0   引　言

折射率 （$n$） 是透明介质的基本物理属性之一，定义为 $n = c/v$，即真空光速$c$与光在指定介质中传播速度$v$的比值。气体的折射率非常接近于1，与密度的关系可以由格拉德斯通−戴尔（Gladstone-Dale）公式（$n = 1 - G\rho $，$\;\rho $为气体密度，$G$为格拉德斯通－戴尔常数）表征^[1]。 由理想气体状态方程可知，$\;\rho $是温度和压力的函数，而$G$是光线波长和气体组分的函数。在给定光线波长条件下，气体温度、组分、压力的变化均会改变其折射率。 因此气体流场自身的折射率分布往往极不均匀，且随时间变化快速。根据折射定律，当光线在非均匀气体折射率环境中传播时会发生偏折现象。以图1所示的非均匀折射气体环境为例，光线从A点传播到B点所途径的路径如黑色实线所示。

根据费马定律，对光传播路径的光程取极值，数学表示为：

式中：${{{\textit{δ}}}}$为变分符号；$s$为光线传播的轨迹。

图  1  非均匀折射率环境下光线的传播路径示意图：图中x和x' 分别对应其到达背景屏的位置、${\boldsymbol{J}}^{\rm{in}} $和$ {\boldsymbol{J}}^{\rm{out}}$分别对应入射和出射的光线方向矢量

Fig.  1  Schematic of light ray propagation within a non-uniform refractive index gas environment: x and x' corresponds to the location the rays arrive, ${\boldsymbol{J}}^{\rm{in}} $ and ${\boldsymbol{J}}^{\rm{out}} $ are the direction vector related to the incident and emergent light rays

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定义拉格朗日算子并利用欧拉−拉格朗日方程，易得用矢量形式表达的非均匀介质中光线传播方程为^[2] ：

式中：加粗符号表示矢量，${\boldsymbol{r}} $为光程上任一点的矢量坐标。该方程通常重新分解为如下的一阶方程组系统：

式中： ${\boldsymbol{J}} $为当地的光线方向矢量，气体环境下通常将${\boldsymbol{J}} $设置为单位矢量。光线的偏折角定义为：

式中：$\varepsilon $为光线偏折角。上述控制方程是纹影类方法的数学基础。

1   背景纹影

1.1   原理及早期发展

纹影效应（Schlieren）刻画光的偏折，指的是透明介质中肉眼常不可见的非均匀折射现象。纹影测量的核心在于采用不同的光路布置来描述公式（4）中的偏折角。例如，刀片式纹影法利用感光面上的明暗变化来表征垂直于刀片方向的偏折角大小。背景纹影技术（background oriented Schlieren， BOS）由Dalziel^[3]、Richard^[4]与Meier^[5]等在2000年左右分别独立提出，其核心思想在于用背景图案的位移来刻画光线的偏折。以二维BOS为例（图2），非均匀折射率的出现导致背景图案成像位置发生了$\varDelta $的位移。

图  2  BOS测量时光线偏折与背景位移关系示意图，选自文献[6]图1

Fig.  2  Relation between light deflection and background displacement in BOS method, reprinted from [6] Fig. 1

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若采用近光轴假设，并假设相位物体的尺寸相较其与背景板之间的距离可忽略，可近似建立偏折角$\varepsilon $与背景图案位移$\varDelta$之间的关系：

式中：$\varDelta$和相机成像面上的图案位移$\varDelta '$可通过放大倍率$M$联系在一起，其表达式为：

式中：${Z_{\rm{i}}}$、${Z_{\rm{a}}}$、${Z_{\rm{d}}}$的尺寸如图2所示，可通过几何测量与透镜公式得到；其中，${Z_{\rm{i}}}$为透镜到成像面间的距离，${Z_{\rm{d}}}$为相位物体中心距离背景板的距离，${Z_{\rm{a}}}$为相位物体距离透镜的距离。背景图案位移$\varDelta $常采用随机点阵配合互相关算法来计算，再结合公式（5）便可得到相应的偏折角，最后通过求解公式（4）得到折射率分布。以二维情况为例，在近光轴假设下设相位物体的厚度为$W$，则公式（4）可简化为：

该方程组的求解存在数据冗余。在最小二乘意义下，常通过求解泊松方程来实现：

在得到$n$之后，可以通过洛伦兹–洛伦茨公式建立折射率与密度之间的关系^[1]：

式中：$N$为体积分子数，$ {\alpha _{\rm{m}}} $为分子极化率。在常见的气体环境中，$n$非常接近1，公式（9）可进一步简化为前述的格拉斯通–戴尔公式。

以二维BOS为例，其典型的求解流程总结如下：1）设计合适的背景图案并完成光路布置；2）分别拍摄有无相位物体时的背景图案；3）采用位移预估算法计算相位物体造成的背景图案移动，得到二维位移矢量分布；4）求解泊松方程得到二维折射率分布；5）利用格拉斯通–戴尔公式获得密度分布。具体流程如图3所示：

图  3  二维BOS的典型求解流程图

Fig.  3  A typical flow chart for solving a two-dimensional BOS problem

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BOS与经典的刀片纹影、彩虹纹影、光学干涉仪等经典折射率测量方法相比较的研究较多^[7–10]，感兴趣的读者可以参考相关文献获得对比的细节。目前BOS方法公认的主要优点是光路布置简单、标定方便、视窗不受光学器件尺寸限制。相关研究文献呈逐年递增的趋势（图4）。

图  4  BOS相关研究的逐年SCI发表数量

Fig.  4  Yearly SCI publication number related to BOS

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目前BOS领域已有2篇重要的英文综述文献，分别由Raffel^[11]于2015年发表在Experiments in Fluids上和Settles等^[12]于2017年发表在Measurement Science and Technology上，前者论述BOS基础理论与其在复杂流动中的应用，后者介绍BOS软硬件方面的进展。2017年后，BOS相关文章发表数量仍持续增长，涌现出了一大批原创性的研究，其发表的具体期刊分布如图5所示。

从发表刊物看，大多数BOS相关研究发表在上述2个偏技术研究的期刊上。值得注意的是，BOS正在向超音速、燃烧和等离子体等复杂流动领域的应用拓展。以LAVISION为代表的流动测量商业公司已成功推出了BOS的二维、轴对称、及三维密度/温度场测量解决方案^[13]，这将大大加速BOS在实际工程领域中的应用。下面将从方法创新与复杂流动应用两个角度，介绍2017年以来的BOS研究。

图  5  2017年以来BOS相关研究所发表的期刊情况

Fig.  5  The journal categorization on BOS research since 2017

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1.2   系统关键指标

1.2.1   空间分辨率

BOS系统的空间分辨率由3个部分组成：

1）单点失焦分辨率。由于BOS测量时相机聚焦于背景板上，导致相位物体所在的空间位置实际处于失焦状态而给分辨率带来了限制。 Raffel 等人首先考虑了成像面上理想单点所对应的失焦尺寸^[4,11]。

2）模糊圈失焦分辨率。实际成像由于光学成像系统的限制，成像点往往是一个模糊圈。考虑模糊圈大小后的失焦表达式由Gojani 等给出^[14]：

式中：${f_\# }$为光圈值；如图6所示；${M_{{\rm{div}}}}$代表向心镜头的放大倍率；$\delta $为模糊斑大小；$\dfrac{{{M_{{\rm{div}}}}}}{{{M_{{\rm{div}}}} + 1}}\dfrac{{{Z_{\rm{d}}}}}{{{f_\# }}}$代表成像面上理想点源所对应的失焦模糊斑大小；$\dfrac{\delta }{{{M_{{\rm{div}}}}}}\left( {1 - \dfrac{{{Z_{\rm{d}}}}}{{{Z_{\rm{d}}} + {Z_{\rm{a}}}}}} \right)$则考虑了实际模糊圈对失焦分辨率的影响。

图  6  BOS物理分辨率示意图

Fig.  6  Schematic demonstrating the physical resolution of a BOS system

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假设理想镜头，$\delta $主要由衍射极限的大小决定，其表达式为：

式中：$f$为镜头的焦距，${d_{\rm{a}}}$为光圈直径，$\lambda $为光线波长。公式（10）所得到的分辨率由BOS硬件参数决定，是BOS测量所能达到的分辨率极限。为提高该极限，常进行经验性的硬件参数组合，例如采用小光圈、相位物体尽量靠近背景等方式。

3）算法分辨率。除开硬件分辨率限制，BOS所采用的背景图案位移预估算法会给BOS的空间分辨率带来新的限制。例如，经典的互相关算法常需要采用数十个像素大小的查询窗。

1.2.2   灵敏度

BOS实际测量中，背景图案的移动幅度通常较小（常常是亚像素范围内），因此需要提高BOS测量的灵敏度以改进信噪比。BOS的灵敏度$S$可定义为光线偏折角$\varepsilon $与背景图案位移$\varDelta$的比值：

该公式的推导用到了$\varDelta = \varepsilon M{Z_{\rm{d}}}$的关系。Goldhahn等^[15]首先估计了灵敏度、镜头焦距与系统尺寸的关系，认为镜头焦距越大则灵敏度越高，BOS系统的整体尺寸对灵敏度影响较小。Gojani等^[14]则认为采用大焦距镜头来提高敏感度，本质上是增加了 M 。所以只要能提高 M，即使镜头焦距较小也是可行的。Lang等^[16]在进行相关推导时，认为对于给定的相位物体与相机型号，放大倍率应该是一个定值，即存在如下的关系：

式中：$ {M_{{\rm{PO}}}} $ 为针对特定的相位物体采用的恒定的放大倍率。进一步代入位移表达式可得：

若考虑 $\alpha = \dfrac{{{Z_{\rm{a}}}}}{{{Z_{\rm{a}}} + {Z_{\rm{d}}}}}$，则上式可化简为：

易见$\alpha = 0.5$时对应的BOS灵敏度最大，且BOS平台尺寸要越大越好。该推导给出了最大灵敏度的必要条件，也成为BOS实验布置的重要参考。

1.2.3   测量精度

折射率测量值与真值（ground truth）之间的差异表征了BOS测量的精度，该精度受到的影响因素较多。以二维BOS为例，光路搭建方式、位移预估算法精度与噪声、泊松方程的求解策略、近光轴假设和近场假设等均会影响BOS的测量精度，具体研究将在后面详细介绍，本小节重点介绍如何刻画BOS的精度。

早期BOS精度相关的研究常建立在与实验结果的比较上，例如将BOS所测的温度与其他测量方法（例如热电偶）所得结果直接比较来证明其准确性。这种比较虽可定性确定BOS测量的准确程度，但其对照实验测量方法自身存在不确定性，且误差的详细来源难以确定。为解决这些困难，Xiong等^[17]设计了从背景位移预估、泊松方程求解、轴对称三维反演等各个步骤均存在解析表达式的BOS射流合成实验，可精确刻画BOS各个步骤的误差。对于更为一般的三维流动，难以获得各个BOS步骤的解析解，此时需要更加通用的合成实验方法。Elsinga等^[7]最早利用光线追踪模拟了Prandtl-Meyer膨胀波偏折下的BOS背景散点图片，比较了合成实验计算所得的密度场与解析密度场的差别。Rajendran等^[18]建立了可支持相机成像模型、复杂透镜组合和粒子光线散射模型的高精度光线追踪模拟平台，利用该平台可以方便地刻画BOS实验各步骤的误差。

图7中详细列出了模拟密度场、模拟密度梯度场、理论上BOS所能探测的背景位移，以及实际光线追踪所得到的背景位移。Amjad等^[19]同样通过基于光线追踪的合成实验发现，层析BOS测量失焦造成的分辨率下降是测量误差最主要的来源。以上基于实验比较、解析合成实验、光线追踪与数值模拟合成实验3种思路，是刻画BOS测量精度的主要方法。

图  7  BOS基于光线追踪与直接数值模拟的合成实验结果：从密度到背景位移，选自文献[18]图6

Fig.  7  Synthetic experiments based on ray-tracing and direct numerical simulation （DNS）: from density to displacement field, reprinted from [18] Fig. 6

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2   BOS方法研究

BOS实验可大致分为硬件搭建、背景位移预估与折射率重构3大模块，近年来的BOS方法研究也将依据这3个模块来分别进行介绍。

2.1   硬件搭建

2.1.1   远心背景纹影（Telecentric BOS）

由于传统向心BOS在研究二维流动时，光线沿程折射率是非二维的，导致二维简化带来较大的误差。远心BOS的概念由Elsinga等^[7]首先提出，通过将向心镜头替换为远心镜头可仅保留平行主轴的部分光线。如图8所示，最简单的远心镜头由2片凸透镜组成，透镜间距为其焦距${f_1}$与${f_2}$之和。Ota等^[20]意识到采用远心镜头可获得更大的景深，从而提高BOS的分辨率，其失焦尺寸$ {d_{\rm{i}}} $的表达式为：

图  8  二维远心BOS的光路布置示意图

Fig.  8  Schematic of a two-dimensional telecentric BOS system

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式中：放大倍率$ {M_{{\rm{tele}}}} = {f_2}/{f_1} $，$ {\delta _{{\rm{tele}}}} $为成像模糊圈。其表达式为：

Cozzi等^[21-22]基于失焦表达式（16）进行参数优化分析，在其实验工况下发现光圈值为：

此时远心BOS系统可以取得最佳的物理分辨率。一方面，虽然远心BOS系统拥有更大的景深且对二维流动测量误差较小，但其相机感光面仅接收平行光，光强较向心BOS系统弱。另一方面，远心BOS系统视窗大小受镜头尺寸限制，失去了BOS大视窗的优势。

2.1.2   激光散斑背景纹影（Laser-speckle BOS）

为突破经典BOS灵敏度和分辨率极限，苏黎世联邦理工大学的Rosegen团队提出了激光散斑BOS测量系统^[23]。其思想是采用激光光源在成像面上形成相干图案，由于光学镜头光圈本身是相干图案形成的来源^[24]，干涉图案的特征尺寸仅由光圈大小决定。该特性显著区别于经典BOS，因此，相机可以聚焦在任何位置而非必须在背景板上，从而达到理想的灵敏度。该团队进一步提出了双通道散斑BOS测量技术，将入射激光通过全反射玻璃片入射至相位物体（图9（b）），这种布置的优点是相机可以完全聚焦在相位物体上，避免了BOS的失焦缺陷，同时可通过增加背景板到相位物体的距离来保持灵敏度。该布置自出现以来虽得到了一定的应用与拓展^[25]，但缺点是测量结果对相机与背景间的相对运动异常敏感，难以应用于恶劣的实验环境中。此外激光散斑BOS多采用互相关算法，询问窗带来的算法分辨率抵消了该系统无失焦带来的分辨率优势。

图  9  激光散斑BOS技术的设置示意图，选自文献[23]图2与图5

Fig.  9  Schematic of Laser-speckle BOS, reprinted from [23] Fig. 2 and 5

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2.1.3   散斑导向背景纹影 （Speckle beam-oriented BOS）

散斑导向背景纹影技术也是基于激光生成散斑背景图案，但无论是光路设置还是工作原理均与前述激光散斑背景纹影不同。散斑导向BOS方法的出现是为了解决经典BOS方法的2个困难: 一是在研究非定常流动时背景图案在短快门时间内光强不够；二是BOS作为一种沿程积分方法，光线发生偏转的具体沿程位置并不可知。为解决第一个困难，Nakamura等^[26]提出将激光散斑直接穿过相位物体投射到相机感光面上，采用了如图10（a）所示的光路搭建方式。其干涉图像通过将覆盖了全息扩散片的光圈放置在入射激光后来实现。通过确保光圈处于凸透镜的焦距处，全息图案会以平行光的形式穿过相位物体并被感光面记录。激光由于没有经过背景板的散射而保持了极高的光强，可支持极短的曝光时间。为进一步得到相位物体的具体位置，其在原有光路基础上可采用分光镜再引入一套成像系统，形成另外的聚焦面（图10（b）），通过位移物体在2套成像系统中的位移差和聚焦面间的距离可推导出相位物体的具体位置。

图  10  散斑导向背景纹影系统的设置示意图，选自文献[26]图3与图4

Fig.  10  Schematic of speckle beam-oriented BOS, reprinted from [26] Fig. 3 and 4

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2.2   背景位移估计

BOS方法的核心在于设计合适的背景图案并采用与之匹配的高精度算法，从而预估非均匀折射率造成的光线偏折。德国宇航中心的Raffel团队在PIV领域具有深厚的技术积累^[27]，因此在早期构思BOS时直接采用了PIV领域成熟的随机点阵图案与互相关算法来预估位移大小^[4,28]。截至目前，该图案算法组合在BOS领域的应用最为广泛。在充分优化随机点阵的基础上，结合基于图像变形的多重网格迭代算法^[29]与相关函数域的三点高斯拟合技术^[30]，互相关算法可预测低至0.1像素的位移，获得优于传统纹影法的测量动态范围。随机点阵与互相关算法的组合研究已较为成熟，对如何选择随机点大小、密度、查询窗大小等参数已有充分的研究基础，但互相关算法需要采用较大查询窗来保证足够的信噪比，限制了算法的空间分辨率^[31]。此外，其多重网格迭代算法也较为耗时。因此自BOS方法出现以来，改进背景图案与匹配算法一直是BOS研究的热点领域，下面介绍近年来该领域所取得的重要进展。

2.2.1   背景复用法

经典BOS方法采用的互相关算法的查询窗越大，其对相关函数峰值探测的信噪比越高，可降低位移估算的不确定性。背景复用是指针对同一流动工况，基于不同的背景图案来反复进行位移预估，最后对所得的多个位移场来进行系综平均以抑制算法噪声。该方法可在不牺牲算法分辨率的前提下提高测量的信噪比。Leopold等^[20,32–34]最早提出了色彩背景纹影（CBOS）的概念并进行了一系列的后续改进。如图11所示，CBOS的基本思想是为随机点阵附加色彩信息，根据随机点阵色彩与组合方式将其划分为8组。通过对每组图案进行互相关计算得到多组包含真值与随机噪声的位移量，最后通过对多组位移进行系综平均来降低位移预估中的随机噪声。CBOS可基于同一个背景图案完成背景复用，布置上虽较为简单，但需同一查询窗内包含足够数量的各色随机点，付出了空间分辨率的代价。Cozzi等^[22]提出强化BOS方法，通过采用多个对称且存在相对移动的参考背景，同样对所得位移场累加来抑制位移噪声。Gardner等^[35]也采用了类似Cozzi等人的思路来搭建其暗影测量技术。移动背景图案会增加硬件设置的复杂度，可通过采用高清显示器来方便地完成背景图案变换^[36-37]。受限于显示器的刷新率，该方案通常只能用于恒定流动的研究。需要注意的是，背景复用的思想也可拓展到互相关算法外的其他位移预估算法。

图  11  色彩BOS所采用的8组背景图案，选自文献[32]图4

Fig.  11  Eight groups of dot patterns adopted by colored BOS, reprinted from [32] Fig. 4

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2.2.2   光流法（Optical flow）

光流法基于光照亮度不变与位移矢量平滑的假设构建目标函数，通常结合多尺度迭代算法对该函数进行变分求解以获得背景位移。对比互相关算法，光流法的优点在于可取得像素级的算法分辨率，并且理论上可匹配随机点阵、小波、梯度等多种不同的背景图案。在BOS测量中，由于背景图案及光照亮度均可控，所以较适合采用光流法求解。光流法主要存在2个缺点：首先，每个像素存在2个速度矢量，方程求解不封闭而需要引入适当的正则化条件（如解的平滑性）来封闭求解；其次，难以找到平顺与过度拟合之间的平衡，依赖于正则化系数的经验性选择。Atcheson等^[38]率先在BOS背景位移预估时引入光流算法来替代互相关算法，测试了3种常见的光流算法：基于梯度的Lucas-Kanade算法^[39]、Horn-Schunck算法^[40]和基于变分的Brox算法^[41]。结果表明：光流法结合小波多尺度背景图案，可获得精度和分辨率都优于互相关算法的位移预估结果。图12为常见的多尺度小波背景图案的各个尺度分量、组合复合图案及其频谱空间的分布。 Letelier等^[42]将基于变分的全总差光流法应用于Rayleigh-Benard对流的研究，取得了优异的降噪与界面保持特性。Schmidt等^[43]将基于小波分析的光流法应用到了BOS位移估计中，比传统光流法的未知量减少了1/4而无需显示正则条件，且精度与分辨率更优。中北大学的刘宾团队^[44]也提出了小波分析光流法与传统光流法的混合算法，取得了较好的位移预估结果。

图  12  与多尺度、多分辨光流法匹配的多尺度小波背景图案，选自文献[38]图1

Fig.  12  Multi-scale wavelet background pattern compatible with the multi-scale optical flow algorithm, reprinted from [38] Fig. 1

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2.2.3   点追踪算法（Particle tracking）

BOS测量的背景位移通常较小，而粒子追踪算法特别适合于小位移的测量，因而Rajendran等^[45]提出在现有点追踪方法^[46]基础上，进一步利用互相关结果来矫正点追踪得到的背景位移（图13）。结果显示相比于互相关算法，该点追踪算法提高了空间分辨率、抗噪能力、位移精度、动态范围等多个指标，适合应用于有强折射率梯度的流动。Rajendran等^[47]还进一步从理论上分析了折射率梯度给点追踪方法中质心位置预测带来的不确定性。Barinov^[48]充分考虑了强折射率变化情况下背景成像的散射现象，提出了一种简单可操作的点追踪算法并证明了其有效性。

图  13  利用互相关算法矫正的点追踪位移预估方法流程图，选自文献[46]图1

Fig.  13  Flow chart of particle tracking methods with cross-correlation correction, reprinted from [46] Fig. 1

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2.2.4   调制解调类算法

互相关或者光流算法往往因需要进行多尺度的反复迭代求解而较为耗时。同时，这些算法获得高精度的亚像素位移较为困难，例如互相关算法的亚像素位移精度为0.1像素，而光流法在预测亚像素位移时难以确定光滑性与过度拟合间的平衡，需要根据经验来调节正则化系数。Wildeman^[49]首次提出了利用交错正弦图案与快速傅里叶解调的思路，克服了上述方法在亚像素位移预测精度与算法耗时上的缺点（图14）。其基本思路是依据二维周期性图案来设计背景，得到背景图案二维亮度${I_0}$的表达式为：

图  14  基于二维周期背景调制的扰动解调，选自文献[49]图2

Fig.  14  Demodulation of perturbations in the framework of two-dimensional periodic background, reprinted from [49] Fig. 2

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式中：展开系数 $a（m，n） = {a^*}（ - m，- n）$，$ {{\boldsymbol{k}}_1} $和$ {{\boldsymbol{k}}_2} $代表了2个方向上最小亚图片单位的空间频率。若相位物体造成了${\boldsymbol{u}}（{\boldsymbol{{{r}}}}）$的位移场，则新的图案亮度$I$表达式为：

显然，位移场${\boldsymbol{u}}（{{\boldsymbol{{r}}}}）$的出现对组成图案每个谐波相位都进行了调制。对某个谐波分量的提取可通过对傅里叶空间的滤波来实现：

位移场也可直接对滤波后的分量计算得到：

该方法数学上设计巧妙，主要限制是最小位移扰动尺度不能太小，并且高阶信号也不能在频域重叠，否则会干扰重构精度。

国内南京理工大学的宋旸团队^[50]设计了同时基于余弦点阵和HSV空间的二维色彩调制的背景纹影图案。其色彩调制是基于在传统结构光调制技术中的De Bruijn准则，估算追踪流动造成的背景位移可通过简单追踪余弦点阵的局部亮度峰值来实现。

2.2.5   条纹背景算法

激光干涉仪的发展催生了针对干涉条纹位移的精确算法。因此，激光干涉层析领域的有限条带分析（finite-fringe analysis）技术也被用于了BOS背景的位移估算。Ota等^[51]首次设计了由红绿条带组成的网格状图案（图15），其中绿色条带用于获得垂直方向的位移，红色条带用于获得水平方向的位移。Ota等^[52]发现与背景复用类的CBOS技术比较，该方法可以取得的分辨率。为了更好地抑制算法噪声并提高计算效率，Ramaiah等^[53]基于衍射光学元件和激光来直接产生条纹背景，配合GPU快速解调算法，可实现位移快速估算。南京理工大学宋旸团队^[54]也提出了基于色带图案的三步相位平移算法。通过RGB调制颜色得到3张包含不同相位色带的图案，位移矢量通过比对相同点的不同相位来获得。

图  15  色彩条带BOS方法所采用的双色条纹背景图案，选自文献[51]图5、6和7

Fig.  15  Grid pattern adopted by color-grid BOS, reprinted from [51] Fig. 5, 6, and 7

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2.2.6   小结

以光流法为代表的背景位移预估算法可显著改善算法分辨率，但BOS方法还受限于物理分辨率。理论上算法窗不应该小于BOS的物理空间分辨率，Lang等^[16]在其研究中就发现，如果算法分辨率小于BOS物理空间分辨率，折射率测量精度并不能得到进一步的提升。这也意味着目前单纯以提高算法分辨率为目标的算法设计需要同时配合物理分辨率的提高来优化BOS测量的整体分辨率。

2.3   重构折射率场

2.3.1   虚假位移矫正

背景位移预估算法得到的位移矢量包含3个部分：1）相位物体扰动导致的背景位移，这部分是真值信号，需要精确测量；2）算法噪声导致的虚假位移，一般在空间上呈随机分布；3）实验环境干扰导致的位移噪声，一般在空间上呈方向性与特定结构。在2.2小节中已介绍了较多对随机位移噪声进行抑制的方法。为了描述定向位移噪声的影响，Xiong等^[6]进行了简单的一维类比，即假定空间尺度为$L$的一维背景位移分布$ \partial n/\partial x=\epsilon $，给定区域起始位置的折射率${n_0}$，则区域另一侧的折射率为：

可见${n_{{\rm{end}}}}$不仅依赖$ \epsilon $，还依赖区域长度$l$。随机噪声在沿长度积分时会相互抵消，但存在一定空间结构的定向噪声会随着积分区域的增大而增强其影响。在恶劣的实验环境中（例如风洞环境），求解区域更是需要越小越好，以此抑制定向噪声的积累。此外，Tokgoz等^[55]还采用了包裹光路的方式排除光线沿程的密度扰动。Venkatakrishnan等^[56]为了排除机械震动造成的定向位移噪声，针对恒定流动采用了长曝光时间的策略。Xiong等^[6]发展了BOS虚假位移的系统性评估框架，发现高速BOS测量中高速相机会导致不同时间尺度的定向虚假位移，并发展了双光路消噪方法来对其进行消除（图16）。在难以布置双光路消噪的实验环境下，Weilenmann等^[57]利用高速背景图片时间序列的平均作为参考背景以抑制定向噪声，成功分辨振荡幅度低至5 K的温度波动。

图  16  双光路消噪提升背景位移测量的信噪比，选自文献[6]图11

Fig.  16  Rising the signal-to-noise ratio based on the dual-path strategy, reprinted from [6] Fig. 11

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2.3.2   BOS偏转角矫正

BOS测量中将背景位移转化为偏转角时，其计算常采用公式（5），但使用该公式有2个前提：1）近光轴假设，即假设光线与主光轴的夹角较小可忽略；2）相位物体的厚度较其距离背景板的距离可忽略。对许多实际应用，特别是受限空间内的流动测量，近光轴假设误差较大并且相位物体的厚度不可忽略，此时需要对位移–偏转角公式进行适当修正。针对近光轴假设带来的误差，Elsinga等^[7]提出了基于纹影模式的BOS方法，即采用透镜来得到平行于主光轴的光线，强制满足近光轴假设。Goldhahn等^[15]则直接给出了考虑光线偏离主光轴情形时的折射角几何表达关系；针对相位物体厚度不可忽略的情况，Hinsberg等^[58]首先以轴对称流动为例，在传统偏转角公式中引入了修正因子，并且基于轴对称流动推导了该修正因子的表达式：

式中：${m_0}$是相位物体到透镜之间的距离，其他参数含义参考图17。国防科技大学的易仕和团队^[59]在Hinsberg等的近场修正基础上进行了近场波前的精确测量。为了应对更加普遍的近场三维折射率的重构，Hashimoto等^[60]在近壁测量中，通过对代数重构层析的投影矩阵系数进行矫正，将近场效应吸收到新的投影矩阵中。

图  17  推导偏转角修正因子所采用的变密度轴对称射流示意图，选自文献[58]图2

Fig.  17  Schematic of an axisymmetric flow used for driving the correction factor for near-field deflection angle, reprinted from [58] Fig. 2

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2.3.3   二维折射率求解

早期二维流动的折射率求解常采用直接积分来求解公式（7），但沿线噪声较大^[4]，更常用的方法是直接求解如公式（8）所示的泊松方程。求解泊松方程时设置合适的边界条件极为重要，通常在区域边界上给定折射率的值，即采用狄利克雷边界条件。Xiong等^[6]发现在BOS测量中存在虚假位移时，狄利克雷边界不适用，而应采用纽曼边界条件求解。为满足泊松方程与边界条件的自洽性，需额外引入一个极小的源项矫正。泊松方程常使用二阶中心差分或者二阶有限体积离散求解，上海交通大学的刘洪团队^[61]采用四阶高精度差分格式减小了求解误差。Rajendran等^[47]在折射率求解方法上进行创新，考虑了位移预估的确定性（折射率梯度大对应位移预估不确定性高），建立了不确定性从位移预估传递到密度重构的全流程分析框架。该研究小组基于该分析框架，进一步发展了考虑密度梯度不确定性的权重积分方法（weighted least square），通过将不确定信息的协方差矩阵添加到密度求解过程中，可将随机误差在求解传播过程中减少80%，过程示意如图18所示。

图  18  考虑了密度梯度不确定性权重的最小二乘积分求解法，选自文献[47]封面页

Fig.  18  Weighted least square integration methods based on the uncertainty of density gradient, reprinted from [47] cover

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2.3.4   轴对称折射率求解

轴对称流动是常见的特殊三维流动，Wong和Kirmse等人早在2000年便在非公开发表文献中提出了BOS的轴对称重构方法。随后Venkatakrishnan等^[56]率先提出可以先求解泊松方程得到沿线程积分的折射率场，然后用FBP（Filtered Back Projection）反演来得到二维密度场，以避免Abel反演带来的算法奇点与噪声敏感性。Goldhahn等^[15]认为泊松方程的求解没有必要，可将位移矢量直接输入FBP得到二维折射率分布。为减少FBP带来的计算负担，Tan等^[62]基于傅里叶变换的AFH （Abel Fourier-Hankel）算法有效降低了算法噪声与截断误差，且不需要求解泊松方程。Xiong等^[17]在2020年回顾了现有轴对称BOS算法，将求解思路划分为直接求解与间接求解两大类，如图19所示；基于AFH反演算法，直接比较了直接与间接求解思路，发现间接求解可极大地消除随机误差带来的影响；通过在间接求解框架内进一步比较剥洋葱、三点Abel，FBP和AFH 4种方法，发现不同于传统观点，三点Abel反演得出了存在噪声时轴对称折射率重构最佳结果。

图  19  轴对称BOS的直接与间接求解思路示意图，选自文献[17]图2

Fig.  19  Direct and indirect approach for axisymmetric flows with BOS, reprinted from [17] Fig. 2

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Ohno等^[63]通过假设极小光线偏转角与近光轴近似，提出了一种基于标量势场的轴对称流动反演方法，定义了如下的标量势函数：

其与偏折角的关系仍然满足泊松方程：

标量势可通过经典的Abel反演等方法求解, 然后通过公式（26）反推得到折射率场。

2.3.5   三维折射率求解

针对更一般的三维变密度流动，常采用基于多投影的层析重构算法来得到其密度场。近年来基于光场相机BOS技术的出现，使得单视角体成像成为可能^[64-65]。但由于其使用范围仍比较有限，本文仍重点介绍基于多投影层析重构的三维BOS测量技术。下面将从层析重构算法及其优化2个方面来介绍其进展。

1）层析重构算法

BOS的层析重构求解通常分为2步，首先是利用多个角度的背景位移信息来重构三维折射率梯度场，然后求解三维泊松方程获得三维折射率分布。层析重构算法的早期代表是解析方法FBP。FBP方法基于平行投影假定和投影切面理论：若对二维非均匀场进行傅里叶变换，则在频域空间取角度为$\theta $的切线密度，等同于对物理空间角度为$\theta $的投影分布做一维傅里叶变换，如图20所示。

图  20  FBP原理示意图

Fig.  20  Schematic for FBP principles

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FBP理论上可以精确重构三维密度场，但对投影数量要求极高，否则重构精度将受到严重影响。因此FBT常用于轴对称或恒定流动工况，此时可采用单个相机获得多个投影面信息^{[32, 56, 66-67]}。此外，为矫正极坐标系下的采样不均匀性，FBP需要引入依赖经验参数的滤波方式来平衡细节捕捉与噪声抑制。

BOS测量时投影面受限于背景板布置空间，数量一般较为有限。此时FBP重构误差较大，代数迭代重构方法ART更加适合处理有限投影面的情况，因而在BOS三维重构中得到了广泛应用。ART的基本思想是通过迭代算法来求解基于光线传播的离散线性方程组，其具体步骤如下：假设有$K$个二维背景位移，每个位移面上的分辨率为$I \times J$，此时其中一条光线所对应的偏折角公式可写为：

式中：$u$代表（$x，y，z$）3个方向。将折射率梯度在目标空间离散为大小均匀的三维体素（$N{\rm{ = }}{N_x}{N_y}{N_z}$），假设光线沿直线传播并服从近光轴假设，则可通过相机标定来确定该光线在离散体素中的轨迹，如图21所示。

图  21  BOS层析重构离散空间的光线传播示意图，选自文献[68]图2

Fig.  21  Ray tracing in the discrete voxel space with tomographic BOS, reprinted from [68] Fig. 2

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将连续的折射率梯度在目标体积内用如下的基函数进行离散：

式中：$\phi $是离散的基函数，通常取为阶跃常数分布。公式（28）可表示为：

采用矩阵形式表达，公式（30）可写为：

式中：$\overline {{{\boldsymbol{S}}}} = \displaystyle\int_{{\rm{ray }}} {{\phi _q}} {\rm{d}}s$ 为层析重构投影矩阵，具体表达形式依赖于基函数$\phi $的选择。$\phi $通常为阶跃常数或线性对称分布，以保证$\overline {{{\boldsymbol{S}}}}$是稀疏矩阵以便于求解。当$\phi $为阶跃常数分布时，该积分$\overline {\boldsymbol{S}}$物理上代表了光线在体素中所经历的轨迹长度。该方程可以进一步写成经典的线性矩阵${\boldsymbol{A}}x = {\boldsymbol{B}}$。对式（31）进行迭代求解便可得到折射率梯度的三维分布。公式（31）中的$ \overline {\boldsymbol{S}} $矩阵通常是病态的，需加入显示正则条件或采用隐式迭代方法来获得收敛解。Atcheson和Ihrke^[69]率先基于ART的层析BOS测量了热空气流动，其体素离散采用了线性对称分布的基函数，求解思路是先重构三维折射率梯度分布，再求解三维泊松方程来获得折射率。采用了共轭梯度算法配合空间支撑限制来抑制矩阵病态问题，同时在迭代求解收敛前便提前终止计算以防止噪声放大。事实上，大部分ART求解都依赖于类似的提前收敛标准来控制噪声的放大。Nicolas等^[68]于2016年首次提出了直接求解方法来避免求解三维泊松方程。其思路是在公式（31）的基础上，将折射率梯度的微分算子采用有限差分离散为矩阵${{{{{\boldsymbol{D}}}}}_u}$，再将${{{{\boldsymbol{D}}}}_u}$与层析投影矩阵$\overline {{{\boldsymbol{S}}}}$合并成为新矩阵${{{{\boldsymbol{A}}}}_u}$：

该思路可以避免求解泊松方程，提高了计算效率。随后Grauer等^[70]在Nicolas的工作基础上，提出了直接求解线性方程组的贝叶斯求解框架，整合了Tikhonov和全总差的先验信息。Hartman等^[71]提出了基函数为阶跃常数且基于ART与FBP的混合层析重构方法。利用FBP做初始值的猜测，可以让ART方法收敛到更加物理的解。同时，采用ART可以避免FBP的噪声与滤波问题。Grauer等^[72]随后在光流法的基础上推出了统一背景层析重构方法（unified BOS tomography），直接从背景图像变形来重构三维折射率场（图22），避免了背景预估算法中经验参数选择带来的误差，同时可将求解方程数量减少2/3，大大提高了求解效率。

图  22  传统层析BOS重构与统一BOS重构的流程图比较，选自文献[72]图3

Fig.  22  Comparison of the solving flowcharts between classical tomographic BOS and unified tomographic BOS, reprinted from [72] Fig. 3

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2）重构优化

层析BOS需要多个视角的投影信息，因此其硬件布置策略，包括相机数量、相机分布与相机拍摄角度，是成功测量的另一关键。Nicolas等^[68]首先研究了相机数量和拍摄角度的影响，发现当流动存在主要方向时，将相机布置于垂直该流动主轴的平面能获得最佳结果。通过变化相机数量，发现硬件上容易实现且精度可接受的相机数量约为12个。Lang等^[16]基于所研究流动的周期特性，采用单相机锁相技术，详细研究了相机数量和布置方式对ART层析重构精度的影响，发现为获得准确的重构结果，相机数量需要超过最低限度（10个）且以奇数为佳。此外，环绕位移物体的等距均匀分布方案比单侧布置得到的预测更准确，这是由于在向心BOS相机设置下，距离相机较近的相位物体被解析的光线密度更高。上海交通大学蔡伟伟团队^[73]研究了受限光学窗口情况下的层析重构相机布置策略，提出了基于最小化各视角相关性的优化布置策略。

2.4   方法比较

基于以上对背景纹影法的关键指标与详细实现步骤的理解，下面将背景纹影法、经典纹影类方法（刀片式纹影、彩色纹影等）和其他常见测温方法（激光诱导荧光LIF、可调谐二极管激光吸收光谱TDLAS、相干反斯托克斯拉曼散射CARS等）做一个详细比较，如表1所示。

表  1  BOS与其他光学类定量测密度/温度方法比较

Table  1  Comparison of BOS with other optical methods for density/temperature measurements

	背景纹影	刀片式纹影	彩虹式纹影	Planar LIF	TDLAS	CARS
光路校准	简单	中等	中等	繁琐	简单	繁琐
测量信息	二维沿程	二维沿程	二维沿程	二维平面	一维沿程	单点
后处理算法	简单	简单	简单	中等	繁琐	繁琐
硬件要求	经济	经济	经济	昂贵	中等	昂贵
高维拓展	简单	困难	困难	困难	简单	困难
时间分辨率	高	高	高	高	高	低
恶劣环境下的鲁棒性	差	差	差	强	强	差
测量精度	中	中	中	高	高	高
空间分辨率	中	高	高	高

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3   背景纹影应用

3.1   超声速流动

先进的超声速飞行器是国家保持军事战略威慑的重器，是现代国防领域的关键。风洞实验在超声速飞行器型号研制中往往发挥关键作用。超声速流动的气体可压缩性效应十分明显并且伴随着强烈的气动热，因而非常适合采用BOS方法进行研究。事实上，对超声速流动的测量伴随着BOS方法的发展。表2总结了BOS方法在超声速领域的应用示例。

表  2  超声速流动中BOS方法的应用。

Table  2  Applications of BOS in super/hypersonic flows

研究者	马赫数	流动类型
Elsinga[7]	2.0	Prandtl-Meyer膨胀波
Fisher[9]	5.0	轴对称裙锥
Ota[20]	2.0	轴对称锥形钝体
Cozzi[21]	1.8	超声速欠膨胀射流
Sourgen[32]	2.0～3.0	突刺钝体
Rajendran[47]	2.5	轴对称锥形钝体
Ota[51]	2.0	非对称锥形钝体
Venkatakrishnan[56]	2.0	轴对称锥形钝体
Venkatakrishnan[66]	1.26～3.0	光学玻璃窗
Heineck[74]	1.02，1.08	超声速全尺寸战斗机
Tipnis[75]	1.223	不同喷嘴的超声速射流
Ota[76]	2.0	超声速横向射流
Ramanah[77]	6.3～10	钝体与MUSES-C返回舱
王成鹏团队[78]	2.7	吸气式高超飞行器
易仕和团队[79-81]	3.4～3.8，6.0	圆柱与椭圆锥

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超声速流动给BOS测量带来的最大挑战是散光效应（astigmatism effect，图23），该效应是指由于激波前后的密度梯度极大，原本聚焦的背景图案变得模糊，使得背景位移预估算法的误差增加，难以重构激波附近的密度分布。

图  23  激波的强密度梯度导致的散光效应，选自文献[82]图2

Fig.  23  Astigmatism effect resulted from the strong gradient cross the shock wavefront, reprinted from [82] Fig. 2

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Leopold等^[33]利用彩色BOS方法研究了马赫数为3.0时的突刺体绕流激波，采用了一种特殊的预先位移技术来准确还原模糊区的位移。但该方法依赖于对预先位移的准确选择，难以适用于普遍的复杂流动状况。Nicolas等^[82]针对更加一般的非定常超声速流动，通过对实验参数的经验性组合，利用测量系统灵敏度变化来降低激波散光效应的影响，取得了与经典刀片纹影法非常接近的结果（图24）。为应对散光效应带来的位移预估精度降低，Barinov^[48]发展了一种可应对存在模糊效应的简单位移预估算法，通过识别发生散光效应后的特征图案来增加精度。Luo等^[83]则采用了神经网络来重构存在模糊时的图像以抑制散光效应。

图  24  超声速欠膨胀射流的BOS与纹影比较，选自文献[82]图7

Fig.  24  Comparison between BOS and classical knife-edge Schlieren for supersonic under expansion jet, reprinted from[82] Fig. 7

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3.2   燃烧环境

温度决定了化学反应速率，是燃烧的核心物理参数之一。对燃烧温度场进行准确测量一直是燃烧领域的关键研究问题。除了侵入式方法（例如热电偶），最常利用的是激光测量方法如激光诱导荧光^[84]、可协调半导体激光吸收光谱法^[85]、相干反斯托克斯拉曼光谱法^[86]等。对于燃气轮机中广泛应用的贫燃预混火焰，组分变化带来的折射率扰动可忽略^[87]，因此仍可假设空气组分并建立折射率与密度之间的函数关系。Iffa等^[88]利用FBP反演测量了轴对称甲烷火焰的折射率并转化为温度场，结果与热电偶测量结果符合较好。Grauer等^[70]基于贝叶斯层析重构框架，采用Tikhonov和全总差先验，从合成实验与真实火焰实验2个方面，验证了其算法来重构非恒定湍流火焰折射率场的能力。浙江工业大学钟英杰团队^[89-90]采用光流法与Abel反演背景纹影技术测量了本生火焰的温度分布并将结果与热电偶比较，确认了BOS温度测量的合理性。上海交通大学刘洪团队^[61]基于随机点阵与互相关算法的BOS测量重构了火焰温度场，与实验结果吻较好合。上海交通大学蔡伟伟团队^[91]在研究火焰密度场时对比了3种不同的三维层析重构算法，发现相较于SIRT与Landweber算法，ART在重构取得的结果最好。为实现超高频测量且避免采用多个高速相机，蔡伟伟团队^[92]继续发展了基于内窥镜层析背景纹影技术，成功测量了非恒定火焰的折射率场。Weilenmann等^[93]采用高速BOS技术，研究了热声不稳定性发生时轴向分级燃烧室内第二级燃料注入对第二级火焰的调制作用（图25），为克服光学视窗在高温环境下的折射率变化导致的散光效应采用了最小光圈，同时为了降低热辐射对背景板的强热辐射效应，对背景板进行了水冷。

图  25  热声不稳定性发生时第二级燃料注入对火焰热释放率的影响，选自文献[93]图4

Fig.  25  Dynamics of the sequential fuel jet with the occurrence of thermoacoustics, reprinted from [93] Fig. 4

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3.3   等离子体流动

等离子体流动控制技术在复杂流动场景中有着非常广泛的应用。等离子体放电对流场的扰动可分为“动力效应”“热效应”和“冲击效应”^[94]。其中动力效应主要依赖离子风对流体动量方程的改变，而热效应与冲击效应依赖极等离子体热释放。冲击效应对应的热量注入时间极短，可产生激波。无论哪种情况，等离子体流动密度都随着组分场与温度场的变化而改变。经典的刀片式纹影常用于等离子体密度扰动的可视化，但难以定量分析^[95]。

近年来随着BOS的出现，越来越多的研究开始将BOS应用到等离子体特性的研究中。Jin等^[96]利用BOS研究了纳秒脉冲非平衡等离子体所产生的激波与密度场演化特征。 Blunck等^[97]也通过轴对称BOS测量研究了轴对称火花放电相关温度场的时空演化规律。华北电力大学耿江海团队^[98]利用轴对称BOS研究了长达1 m的热电弧等离子体的温度场演化规律，发现阳极放电通道是轴对称的，在放电通道直径达到4 cm时开始耗散。Komuro等^[99]采用BOS研究了交流介质阻挡放电带来的密度场扰动（图26），通过积分边界条件来求解存在密度突变时的泊松方程。Singh等^[100]利用BOS研究了纳秒脉冲火花放电，发现了针–针型电极驱动涡环流动掺混带来的冷却效应。Latit等^[101]利用BOS研究了纳秒表面脉冲放电，发现采用类似的涡环冷却模型可成功预测流动的长度与时间尺度。Kaneko等^[102]利用BOS研究了DBD等离子体驱动器，发现其预测的密度场在定性上是正确的，且进一步讨论了其误差来源。采用BOS通过折射率测量来得到等离子体流动密度也面临确定组分场的困难，难以将折射率简单地转化为密度或温度分布。

图  26  基于BOS与纹影研究归一化密度的时空演化特征，选自文献[99]图14

Fig.  26  Evolution of normalized density produced by DBD plasma revealed by BOS and Schlieren, reprinted from [99] Fig. 14

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4   结　论

BOS经过二十余年的发展，已从最初的新型可视化工具慢慢发展成为可进行三维、定量、高时空分辨的密度/温度测量技术，其软硬件发展日趋成熟，衍生出多种新的软硬件形式，可应用于不同的流动环境。BOS商业化解决方案的出现更是揭示了其在工业领域大规模应用的潜力。目前将BOS应用到不同学科中的研究正在大量涌现，利用BOS进行精确且高效的三维层析测量将可预见地成为接下来的重点发展方向。层析BOS测量与层析PIV、层析荧光测量等三维测量技术结合，将有望同时得到流动的三维密度、速度与组分场信息，实现流动结构的完全解析。