The x-directional responses at representative reduced velocities

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图7为$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 16.57时立管在平面内x方向振动模态权重的空间分布及典型位置处的振幅小波变换图，其中红线为均方根振幅曲线。可见，立管上半段振幅较大，处于均方根振幅曲线波峰附近管段（如4#、16#标记圈）的二阶模态权重最高，振动能量也集中于二阶固有频率（$ f_{\text{i},2}^{\mathrm{w}} $）附近。但在均方根振幅曲线的波谷附近（如11#标记圈），三阶模态权重相对较高，其对应的振动能量也集中于三阶固有频率附近。值得注意的是，对于立管的下半段，尽管24#标记圈位于均方根振幅曲线的波峰附近，但其三阶模态的权重较高，振动也由三阶固有频率主导。因此，对于平面内振动而言，不能仅凭均方根振幅曲线的波峰、波谷位置来判别空间上的模态差异，还需要综合考虑当地振幅的大小。由于立管呈悬链线型布置，且来流为对数剪切剖面，上部管段的x向振幅明显较下部大，且分得的能量更多，因而振幅较大的管段和振幅相对较小的管段主导模态不同，呈现了空间上的模态竞争现象。此外，值得关注的是，振幅较大的4#、16#标记圈主导模态为二阶，而振幅相对较小的11#、24#标记圈主导模态为三阶，表明在该约化速度下振幅较小管段的x向振动模态转移先于振幅较大的管段。与平面外相比（见图5），相同的约化速度条件（$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 16.57），大部分管段的平面外振动已经过渡到三阶模态，而平面内x向的振动只有小部分管段完成了模态过渡，同样证实了模态过渡在平面内、外是不同步的。

图  7  $ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 16.57时x方向振动模态权重的空间分布和典型位置的频率图

Fig.  7  The space-varying modal weight of the x-directional response and the associated frequencies at representative locations for $ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 16.57

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图8给出了五个代表性约化速度的平面内z向的振动响应。与x方向相似，z向的振动也由两个或两个以上的频率参与，轴向传递有明显的行波特性。$\bar U_{\mathrm{r}} $ = 4.74时为一阶模态主导，次频与平面外主导频率吻合。$\bar U_{\mathrm{r}} $ = 7.76时出现二阶频率，二阶振型间歇性出现在振动包络图中。均方根振幅曲线有三个波峰（尽管中间的波峰较小），表现为二阶振型，而此时的振动能量主要集中于一阶固有频率，只有立管中部由二阶频率主导，出现了均方根振幅曲线形状与主导频率不对应的“形频不一致”现象。$\bar U_{\mathrm{r}} $ = 16.57、21.59和27.87时，从均方根振幅曲线和振动包络图判断，z向振动分别由二阶、三阶、四阶主导，尽管振动能量分散在多个频率，但更多的能量聚集在主导模态对应的固有频率附近，满足“形频一致”。

图  8  代表性组次的z向振动响应

Fig.  8  The z-directional responses at representative reduced velocities

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图9为$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 16.57时立管在平面内z方向振动模态权重的空间分布及典型位置处的振幅小波变换图，其中红线为均方根振幅曲线。整体而言，z向振动的二阶模态权重最大，因而由二阶模态主导。4#、16#、27#标记圈的z向振动能量均集中于二阶固有频率附近，而9#标记圈的振动能量聚集于三阶固有频率附近，相应地三阶模态权重最大，体现了空间上的模态竞争，但由三阶主导的管段很短，对整体振动的贡献较小。值得注意的是，在该约化速度下，平面内x向和z向的三阶模态主导的管段几乎关于跨中对称，分别为24#标记圈附近（x向，见图7）和9#标记圈附近（z向），表明了平面内两个方向的耦合效应，这与悬链线型布置密切相关^{[22, 26]}。

图  9  $ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 16.57时z方向振动模态权重的空间分布和典型位置的频率图

Fig.  9  The space-varying modal weight of the z-directional response and the associated frequencies at representative locations for $ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 16.57

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2.2   立管振动的空间耦合

为进一步说明立管振动在平面内和平面外的耦合效应，将五个代表性约化速度时三个方向的均方根振幅曲线、主导频率与第一次频绘制在同一幅图中进行对比，如图10所示。$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 4.74时，根据均方根振幅曲线可以判断，平面内、外振动皆为一阶模态主导，即平面外的均方根振幅曲线有一个波峰，平面内的均方根振幅曲线有两个波峰。此时，平面外振动的主导频率接近一阶固有频率（$ f_{\text{o},1}^{\mathrm{w}} $），而平面内的主导频率分布在空间上分为两段：对于x向而言，上部管段的主导频率位于一阶固有频率（$ f_{\text{i},1}^{\mathrm{w}} $）附近，下部管段的主导频率与平面外振动的主导频率重合；z向的主导频率空间分布刚好与x方向相反，其下部管段的主导频率位于一阶固有频率（$ f_{\text{i},1}^{\mathrm{w}} $）附近。同时，x向振动的次频在上部管段与平面外振动的主导频率重合，在下部管段与z向的主导频率重合；z向振动的次频空间分布也依然与x向相反。我们把主导频率相同的两个方向的振动定义为强耦合（同主频），若同时两个方向的均方根振幅曲线形状相近且具有相同的波峰个数（同振形），则定义为强耦合⁺；若一个方向的次频与另一个方向的主导频率相同，即表明另一个方向的主导频率作为次频参与了这一方向的振动响应，当这两个方向的均方根振幅曲线形状相近且具有相同的波峰个数时（同振形），我们定义其为弱耦合；如果仅满足一个方向的次频与另一个方向的主导频率相同，则这两个方向的振动定义为弱耦合⁻。因而，我们可以得到第三列所示的空间上的振动耦合分区，分别给出了x和y向、z和y向、x和z向的振动耦合情况。

图  10  五个代表性约化速度的振动耦合空间分区

Fig.  10  The space-varying interaction between the responses in two directions at five representative reduced velocities

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依据上述定义，可以得到其余四个代表性约化速度的振动空间耦合分区。$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 7.76时，三个方向的主导频率均相同，且平面外与x向的均方根振幅曲线形状相近，具有两个波峰，故x和y向振动为强耦合⁺，而由于z向存在“形频不一致”现象，故z和y向、x和z向的振动为强耦合。$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 16.57时，三个方向的均方根振幅曲线形状相似，均具有三个波峰，且大部分管段的三个方向主导频率吻合，属于强耦合⁺；对应于均方根振幅曲线波谷处的小部分管段出现了一个方向的主导频率作为次频参与另一个方向的振动情况，属于弱耦合。当$ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ = 21.59和27.87时，由于参与平面内振动的频率个数增多且在空间上的竞争更为激烈，因而空间上的耦合分区数也更多。由于平面内、外的均方根振幅曲线波峰个数不一，x和y向、z和y向的振动主要为强耦合和弱耦合—模式，而平面内的两个方向（x和z向）振动为强耦合⁺和弱耦合模式。

如图11所示，为本文所研究的约化速度范围（4.14 ≤ $ \overline{U}_{\mathrm{r}} $ ≤ 33.57）内柔性立管振动耦合的空间分区。当平面外（y向）的主导模态阶数较平面内（x、z向）多1时，即模态组（平面内主导模态/平面外主导模态）以n/(n + 1)出现时（n为模态阶数），平面内、外振动容易出现强耦合和强耦合⁺。而当平面外（y向）的主导模态阶数小于等于平面内（x、z向）的主导模态阶数时，平面内、外振动主要为弱耦合和弱耦合⁻。由于平面内两个方向的振动有较强的关联，两者的耦合主要为强耦合和强耦合⁺。

图  11  立管振动耦合的空间分区

Fig.  11  The space partition of the response interaction

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3   结　论

本文在循环水槽中开展了顶部铰接-底部固定约束的悬链线型柔性立管的涡激振动响应实验测试，取得的主要实验结果如下：

1）平面外的最大均方根振幅在模态过渡组次存在先降后升的变化过程，但在平面内振动的模态过渡时这一现象并不明显。平面内、外的主导振动频率在模态过渡时均有跃升现象，且主导频率接近对应主导模态的固有频率。

2）立管振动在空间三个方向上的模态过渡均不同步。低约化速度时，平面外的模态过渡先于平面内，而高约化速度时，平面内反超平面外，激发出更高阶的模态。在实验研究的最大流速下，平面内、外分别被激发出四阶、三阶模态。

3）在模态过渡组次，轴向不同位置的振动由不同的频率及模态主导，呈现空间上的模态竞争。模态权重的空间分布及主导模态控制的管段长度决定了均方根振幅曲线的形状及波峰的个数。

4）根据两个方向的均方根振幅曲线波峰个数和主导频率的吻合程度，提出了强耦合⁺、强耦合、弱耦合和弱耦合⁻四种振动耦合模式。当平面内与平面外主导模态比以n/(n + 1)出现时，两者以强耦合和强耦合⁺模式为主。