Reconstruction of turbulent fields based on super-resolution reconstruction method
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摘要: 从低分辨率流场数据中获取精细流场信息具有重要的研究意义。基于卷积神经网络的超分辨率重构方法是近年来发展的一种较为有效的精细流场重构方法。本文采用高效亚像素卷积神经网络（Efficient Sub-Pixel Convolutional Neural Network，ESPCN），对Rayleigh–Bénard（RB）对流的数值模拟数据和湍流边界层（Turbulent Boundary Layer，TBL）的实验测量数据进行了超分辨率重构，并与双三次插值方法（Bicubic Interpolation）的重构结果进行对比。对比结果表明：在较小的下采样比下，ESPCN方法和Bicubic方法的重构精度相当；在较大的下采样比下，ESPCN方法的重构精度明显优于Bicubic方法。此外，ESPCN方法对数据梯度较大区域的超分辨率重构效果优于Bicubic方法。Abstract: It is an important issue to obtain detailed flow fields from limited flow fields data. The convolutional-neural-networks-based super-resolution reconstruction methods developed in recent years are effective methods to obtain detailed flow fields. The efficient sub-pixel convolutional neural network（ESPCN） method is used to reconstruct Rayleigh–Bénard（RB） convection numerical simulation data and turbulent boundary layer（TBL） experimental measured data, and obtain high resolution flow fields data. The reconstructed high resolution flow fields data obtained using ESPCN is then compared to the results from the traditional super-resolution reconstruction method, the bicubic interpolation method. The results indicate that the flow fields reconstructed by the ESPCN method and the bicubic method agree well with the original high-resolution flow fields data when the down-sampling ratio is small. But, when the down-sampling ratio is large, the accuracy of the flow fields reconstructed by the ESPCN method is significantly better than that constructed by the bicubic method. In addition, the ESPCN method has a better performance than the bicubic method in areas with large gradients.
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0 引 言
计算机性能的快速发展和精细化流动测试手段的不断精进，为获取高分辨率流场数据的方法提供了丰富的可能性[1-2]。在工业上，我们通常希望以较小的计算和实验代价快速获得高分辨率（High Resolution，HR）流场数据。然而，传统的获取高分辨率流场数据方法（加密计算网格、缩短时间步长以及精细化实验测量等）通常都会付出很高的成本。
近年来，研究者开始将超分辨率重构技术应用于获取高精度流场数据[3-7]。超分辨率重构（Super-resolution Reconstruction，SR）方法可以利用低分辨率（Low Resolution，LR）数据重建对应的高分辨率数据。传统的SR方法主要基于插值算法，例如最近邻插值法[8]（Nearest Neighbour Interpolation）、线性插值法[9]（Linear Interpolation）以及双三次插值法[10]（Bicubic Interpolation，即Bicubic方法）等。其中，Bicubic方法重构的数据精度比其他插值方法更高，但是该方法的时间复杂度也是最高的，因此通常被用作超分辨算法的基准线（baseline）。这些插值算法被广泛应用于各个领域，但基于插值算法的超分辨率重构方法的精度依赖于插值点的小范围邻域信息，在较大的下采样比情况下，重构的数据图像往往较为模糊。
同时，机器学习技术也为研究者提供了一种直接从数据驱动角度出发重构高分辨率图像的方法[11-15]。香港中文大学的Dong等[11]在2014年首次采用卷积神经网络方法对低分辨率图像进行超分辨率重构，并提出了超分辨率卷积神经网络（Super-Resolution Convolutional Neural Network，SRCNN）。采用SRCNN方法重构的图像精度和清晰度比传统的插值算法更高，但该方法的网络需要在高分辨率上进行卷积操作，存在训练速度慢的问题。Shi等[14]提出了一种直接对原始低分辨率图像进行网络训练的高效亚像素卷积神经网络（ESPCN）模型，该模型大幅降低了网络训练计算量，提高了重构方法的效率。
近年来，机器学习技术被广泛应用于湍流大数据中[16-21]。同样地，基于深度学习的超分辨方法也被推广至流场数据重构的应用中[22-29]。基于深度学习的超分辨率方法的性能依赖于训练数据的完备性。湍流的实验测量和数值模拟获得的数据非常丰富，使得基于深度学习的超分辨率方法成为快速生成高分辨率流场的有效途径。Fukami等[23-24]发展了下采样跳跃连接多尺度（Downsampled Skip-Connection Multi-Scale，DSC/MS）混合模型用于二维衰减均匀湍流的单瞬时数据的超分辨率重构，研究了不同下采样方法对DSC/MS模型的影响，并将DSC/MS方法推广至时空流场数据的超分辨率重构。Deng等[26]采用两种基于生成对抗网络（Generative Adversarial Network，GAN）的模型—SRGAN和ESRGAN—对双圆柱绕流的数据进行了超分辨率重构。Bai等[27]利用字典学习策略对不同状态下的烟雾流动进行了超分辨率重构。Gao等[28]利用流体力学中的守恒定律和边界条件提出了一种基于物理知识的卷积神经网络，在血管流数据的超分辨率重构和去噪中展现了出色效果。Kim等[29]采用无监督学习模型和CycleGAN模型，对湍流场数据进行了超分辨率重构，该模型还可以将大涡模拟数据重构为直接数值模拟精度的高分辨率流场。
本文采用ESPCN方法和Bicubic方法对不同下采样比的直接数值模拟所获得的RB湍流场数据进行超分辨率重构。考虑到实验测量数据中的环境噪声对超分辨率方法存在影响，本文也研究了边界层湍流实验测量数据的超分辨率重构。
1 超分辨率重构方法
1.1 双三次插值方法
在基于插值算法的超分辨率重构方法中，双三次插值方法（Bicubic方法 ）是一种高精度的超分辨率重构方法，被广泛应用于图像和数据的处理。
Bicubic方法是通过在数据中插值来增加或减小局部数据密度，达到改变原始数据精细程度的目的。Bicubic方法计算了插值点周围16个数据点（邻域大小为4×4）的加权和，其插值核为：
$$ {h_i}（{d_i}） = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {（a + 2）|{d_i}{|^3} - （a + 3）|{d_i}{|^2} + 1}， & {0 \leqslant |{d_i}| < 1} \\ {a|{d_i}{|^3} - 5a|{d_i}{|^2} + 8a|{d_i}| - 4a}， & {1 \leqslant |{d_i}| < 2} \\ 0， & {2 \leqslant |{d_i}|} \end{array}} \right. $$ (1) $$ {d}_{i}=\frac{{x}_{i}（{x}_{0}）-{x}_{i}（x）}{\Delta x}，i{=1，2} $$ (2) 式中：a为核函数的参数，在本文中取a=–0.5；di为插值点在i方向到周围点的距离；xi（x0）为插值点i方向的坐标；xi（x）为原始流场数据i方向的坐标；Δx为原始数据均匀网格的网格大小。
1.2 基于深度学习的超分辨率重构方法
本文采用的基于深度学习的超分辨率重构方法是Shi等[14]所提出的高效亚像素卷积神经网络（ESPCN）方法。该方法采用三层卷积神经网络重构低分辨率数据，网络架构如图1所示。其中，输入层的低分辨数据是通过Bicubic方法对原始高分辨率数据（H×W×C；H、W和C分别为数据网格高度、数据网格宽度和数据通道数）进行下采样获得，下采样比为rus，则下采样后的低分辨率数据的尺寸为（H/rus）×（W/rus）×C；然后采用卷积神经网络层提取低分辨率数据的特征，相当于通过一组滤波器对图像进行卷积，并将这些特征纳入网络中进行优化；最后采用亚像素卷积层将这些从低分辨率数据中得到的特征上采样重构为高分辨率数据。
ESPCN模型训练所采用的损失函数（loss function）为均方误差（Mean Squared Error，MSE）：
$$ {f_{{\rm{loss}}}} = \frac{1}{{HWC}}{\sum\limits_{z = 1}^C {\sum\limits_{x = 1}^W {\sum\limits_{y = 1}^H {\left[ {{\boldsymbol{D}}_{x,y,z}^{{\rm{HR}}} - f（ {{\boldsymbol{D}}_{x,y,z}^{{\rm{LR}}}} ）} \right]^2} } }} $$ (3) 式中：
$ {\boldsymbol{D}}_{x,y,z}^{{\rm{HR}}} $ 表示原始高分辨率流场数据在坐标系Oxyz中位置的值；$ f\left( {{\boldsymbol{D}}_{x,y,z}^{{\rm{LR}}}} \right) $ 表示ESPCN输出的高分辨率流场数据在坐标（x，y， z）的值。该模型的激活函数为ReLU：
$$ f（x） = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0，}&{x \leqslant 0} \\ {x，}&{x > 0} \end{array}} \right. $$ (4) 并且将70%的数据集用作训练集、30%用作验证集。验证集用于在模型训练时监控当前模型在验证集上的表现能力，为模型超参数的调整提供依据。
2 研究结果
2.1 Rayleigh-Bénard（RB）对流流场重构
首先，研究了直接数值模拟Rayleigh–Bénard（RB）湍流对流数据的超分辨率重构。RB对流系统的物理模型是一个下底板加热、上底板冷却的对流系统，系统中充满流体介质。由于上下底板温度不同，导致不同高度位置的流体之间存在密度差，系统中的流体在浮力驱动下产生运动。在Oberbeck–Boussinesq（OB）近似下的无量纲控制方程组为：
$$\left\{\begin{array}{l} {{\nabla}} \cdot {\boldsymbol{u}} = 0 \\ \dfrac{{\partial {\boldsymbol{u}}}}{{\partial t}} + （{\boldsymbol{u}} \cdot {{\nabla}} ）{\boldsymbol{u}} = - {{\nabla}} p + \sqrt {\dfrac{{Pr}}{{Ra}}} {{{\nabla}} ^2}{\boldsymbol{u}} + \theta {\boldsymbol{z}}\\ \dfrac{{\partial \theta }}{{\partial t}} + （{\boldsymbol{u}} \cdot {{\nabla}} ）\theta = \sqrt {\dfrac{1}{{Ra \cdot Pr}}} {{{\nabla}} ^2}\theta \end{array}\right.$$ (5) 控制方程分别为连续性方程、含有热浮力项的Navier–Stokes方程和热输运方程，Ra、Pr分别为系统瑞利数（Rayleigh number）和普朗特数（Prandtlnumber）。
通过有限差分法模拟了Pr=0.7、Ra=1×108的RB对流流场，上下底板温度分别为无量纲温度–0.5和0.5，计算网格为720×720。分别采用下采样比rus为3、10、20和30获取低分辨率数据进行模型训练，模型的输入层大小为（720/rus）×（720/rus）×3，维度3代表流场数据的3个通道，分别为温度场θ、水平速度场u和垂直速度场v。将70个瞬时RB流场数据用于模型训练，30个瞬时RB流场数据用于模型验证。图2和3分别为温度场数据的ESPCN方法重构结果和Bicubic方法重构结果（下采样比rus分别为3和30）。
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图 2 下采样比为3的RB系统温度场数据的超分辨率重构结果Fig. 2 The super-resolution reconstruction result of the temperature field data of the RB system with rus=3![]()
图 3 下采样比为30的RB系统温度场数据的超分辨率重构结果Fig. 3 The super-resolution reconstruction result of the temperature field data of the RB system with rus=30从图2和3可以看出，下采样比较小时，ESPCN方法和Bicubic方法重构的结果都与原始流场数据接近；下采样比较大时，ESPCN方法和Bicubic方法在数据过渡比较平滑的中心区域都可以重构出较为精确的流场数据，但在数据梯度较大的边壁区域，ESPCN方法的重构效果明显优于Bicubic方法。图4为RB系统的中心线温度数据剖面（黑色虚线为原始流场结果，红色圆圈为Bicubic方法结果，蓝色圆圈为ESPCN方法结果）。
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图 4 RB系统中心线温度数据剖面的超分辨率重构结果Fig. 4 Comparison of the results of the temperature profile of the horizontal centerline of the RB system temperature field data图4描述了RB系统的水平中心线局部的重构结果对比。下采样比为3时，ESPCN方法和Bicubic方法的结果与原始流场数据的水平中心温度剖面基本吻合。下采样比为30时，在x坐标靠近0和1处，Bicubic方法重构的温度数据明显偏离了原始数据，ESPCN方法重构的结果更接近于原始流场数据；在离上下板都较远的bulk区，可以看出ESPCN方法重构的温度数据有小范围的偏差。
图5为整个瞬时场的概率密度函数（Probability Density Function，PDF），其中，黑色圆圈为原始流场结果，红色星形为Bicubic方法结果，蓝色三角形为ESPCN方法结果。图5描述了整个瞬时场RB系统温度数据的PDF分布对比。在两个不同采样比的结果中，ESPCN方法重构的温度数据分布更接近于原始流场温度数据分布。同样地，下采样比为30时，Bicubic方法重构的数据在温度θ靠近–0.5和0.5附近的分布与原始流场数据分布存在偏差。图4和5的结果都表明：在数据梯度较大的边壁区域，ESPCN方法比Bicubic方法的数据重构更有优势，这与图3的结果也是相吻合的。
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图 5 RB系统瞬时温度场数据PDF分布的超分辨率重构结果Fig. 5 Comparison of PDF results of instantaneous temperature field data of the RB system temperature field data表1给出了不同下采样比的ESPCN方法和Bicubic方法重构后的流场数据的MSE。从表中可以看出：下采样比较小时，ESPCN方法和Bicubic方法重构出的流场误差较小，且两者精度接近；在下采样比较大时，ESPCN方法的性能优于Bicubic方法。
表 1 不同下采样比的MSETable 1 MSE with different down-sampling rusrus=3 rus=10 rus=20 rus=30 ESPCN 4.02×10–6 4.58×10–6 2.41×10–5 3.08×10–5 Bicubic 6.97×10–6 1.95×10–4 7.11×10–4 1.39×10–3 2.2 湍流边界层流场的重构
上节研究了基于直接数值模拟的RB系统流场的超分辨率重构。由于存在环境噪声，从实验中获得的流场数据对超分辨率算法具有一定的挑战。本节讨论对湍流边界层（Turbulent Boundary Layer，TBL）实验数据的超分辨率重构结果。
实验测量数据来源于文献[30]，采用粒子图像测速法（Particle Image Velocimetry，PIV）获得。实验装置如图6所示，平板尺寸lx×lz = 250 cm×80 cm，lx和lz分别为平板流向和展向长度。平板前缘修型，减小流动分离对下游流场的影响；通过调整平板后缘角度满足零压力梯度条件。自由来流速度u=0.53 m/s。图中绿色区域为实验测量区域，大小为Lx×Ly×Lz= 63 mm×15 mm×68 mm，Lx、Ly和Lz分别为测量区域的流向、垂向和展向长度。
选取距离平板底部0.41 mm的二维流场截面（图6中红色线条表示该截面）数据用于训练。被选取的二维截面的网格为64×64，将流向速度u、垂向速度v和展向速度w作为ESPCN的3个通道的训练数据。同样地，将140个瞬时TBL流场数据用于模型训练，60个瞬时TBL流场数据用于模型验证。采用ESPCN和Bicubic方法对下采样比为2、4、8的低分辨率流场数据进行重构。图7和8分别为下采样比为4和8的流向速度u的重构结果对比。
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图 7 下采样比为4的TBL流向速度数据的超分辨率重构结果Fig. 7 The super-resolution reconstruction result of the TBL streamwise velocity with the down-sampling rus =4![]()
图 8 下采样比为8的TBL流向速度数据的超分辨率重构结果Fig. 8 The super-resolution reconstruction result of the TBL streamwise velocity with the down-sampling rus =8从图7和8可以看出，对于下采样比为4和8的情况，ESPCN方法仍具有良好的超分辨率重构能力；对于下采样比为8的情况，以Bicubic方法重构后的流场数据会丢失掉很多信息，甚至某些尺度较小的速度结构已经无法恢复。
同样地，图9为下采样比为4和8的瞬时TBL流场的流向速度PDF分布的对比（黑色圆圈为原始流场的结果，红色星形为Bicubic方法的结果，蓝色三角形为ESPCN方法的结果）。从图中可以看出，下采样比为4时，ESPCN方法和Bicubic方法重构的流场流向速度分布与原始流场的流向速度分布接近；下采样比为8时，ESPCN方法重构的流场流向速度分布比Bicubic方法重构的流场流向速度分布更可靠。这说明下采样比为8的TBL实验流场数据对Bicubic方法更具有挑战性。
表2给出了不同下采样比的ESPCN方法和Bicubic方法重构后的流场数据的MSE。与RB系统的重构结果类似，ESPCN方法在大下采样比情况下仍能展现出不错的性能。
表 2 不同下采样比的MSETable 2 MSE with different down-sampling rusrus =2 rus =4 rus =8 ESPCN 1.63×10–4 4.32×10–4 7.00×10–4 Bicubic 1.60×10–4 7.16×10–4 3.62×10–3 3 结 论
本文采用ESPCN方法和Bicubic方法分别对RB系统的数值模拟数据和TBL实验流场数据进行超分辨率重构，得到以下结论：
1）使用基于卷积神经网络的超分辨算法（ESPCN）可以对数值模拟及实验测量所得的流场数据进行超分辨率重构。
2）对于数据梯度较大的区域，ESPCN方法比Bicubic方法的超分辨率重构效果更好。但对于RB系统，ESPCN方法在bulk区重构的流场数据会稍偏离原始数据。针对这一问题，下一步研究可以考虑加入物理信息约束的卷积神经网络对流场数据进行重构。
3）在大下采样比情况下进行超分辨率重构时，Bicubic方法重构的数据会变得平滑，损失掉较多流场结构边界信息，而ESPCN方法可以很好地还原原始流场的某些速度结构信息。
致谢：感谢天津大学姜楠教授课题组为本文提供湍流边界层实验数据。
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图 2 下采样比为3的RB系统温度场数据的超分辨率重构结果
Fig. 2 The super-resolution reconstruction result of the temperature field data of the RB system with rus=3
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图 3 下采样比为30的RB系统温度场数据的超分辨率重构结果
Fig. 3 The super-resolution reconstruction result of the temperature field data of the RB system with rus=30
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图 4 RB系统中心线温度数据剖面的超分辨率重构结果
Fig. 4 Comparison of the results of the temperature profile of the horizontal centerline of the RB system temperature field data
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图 5 RB系统瞬时温度场数据PDF分布的超分辨率重构结果
Fig. 5 Comparison of PDF results of instantaneous temperature field data of the RB system temperature field data
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图 7 下采样比为4的TBL流向速度数据的超分辨率重构结果
Fig. 7 The super-resolution reconstruction result of the TBL streamwise velocity with the down-sampling rus =4
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图 8 下采样比为8的TBL流向速度数据的超分辨率重构结果
Fig. 8 The super-resolution reconstruction result of the TBL streamwise velocity with the down-sampling rus =8
表 1 不同下采样比的MSE
Table 1 MSE with different down-sampling rus
rus=3 rus=10 rus=20 rus=30 ESPCN 4.02×10–6 4.58×10–6 2.41×10–5 3.08×10–5 Bicubic 6.97×10–6 1.95×10–4 7.11×10–4 1.39×10–3 
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表 2 不同下采样比的MSE
Table 2 MSE with different down-sampling rus
rus =2 rus =4 rus =8 ESPCN 1.63×10–4 4.32×10–4 7.00×10–4 Bicubic 1.60×10–4 7.16×10–4 3.62×10–3
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