0   引　言

随着航天技术的迅猛发展，飞行器外形日趋复杂，更高、更快、更远的设计需求导致飞行器在高空稀薄过渡流区飞行时间大幅增加。高超声速跨流域飞行中的稀薄、高温、非平衡、电磁等多物理场耦合效应导致的气动问题日趋显著，需要开展大量的试验研究。高超声速低密度风洞是开展跨流域飞行多物理场耦合效应试验研究的重要地面设备，可开展长期在轨飞行器或高速再入飞行器的气动力、气动热、级间分离特性、喷流特性研究，为飞行器选型、设计、评估提供试验数据支撑。高超声速低密度风洞运行马赫数高、总压低、流场品质要求高，其喷管设计质量的优劣直接影响流场品质，进而影响试验效果，因此，喷管设计质量对设备的研制至关重要。

高超声速型面喷管的设计，始于1893年拉瓦尔管的发明，成熟于20世纪70年代 ^[1]。在高超声速风洞中，目前学术界认为精度最高、应用最多的型面设计方法是Sivells方法^[2]。该方法基于轴向马赫数分布假设，构造特征线网格进行无黏型面设计，通过求解轴对称的von Kármán动量方程，完成边界层修正^[3]，还可以考虑高温带来的影响^[4]，是经典的轴对称高超声速喷管型面设计方法。国内在20世纪80年代开始发展该方法^[5]，并为常规高超声速风洞^[6-7]、激波风洞^[8]设计了多套轴对称型面喷管，均获得了较好的试验流场。低密度风洞运行马赫数高、总压低^[9]，该设计方法是否适用尚未得到验证。20世纪70年代，国外针对雷诺数10²量级的情况^[10]发展了一种层流边界层假设的喷管设计方法^[11]，但本文喷管雷诺数在10⁵量级，若取管流临界雷诺数为2320^[12]，则边界层为湍流状态，该方法并不适用。

本文以Φ0.3米高超声速低密度风洞应用为背景，构造马赫数6、8、10、12的轴对称型面喷管（后文简称“喷管”），通过数值模拟分析流场结构。为验证数值模拟结果的可靠性，在Φ0.3米高超声速低密度风洞开展马赫数12喷管出口马赫数分布和轴线马赫数分布测量试验，并对喷管射流流场进行研究，进一步明确该经典喷管设计方法在低密度风洞中的适用情况。

1   喷管构建

为考察在高马赫数低总压情况下的适用性，采用经典轴对称高超声速喷管型面设计方法设计了马赫数6、8、10、12喷管。其中，无黏型面设计采用Sivells方法^[13-14]，基本思想是通过喉道近似声速解、预设的轴线马赫数分布以及平行流边界条件构造特征线网格。图1为Sivells方法设计示意图，其中OAJ为跨声速区域、AJFC为过渡流区域，FC之后至出口为均匀流区域，在轴线JF上利用Sivells方法设定马赫数分布，其中J点位于声速点下游，O点为型面喉道点（也是坐标原点）。初始线AJ是一条右行特征线，通过喉部跨声速解确定一条初值线，然后用特征线方法（即MOC方法）求得。FC为出口马赫线，当F点位置和出口马赫数确定后，所有条件均为已知条件。轴线上的马赫数分布^[15]可以采用三次多项式、五次多项式、Bezier曲线、B样条曲线以及面积比的三次多项式、面积比的五次多项式等确定。但无论采用哪种方法，轴线马赫数Ma(x)在J点的分布：$Ma({x_J}) = {Ma_J}$ ；在F点的分布：$Ma({x_F}) = {Ma_F}， Ma'({x_F}) = 0，Ma''({x_F}) = 0$。其中，Ma_J和Ma_F分别为J点和F点的马赫数，x_J和x_F分别为J点和F点在轴线x上的坐标。在已知喉道曲率半径和转折角情况下，通过跨声速近似解或数值模拟可以获得J点的信息，一阶和二阶导数采用差分方法计算。F点的位置为：

图  1  Sivells方法设计示意图

Fig.  1  Schematic diagram of Sivells' method design

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式中：c_F ≥ 1，为调整喷管长度的系数；Ma_s为设计马赫数。当c_F = 1时，喷管最短。

本文中轴线马赫数$Ma(x)$分布采用三次多项式确定^[15]：

式中，$ {a_0} $，$ {a_1} $，$ {a_2} $，$ {a_3} $为待定系数，由边界条件确定。

完成特征线网格计算后，采用流量积分方法确定无黏型面（即通过推进的每条特征线上的流量与经过喉道的流量相等来确定型面）。本文采用Moger和Ramsay^[16]提出的抛物拟合流量积分法，沿着特征线的流量m的微分方程为：

式中，s为特征线的切线方向，r为特征点到轴线的径向长度，ρ和v分别为气流的密度和速度，α为特征线的切线方向与轴线方向的夹角。对于特征线上的任一特征点i，s_i已知，可直接求解得到f(s_i)；2个特征点之间的f[s_{(i, i+1)}]可通过抛物拟合近似求得。 f(s)的二次多项式可表示为：

式中，二次多项式的系数a₄、a₅、a₆可通过特征点$ i、i + 1、i + 2$的信息计算得到。特征点$ i和i + 1 $之间的流量积分为：

由此可以确定整条特征线上的流量，而型面点流量可以基于实际流量等于某两点之间的线性插值流量得到。

根据文献[3]，对于有热交换的湍流边界层厚度（如动量厚度$ \theta $、位移厚度$ {\delta _*} $等），可通过求解轴对称的von Kármán动量方程得到。边界层动量厚度$ \theta $的计算方法为：

式中：y表示径向方向（见图2）；边界层形状因子$H={{\delta _*}}/{\theta }$；C_f为摩擦系数。H、C_f受压缩性、压力梯度、热交换等因素影响，不能精确求出，必须用半经验关系式进行变换，把低速范围内得到的经验应用到高超范围，将不可压缩流的方法应用到高超声速流场。目前，考虑热交换和压力梯度影响的求解方法有4种：Sivells–Payne 方法^[17]、Reshotko–Tucker方法^[18]、Persh–Lee方法^[19]和Bartz方法^[20]。这4种方法都是近似方法，目前尚无精确的试验方法确定这些方法的优缺点和适用范围。本文采用Persh–Lee方法，假定边界层内的速度分布符合指数法则，温度分布符合Crocco法则，通过半经验修正方法将不可压缩流的H、C_f求解方法应用于可压缩流。然后通过式（6）求解H和$ \theta $，再推算出$ {\delta _*} $，并将$ {\delta _*} $值加于无黏型面上，得到喷管的物理型面。

图  2  边界层坐标系

Fig.  2  Coordinate system of boundary layer

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设计喷管出口直径为300 mm，入口直径d₀按保证入口气体流速$ {v_{\rm{0}}} $ = 4～15 m/s的原则给定。根据质量守恒定律有：

求得：

式中：$ \;{\rho _0} $为入口气体密度，根据总温T₀、总压p₀及状态方程求解；$ \;{\rho _*} $为喉道处的密度，根据一维等熵流关系式及喉道处马赫数为1的条件求解；v_*为喉道处的气流速度：

式中，$ \gamma $为气体比热比，R为气体常数，T_*为喉道处的温度。

入口段曲线采用三角函数和双曲函数构造^[21]，介质选用氮气，根据Φ0.3米高超声速低密度风洞各套喷管最常用运行参数选取总压$ {p_0} $。防冷凝温度T_s（单位K）根据气体静压与温度的关系计算^[22]：

式中，p表示气体静压（单位mmHg，1 mmHg ≈ 133.32 Pa）；K₁为常数，对于氮气，K₁ = 314.22 K；K₂也为常数，对于氮气，K₂ = 6.9487。为保证气体不发生冷凝，需保持高速流动气体的静温高于冷凝温度，可通过一维等熵流静温–总温关系式计算风洞运行的总温T₀^[23]。喷管设计参数见表1。设计完成的喷管喉道半径、喷管扩张段长度见表2。

表  1  马赫数6～12喷管设计参数

Table  1  Design parameters of Mach 6–12 nozzles

设计 马赫数	p0/MPa	T0/K	入口半径 /mm
6	0.3	288	100
8	0.9	366	45
10	1.4	502	30
12	2.0	654	30

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表  2  马赫数6～12喷管设计结果特征参数

Table  2  Characteric parameters of Mach 6–12 nozzles

设计 马赫数	入口段长度 /mm	喉道半径 /mm	扩张段长度 /mm
6	200	18.366	1344
8	90	9.203	1518
10	60	5.054	1572
12	60	2.965	1564

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2   喷管流场数值模拟

数值模拟通过求解轴对称的N–S方程^[24-25]进行。气体介质为氮气，由于总温低于800 K，本文采用可压缩理想气体的k–ε湍流模型。网格在轴线方向布置400个，在径向布置50个，近壁面的网格高度在0.01～0.05 mm范围内。在实际使用中，稳定段、喉道段等高温部位常采取水冷措施，扩张段靠近壁面的气体稀薄、热流较小且喷管壁常采用热容量较大的不锈钢材质，在60 s试验时间内实测壁温几乎没有变化，因此在模拟中假设壁温恒定在300 K。假设入口处压力、温度恒定，出口边界条件外插，初场温度300 K，初场压力10 Pa。由于试验时间较长，可假设流动为定常。模拟的总温、总压状态与设计状态一致，如表1所示。

流场马赫数等值线分布见图3～6。从图3、4可以看出，在马赫数6、8喷管中，气体经过过渡流区加速、充分膨胀后进入均匀流区，且在均匀流区基本能保持稳定的流动；从图5、6可以看出，在马赫数10、12喷管中，气体在过渡流区过度膨胀、加速，进入均匀流区后持续压缩、减速，导致均匀区流场不稳定，流场结构偏离设计。

图  3  马赫数6喷管马赫数等值线分布图

Fig.  3  Mach number isoline distribution diagram of Mach 6 nozzle

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图  4  马赫数8喷管马赫数等值线分布图

Fig.  4  Mach number isoline distribution diagram of Mach 8 nozzle

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图  5  马赫数10喷管马赫数等值线分布图

Fig.  5  Mach number isoline distribution diagram of Mach 10 nozzle

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图  6  马赫数12喷管马赫数等值线分布图

Fig.  6  Mach number isoline distribution diagram of Mach 12 nozzle

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为研究喷管内的流动情况，将各喷管轴线马赫数进行量化对比，使用喷管扩张段长度x_E、出口中心点马赫数Ma_E对数据进行归一化处理，得到如图7所示的轴线马赫数分布。可以看到，各喷管达到马赫数最大值的相对位置基本相同（约为喷管轴线1/2处）。在马赫数6、8喷管中，轴线马赫数达到最大值后，微小波动，整体呈下降趋势，直到喷管出口；在马赫数10、12喷管中，轴线马赫数达到最大值后单调下降，直到喷管出口。将喷管轴线马赫数的典型参数列在表3中，可以看到，各喷管轴线最高马赫数分别比出口中心点马赫数高0.105、0.289、0.777、1.592，与出口中心点马赫数的比值分别为1.70%、3.48%、7.47%、12.76%。随着设计马赫数增大，轴线最高马赫数与出口中心点马赫数的比值增大，轴线马赫数高于喷管出口中心点马赫数的区域也在加大（所占扩张段长度的比例分别为38.69%、60.74%、62.34%、67.46%）。

图  7  喷管轴线马赫数分布图

Fig.  7  Mach number distribution diagram on the axis of nozzles

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表  3  喷管轴线马赫数典型参数

Table  3  Characteric parameters of nozzle axis

设计 马赫数	出口中心点 马赫数	轴线最高 马赫数	高于出口中心点 马赫数的区域/mm
6	6.188	6.293	x = 603～756， x = 882～1249
8	8.293	8.582	x = 596～1518
10	10.408	11.185	x = 592～1572
12	12.484	14.076	x = 509～1564

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3   试验验证

高马赫区域的存在，不但会对流场产生影响，还有可能因总温不足导致高马赫区域气体冷凝，降低试验数据可靠性。在数值模拟中发现的高马赫数区域，理论上不应该存在，在实际使用中也未曾发现，因此需要开展试验验证。试验在Φ0.3米高超声速低密度风洞中开展，分2步进行：1）进行喷管出口流场马赫数分布与总温关系的研究，确定喷管运行的防冷凝温度；2）测量喷管轴线马赫数分布，确认喷管内部高马赫数区域是否存在。选取轴线马赫数分布最典型的马赫数12喷管作为试验对象。

3.1   风洞及试验设备介绍

Φ0.3米高超声速低密度风洞的试验介质为氮气，采用高压下吹–真空抽吸的运行方式，试验时间30～600 s。风洞主要部件包括气源系统、石墨电阻加热器、储热加热器、稳定段、喷管、试验段、模型机构、扩压器、冷却器、真空系统，另外还配备了数据采集与处理系统、控制系统、测试系统，风洞结构见图8。风洞运行总温范围为室温～1400 K，试验过程中波动范围不超过1%，总压范围为0.1～10.0 MPa，试验马赫数范围为5～24，模拟的高度范围为30～94 km。为方便调节温度，试验使用石墨电阻加热器，由于石墨电阻加热器功率有限，为达到在较宽范围内调节总温的目的，试验总压设置为1.0 MPa。

图  8  Φ0.3米高超声速低密度风洞结构图

Fig.  8  Structure chart of Φ0.3 m hypersonic low density wind tunnel

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采用一字型皮托压力测量排架测量喷管出口流场参数，共有13根平头探针。探针内径3 mm、外径8 mm、间距20 mm。探针长度不小于100 mm。

马赫数12喷管的扩张段长度为1564 mm，但受风洞布局的限制，无法全程测量。设计的轴线马赫数分布测量机构如图9所示。探针与滑动杆总长813 mm，探针尾部焊接紫铜管，并通过紫铜管、绝缘橡胶软管连接差压传感器。测压管可以前后移动，调整到试验所需位置后用沉头螺钉固定。

图  9  喷管轴线马赫数分布测量探针

Fig.  9  Test probe used to measure Mach Number distribution of the nozzle axis

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喷管轴线马赫数分布测量探针通过支杆连接到风洞坐标移动机构上，探针尾部紫铜管安装在扩压器内部，如图10所示。坐标移动机构的移动范围为0～250 mm，因此必须通过移动探针位置达到更大的测量范围。

图  10  喷管轴线马赫数分布测量装置安装

Fig.  10  Installation of measuring equipment for Mach number distri-bution on nozzle axis

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总温T₀采用K型热电偶测量，测量范围为室温～1600 K，测量精度为0.5%；总压p₀采用绝压传感器测量，测量范围为0～10 MPa，精度为0.25%；皮托压力采用差压传感器测量，测量范围为0～60 kPa，精度为0.25%；试验段内环境压力采用真空计进行测量，测量范围为10～100 Pa，精度为5%。

3.2   喷管出口马赫数分布测量

为研究喷管出口马赫数分布情况、确定试验的防冷凝总温，进行总压1 MPa、总温446～782 K条件下的喷管出口皮托压力测量，并通过理想气体一维等熵流正激波关系式计算喷管出口马赫数分布^[23]：

式中，$ {p_{\text{t}}} $为激波后总压，即通过皮托探针测得的压力；$ {p_2} $为激波后静压，$ {p_1} $为激波前静压；$ \gamma $为比热比，Ma(y)为出口马赫数分布，通过迭代求解。试验结果如图11所示。

图  11  喷管出口马赫数分布与总温的关系曲线

Fig.  11  Relationship between the pressure distribution of the nozzle exit and the total temperature

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从测量结果看，喷管出口马赫数分布受总温影响明显，大体上可分成3组：1）总温在446～633 K范围内，喷管出口马赫数对总温较敏感（随着总温的升高而降低），流场大面积冷凝（冷凝面积随着总温的升高而减小），不适合开展风洞试验；2）总温在650～659 K范围内，冷凝面积已经较小，但还未彻底消除，对流场尚有一定影响，导致中心区域出口马赫数偏高；3）总温在710～782 K范围内，冷凝完全消除，出口马赫数分布随总温的变化不明显，适合开展风洞试验。综上所述，在总压1 MPa状态下，使用氮气作试验介质的防冷凝总温为710 K。

3.3   喷管轴线马赫数分布测量

测量喷管轴线马赫数分布时，选择总温593 K和773 K的状态，分别代表流场局部冷凝和完全无冷凝情况。

在总压1 MPa情况下，测得的喷管内部轴线马赫数均高于出口，如表4所示。T₀ = 773 K时，轴线上最靠近喉道的测量点（x = 994 mm）比喷管出口中心点（x = 1564 mm）的马赫数高9.5%；T₀ = 593 K时，轴线上最靠近喉道的测量点比喷管出口中心点的马赫数高5.0%。从测量结果看，喷管内部高马赫数区域真实存在。

表  4  总压1 MPa情况下喷管轴线马赫数分布测量结果

Table  4  Mach Number distribution on the nozzle axis when the total pressure is 1 MPa

x/mm	994	1014	1064	1114	1164	1194	1214	1264	1314	1364	1414	1464	1514	1564
T0 = 773 K	12.67	12.60	12.44	12.37	12.35	12.37	12.35	12.24	11.88	11.72	11.68	11.57	11.57	11.57
T0 = 593 K	12.95	12.91	12.87	12.91	13.03	12.99	13.02	12.71	12.61	12.55	12.46	12.44	12.42	12.33

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受Φ0.3米高超声速低密度风洞试验段内部操作空间、试验设备的限制，无法完整测量喷管轴线上的马赫数分布情况。为考察更大范围轴线马赫数分布情况，对马赫数12喷管2个试验状态（总温 593 K和 773 K）的流场进行了数值模拟，所使用的方法与第2节相同。

喷管轴线马赫数分布测量与数值模拟结果对比如图12所示。可以看到，试验与数值模拟结果变化趋势基本一致。从数值模拟结果看，当T₀ = 773 K时，x = 690 mm处的马赫数达到最大值13.48，比出口马赫数11.58高16.4%，按照马赫数最大值13.48及总压1 Mpa求出气体静压，再根据式（10）计算得到所需的防冷凝总温为708 K，与3.2节的试验结果相符。另外，从对比结果看，T₀ = 773 K时的试验结果与数值模拟结果的符合程度优于T₀ = 593 K时，这是因为在数值模拟中没有考虑气体冷凝。

图  12  喷管轴线马赫数分布测量结果与数值模拟结果对比

Fig.  12  Contrast between the test result of Mach Number distribution of the nozzle and the numerical simulation

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4   射流影响研究

为研究喷管内过度膨胀对试验流场的影响，对喷管及射流流场进行数值模拟。为保证流场不冷凝，根据表3中的轴线最高马赫数确定总温。数值模拟基本参数见表5，射流部分长度为400 mm，数值模拟方法同第2节。

表  5  马赫数 6～12喷管及射流流场模拟基本参数

Table  5  Simulation parameters of Mach 6–12 nozzles and freestream

设计马赫数	p0/MPa	轴线最高马赫数	T0/K
6	0.3	6.293	288
8	0.9	8.582	398
10	1.4	11.185	578
12	2.0	14.076	801

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数值模拟得到的马赫数等值线分布见图13～16。其中马赫数6、8喷管的流场结构与设计一致，气体在过渡流区加速、整流，在出口处形成均匀、稳定的流场，在喷管出口形成一道较弱的膨胀波，但对射流核心区基本无影响，形成一个均匀、稳定的梯形射流流场。马赫数10、12喷管在过渡流区过度膨胀，其后喷管壁面对气流形成压缩，导致马赫数下降，且这种压缩效应传导至射流区域内，持续对射流流场进行压缩，导致射流流场均匀性降低、马赫数轴向梯度加大。数值模拟的主要结果如表6所示，可以看到：马赫数6、8喷管的射流流场均匀性指标较好，适合开展气动力、热试验；马赫数10喷管的射流流场均匀性指标有所下降，但能满足大部分试验的流场需求；在马赫数12喷管中，喷管出口截面马赫数最大相对偏差明显增大，马赫数轴向梯度也高于其他喷管，不适合开展高精度的风洞试验。

图  13  马赫数6喷管及射流马赫数等值线分布图

Fig.  13  Mach number isoline distribution diagram of Mach 6 nozzle and the jet flow

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图  14  马赫数8喷管及射流马赫数等值线分布图

Fig.  14  Mach number isoline distribution diagram of Mach 8 nozzle and the jet flow

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图  15  马赫数10喷管及射流马赫数等值线分布图

Fig.  15  Mach number isoline distribution diagram of Mach 10 nozzle and the jet flow

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图  16  马赫数12喷管及射流马赫数等值线分布图

Fig.  16  Mach number isoline distribution diagram of Mach 12 nozzle and the jet flow

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表  6  马赫数6～12喷管及射流流场主要数值模拟结果

Table  6  Major numerical simulation result of Mach 6–12 nozzles

设计 马赫数	喷管出口截面		每200 mm的 马赫数轴向梯度
	核心区直径/mm	马赫数最大相对偏差
6	240	0.20%	0.050
8	200	0.27%	0.090
10	168	0.37%	0.184
12	150	1.31%	0.257

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5   结　论

目前经典的喷管设计方法采用Sivells方法进行无黏型面设计，通过求解轴对称的von Kármán动量方程进行边界层修正。应用该经典的喷管设计方法，采用Φ0.3米高超声速低密度风洞最常用试验状态设计了马赫数6、8、10、12的轴对称型面喷管，通过数值模拟和试验验证了经典喷管设计方法在高马赫数、低总压情况下的适用性，得到如下结论：

1）马赫数6、8喷管流场结构与理论基本一致，射流流场马赫数均匀性好、轴向梯度小，适合开展风洞试验，说明经典设计方法仍然适用。

2）马赫数10喷管流场内部出现过度膨胀现象，但射流流场马赫数均匀性及轴向梯度仍能达到较高技术指标，属于临界状态，可以开展风洞试验，但不建议使用。使用时总温应足够高，并做好流场校测，确保流场指标达到要求。

3）马赫数12喷管内部过度膨胀，射流流场马赫数均匀性下降且轴向梯度较大，不适合开展风洞试验，说明设计方法已不再适用。

当运行总压较低时，为得到出口马赫数较高、射流流场品质较好的喷管，还需进一步发展新的设计方法或修正方法。