A review on flow field velocimetry based on high-speed schlieren/shadowgraph systems
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摘要: 本文对近年基于纹影/阴影成像的二维和三维速度场测量方法进行了综述，主要内容包括纹影成像的基本原理、硬件设备和测速算法的研究进展。在二维测速方面，介绍了纹影/阴影PIV算法、光流算法及改进算法的原理、适用场景以及优缺点。纹影特性改进光流测速算法可以实现高精度、高空间分辨率的速度场计算，适用范围相对较广。在三维粒子追踪测速方面，主要介绍了层析阴影成像、双视角平行光段阴影成像、双视角汇聚光段阴影成像三种系统的光路设置，并对各自采用的粒子重构和追踪算法进行了比较。双视角阴影成像系统的光路布置更为简洁，降低了对硬件设备的要求，在高速测量中更具优势。梳理了近年来三维粒子追踪测速算法的发展脉络，重点介绍了“先追踪–后重构”和“时间–空间耦合”的双视角三维粒子追踪测速算法。时间–空间耦合的三维粒子追踪测速算法充分利用了时间和空间信息，将时序信息引入立体匹配过程中，显著提升了双视角阴影成像系统在粒子图像密度较高时的重构正确率和追踪准确率，其整体性能优于多种人工智能算法。测速算法在上述方面取得的研究进展，结合短曝光、高帧频的图像采集优势，使得纹影/阴影成像成为一种新型的高帧频、高精度的速度测量技术，在复杂湍流及高瞬态流场实验研究中具有广泛的应用前景。Abstract: The 2-Dimensional （2D） and 3-Dimensional （3D） velocimetry based on schlieren/shadowgraph methods are reviewed in this article. The main content includes the basic optical setups and principles of schlieren and shadowgraph systems, as well as the velocimetry algorithms. For 2D measurement, there are mainly two types of velocimetry algorithms: one is cross-correlation algorithm adopted by PIV, while the other is the optical flow method. The basic formulas, advantages and limitations are introduced comparatively. A recent developed schlieren motion algorithm can provide high accuracy and dense estimation, which is promising and applicable in a wide range of applications. The 3D reconstruction and particle tracking algorithms highly rely on the systems. In this review, three different setups are introduced, including tomographic shadowgraphy, two-view collimated light path shadowgraphy and two-view converging path shadowgraphy. The two-view systems are more concise in setup, requiring less equipment, which are advantageous for high-speed measurements. The 3D particle tracking algorithms of two-view systems are introduced, while the main focus is placed on the image space-based tracking algorithms and the spatial-temporal tracking methods. The latter introduces the temporal predictions into the stereo matching process. The particle reconstruction and tracking correctness in dense particle situations is improved significantly by using the strongly coupled spatial and temporal constraints for optimisation. Its performance is superior to several artificial intelligence methods. The progress of the velocimetry algorithms, together with the imaging advantages of short exposure and high-frequency framing rate, has promoted schlieren/shadowgraph from conventional flow visualization to advanced velocimetry techniques, which can play a role for experimental study in a wide range of complex turbulent and transient flow conditions.
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0 引 言
流体运动作为自然界最为普遍的现象之一，广泛存在于流体力学、空气动力学、生命科学等各个领域。自1904年Prandtl通过水槽和手动叶轮，利用漂浮在水面上的云母粒子观察到稳定和不稳定流动现象以来，人类对流体运动现象的研究和探索就从未停止[1]。速度是流体运动最主要的特征参数之一，速度场的精确测量对于了解流场特性具有重要意义。随着计算机技术、数字图像处理技术、激光技术的快速发展以及新理论的不断提出，流场测速技术在过去几十年有了飞跃式发展，从接触式单点测量逐步发展为非接触式单点测量、二维及三维全流场测量[2]。目前常用的二维全流场测速技术主要分为两类：一类是以获得欧拉信息为主的粒子图像测速技术（Particle Image Velocimetry，PIV），另一类是以获得拉格朗日信息为主的粒子追踪测速技术（Particle Tracking Velocimetry，PTV）[3]。它们的基本原理是向流体中均匀布撒示踪粒子，利用脉冲激光照射流场，使得流场中的示踪粒子反射或荧光显示，采用相机同步捕获粒子图像，对粒子图像进行处理获得相应的速度场信息[1]。
对于复杂流动问题，二维测量技术难以揭示三维空间内的流动全貌。为突破限制，国内外学者对三维流场测量技术给予了高度关注。将二维PIV/PTV技术拓展至三维全流场测量的难点在于粒子深度方向的位置和速度的确定。近年来，随着光学新技术的发展，各国学者开发了多种基于激光设备的三维测速系统，在流场速度测量中进行了初步应用，如三维PTV（Three Dimensional PTV，3D-PTV）[4]、全息PIV（Holography PIV，HPIV）[5]、层析PIV/PTV（Tomographic PIV/PTV，Tomo-PIV/PTV）[6-7]和光场PIV（Light-field PIV）[8]等。值得注意的是，基于激光设备的测量技术，特别是高帧频的三维测量，需要昂贵且精密的硬件设备，从而限制了相关技术在复杂工程环境中的应用。
在激光测量技术盛行之前，纹影/阴影成像技术已广泛应用于流场可视化研究。早在17世纪，Hooke在研究光学非均匀介质时，首次提出了纹影成像的原型装置，将人的瞳孔作为刀口，通过光线密度变化即能看见蜡烛火焰的透明对流羽流[9]。1859年，Foucault[10]将刀口装置引入纹影技术，使得纹影可显示于屏幕，为纹影技术的发展做出了重要贡献。1864年，Draper[11]利用刀口纹影装置对手上升起的自然对流进行了显示。在同一时期，Toepler[12]设计了第一个实用纹影观察装置，对人体热羽流、马朗戈尼对流以及电火花产生的声波进行了可视化研究。随着实验物理学的发展，纹影技术很快被公认为一种有价值的实验工具，被广泛应用于科学研究[13]。纹影技术的诞生实现了透明流场可视化，推动了流动、燃烧等流场的研究。Mach与Salcher[14]进行了一系列纹影实验，首次揭示了超声速的奥秘，也显示了纹影技术在该领域的潜力。在与Mach共同工作期间，Dvořák[15]发明了一种简单的可视化技术，称之为“一种新的、简单的纹影观察形式”，Weinberg[16]将该技术命名为“阴影技术”。随后，纹影/阴影成像技术在全球物理实验室中日趋流行。2006年，Settles[13]在文献中详细说明了纹影/阴影成像技术的发展历程、成像原理、硬件构成及相关应用。国内从20世纪80年代开始应用纹影技术，南京理工大学冯天植[17]、北京空气动力研究所李素循研究团队[18]及中国空气动力研究与发展中心吴继飞[19]等利用纹影技术对超声速流动等进行了流场可视化研究，分析了不同测试环境条件下的流场内部复杂结构，如激波的产生，剪切涡旋的产生、脱落及发展过程等。
纹影/阴影成像技术对测试区域内的密度变化非常敏感，可以使用低成本光源实现微秒级曝光时间，且硬件布置简单易用。随着流场测试需求的增加以及数字图像处理技术的快速发展，利用纹影/阴影成像技术实现流场定量测量逐渐引起学者的关注。在纹影成像中，光线经过非均匀流场产生偏移，形成明暗相间的图像。若可定量测量光线偏移量，则可通过流体折射率推算流场密度和温度信息。1984年，Howes等[20-21]提出了彩虹纹影法，将传统纹影技术的刀口替换为颜色渐变的彩色滤光片，不同偏移量的光线通过滤光片后可以形成彩色的纹影图像。通过建立光线偏移量和颜色变化量之间的关系曲线，求得温度场分布[22]。蒋冠雷[23]（2012年）、吴文堂[24]（2014年）等利用彩虹纹影法研究了轴对称的自由射流，计算得出了流场的密度场分布信息。2021年，Fukunaga等[25]将彩虹纹影技术与计算机层析扫描技术相结合，研究了圆形拉瓦尔喷嘴的射流，定量阐明了沿射流中心线的流场密度分布情况。2008年，Alvarez-Herrera等[26]提出了定标纹影法，该方法基于传统纹影光路，按一定变化量调节刀口，得到图片灰度值变化与刀口切割量的定量关系，对测试区域内的温度场进行了定量重构；继而采用定标纹影法测量了加热平台上方产生的温度场，与热电偶测量结果对比，得出定标纹影法的测量误差为0.2 ℃，显示出良好的测量精度[27]。Meier等[28]提出了背景纹影技术，将PIV技术与传统纹影技术相结合，可实现对大视场流场的定量测量。2006年，Goldhahn等[29-30]应用背景纹影技术重构了风洞中直叶片下游的密度场，并将叶片下游50 mm处的密度分布与五孔楔形探针的测量结果进行对比，两者之间最大误差在4%以内。2015年，张俊等[31]利用背景纹影技术定量测量了火焰流场及射流流场的密度分布和温度分布，分析了背景纹影技术的系统灵敏度和空间分辨率。同年，孟晟等[32]将标准光度法与背景纹影技术相结合，对甲烷火焰燃烧的温度场进行测量，并将管口下游12.96 mm处的火焰温度曲线与细丝热电偶测量得到的温度曲线进行对比，温度曲线总体变化趋势互相吻合，但在高温区域和管口轴线附近误差较大（约为250 K）。2020年，Liu等[33]采用背景纹影层析系统，对非对称本生灯火焰的温度场进行了重构（温度范围约为300～1000 K），与K型热电偶测量结果对比，平均误差约为5.2%。
近年来，随着高速成像技术和图像处理算法的不断发展，有学者开始探索利用纹影/阴影系统测量流场速度的方法，并在高速二维和三维流场测速方面取得了重要进展。本文旨在综述近年提出的基于纹影/阴影成像技术的二维和三维流场测速方法。第1节介绍常见纹影/阴影系统硬件布置形式及成像原理；第2节阐述基于纹影/阴影成像技术进行二维流场测速的方法；第3节介绍采用三维纹影/阴影成像技术实现三维粒子空间位置重构和粒子追踪测速研究进展；第4节为总结及发展趋势展望。
1 纹影/阴影系统装置及成像原理
阴影系统是最简单的光学可视化系统之一，仅要求将均匀背景光线穿过透明介质进行成像；在此基础上，纹影系统使用刀口切割光线，增大成像的明暗对比度。纹影系统的光路可以通过如图1所示的简单双透镜装置说明：点光源位于透镜1的焦点，发出的光线经透镜1形成平行光路，穿过测试区域发生偏移；偏移光线经透镜2汇聚于焦点，被焦点处的刀口切割，在像平面上形成明暗相间的纹影图像。
当平行光路无扰动时，纹影/阴影系统像平面上均为背景亮度ISC；当测试区域介质存在折射率梯度时，光线发生偏移，在像平面上产生明暗变化。阴影图像灰度的变化反映了介质折射率二阶空间导数沿光路的积分。对于平行光路沿z轴方向布置的阴影系统，通过几何推导可以得到图像灰度与介质折射率二阶空间导数的关系[34]：
$$ \frac{{\Delta I}}{{{I_{{\rm{SC}}}}}} = - K\int \left({\frac{{{\partial ^2}n}}{{\partial {x^2}}}} + \frac{{{\partial ^2}n}}{{\partial {y^2}}}\right){\rm{d}}z $$ (1) 式中：ΔI为光路中的扰动在像平面上引起的灰度变化；K为与透镜焦距等系统参数有关的系数；n为介质折射率。
在纹影系统中，使用刀口对光线进行切割，提高了系统的灵敏度。纹影图像的灰度变化被认为是介质折射率一阶空间导数沿光路的积分[34]：
$$ \frac{{\Delta I}}{{{I_{{\rm{SC}}}}}} = \pm K\int \left({\frac{{\partial n}}{{\partial x}}} + \frac{{\partial n}}{{\partial y}}\right){\rm{d}}z $$ (2) 与阴影系统相比，纹影系统灵敏度更高，可以显示更多流场细节。相比而言，阴影系统更容易实现大视场成像，在超声速环境中，由于介质折射率变化强烈，可以更清晰地显示激波结构。
纹影系统的光源可采用钨丝灯、LED灯或者氙灯，一般通过光源、凸透镜和狭缝形成狭缝光源。由于大尺寸消色差透镜加工困难且价格昂贵，如图2所示的Z型双抛物面反射镜系统应用更为广泛。双抛物面镜对称、同轴放置，等同倾斜，以抵消离轴像差。狭缝光源于抛物面反射镜1的焦点处轻微离轴放置，发出的光线经反射形成平行光路穿过测试区域，再经由抛物面反射镜2反射汇聚，经刀口部分切割，形成纹影效果。
除了Z型双抛物面反射镜系统，还有学者提出了大尺寸纹影[35-37]、聚焦纹影[38-39]、背景纹影[40]、全息纹影[41]和彩色纹影[42]等改进系统以满足不同测试需求，在此不再详述。
2 二维纹影/阴影速度测量技术
基于二维纹影/阴影图像的测速方法可追溯到1936年，Townend[43]以电火花和加热细丝显示流场，通过电火花产生的“热斑”在纹影图像上不同时刻的位置，可粗略得到平均速度。1991年，McIntyre等[44]记录了高速湍流运动的纹影图像，通过追踪湍流结构得到平均流动速度。由于计算工具落后，这些方法手动获取流动结构的位置并进行匹配，仅能得到射流方向上的平均运动速度。
随着计算机和高速摄影技术的发展，流场纹影图像的采集质量不断提高，相关学者也开发出具有更高精度和计算效率的二维测速算法。基于纹影/阴影图像的二维测速算法主要分为纹影PIV和光流算法两大类。前者将传统PIV中常用的互相关算法应用于纹影/阴影图像，追踪显著流动特征进行速度场计算；后者假设空间运动点在连续图像上亮度不变，结合位移场空间特性，构建约束求解速度场。
2.1 纹影PIV
PIV互相关算法通过分析连续拍摄的2帧图像中的粒子亮度信息进行匹配追踪，获得相应的位移场。纹影PIV将互相关算法应用于流场的纹影/阴影图像，将具有显著特征的湍流涡旋以及流动边界等结构作为“示踪粒子”进行追踪匹配以获取位移场。图3为互相关算法的基本原理。计算中，将图像划分为若干窗口，每个窗口中可能包含数个粒子，计算得到的窗口速度矢量被认为是窗口内所有粒子的速度矢量。计算公式如下：
$$ D（m，n）=\frac{1}{N \cdot M}{\displaystyle \sum _{i=0}^{N-1}{\displaystyle \sum _{j=0}^{M-1}{g}_{1}（i，j）}}{g}_{2}（i+n，j+m） $$ (3) 式中：D（m，n）为互相关系数，取得峰值时，检测窗口中对应粒子的相关性最大，即为“匹配粒子”[45]；M和N分别为判读窗口的长和宽；（i，j）为像素坐标；m和n为位移分量；
$ {g_1} $ 和$ {g_2} $ 分别为2帧图像的亮度函数。Kegerise和Settles[45]使用加热器加热空气，对产生的轴对称羽流使用最小平方差（Minimum Quadratic Difference，MQD）互相关算法进行测速。MQD互相关算法适用于粒子密度较大的情况，可减小计算量并获得更高的精度：
$$ D（m，n）= \frac{1}{N\cdot M}{\displaystyle \sum _{i=0}^{N-1}{\displaystyle \sum _{j=0}^{M-1}{\left[{g}_{1}（i，j）-{g}_{2}（i+n，j+m）\right]}^{2}}} $$ (4) 文献[45]采用互相关算法获取了300对纹影图像的平均速度场，如图4所示。可以看出，该方法可以获得主流的运动速度。文献[45]将纹影PIV与激光PIV测速获得的某高度处的归一化平均速度剖面进行比较，速度分布较为吻合。
Jonassen等[46]将PIV双脉冲激光光源增加扩束器，用于纹影/阴影系统照明，分别采集二维可压缩湍流边界层和轴对称湍流氦射流（Ma=3）的纹影/阴影图像，使用互相关算法测速，并与激光PIV方法获得的射流速度云图进行比较。与射流出口速度及激光PIV方法所得速度场相比，纹影/阴影PIV方法计算所得的速度场偏低，文献[46]将此归因于纹影的积分效应。基于轴对称场假设，将激光PIV结果进行阿贝尔变换（Abel transform），得到的平面投影速度场与纹影PIV结果吻合较好。阿贝尔变换可用于求解轴对称场对平面的投影，阿贝尔逆变换则可通过投影反演原轴对称场。为消除积分效应，除了将PIV速度场进行阿贝尔变换再进行比较，也有文献将纹影图像先进行阿贝尔逆变换后，再用于求解速度场[47]。Biswas等[47]设计了分光光路，搭建了双相机纹影系统，使用延时触发器控制2台相机的拍摄时间间隔，以突破高速相机帧频限制，实现高帧频、短间隔采样，对超声速氦气射流流场进行测速。实验中，2台高速相机帧频为1×104 帧/s，采样间隔分别为0.4 μs（Re=1.1×104）和0.2 μs（Re=2.2×104）。采用阿贝尔逆变换对纹影图像进行预处理，将积分的投影反演为原轴对称场，读取中心剖面信息进行速度场计算，从而降低积分效应影响。Biswas等[47]研究了纹影系统刀口方向及遮光比对测速结果的影响，表明切光量为40%的水平刀口纹影PIV和阴影PIV的速度场与传统PIV结果最为接近。图5为分别采用传统PIV、纹影PIV和阴影PIV方法得到的速度云图（图中速度值单位为m/s；Re=2.2×104）。
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在纹影成像中通常采用增大刀口遮光比的方法提高灵敏度，但这样会使可追踪结构数量减少及平均粒径增大，导致测量误差增大。使用传统互相关算法时，需选择合适的判读窗口尺寸，在计算精度与计算量之间取舍。Ozawa等[48]提出将单像素相关算法用于超声速（Re=1×106，Ma=2.0）剪切层中大尺度流动结构的阴影图像，获得高空间分辨率的平均速度场。这种算法被分别用于阴影图像和传统PIV系统采集的粒子图像，对比显示，基于阴影图像计算得到的轴向速度场约为粒子图像计算结果的70%，与Powell模型估计的速度吻合良好，如图6所示。
以纹影PIV方法求解速度场时，容易忽略流体边界涡旋结构的细微局部运动，通过传统互相关算法得到的空间分辨率有限，以往研究也大多展示多帧平均结果，仅能反映主流运动速度。此外，采用纹影/阴影PIV方法测速时，尽管无需考虑粒子跟随性，但互相关算法需要显著的流动结构（待测流场中湍流涡旋的数量和空间尺度非常重要），仅适用于有较多流动结构的湍流流场。无论是传统互相关算法还是单像素相关算法，都不适用于没有显著流动结构的层流或涡旋结构较少的湍流。
2.2 光流算法
2.2.1 基本原理
物体的空间运动导致其在像平面上成像灰度模式的变化，光流算法通过追踪这种像平面上的光流运动获取物体的二维速度场。与PIV互相关算法相比，光流算法可以获取更为稠密的位移场和更为精细的流动特征。目前，常见的光流算法大多基于Horn和Schunck[49]提出的“H-S光流算法”进行改进。H-S光流算法基于亮度守恒和位移场空间平滑这两个基本假设构建约束方程。亮度守恒约束假设在很短的时间间隔内，空间点运动前后在2帧图像上的亮度保持不变：
$$ I（ {x,y,t} ） = I（ {x + {\rm{d}}x,y + {\rm{d}}y,t + {\rm{d}}t} ）$$ (5) 式中：I为图像亮度；t为时间，dt为2帧图像的时间间隔；（x, y）为图像像素点坐标，dx和dy分别为坐标为（x, y）的像素点在2帧图像中x和y方向上的位移。将上式等号右边做泰勒展开并略去高阶项，令速度分量u=dx/dt，v=dy/dt，可得：
$$ {I_x}u + {I_y}v + {I_t} = 0 $$ (6) 式中：Ix和Iy分别为图像亮度在x和y方向上的导数；It为图像亮度的时间导数。由此得到能量泛函的数据项：
$$ {F}_{1}=\varphi （{I}_{x}u+{I}_{y}v+{I}_{t}） $$ (7) 式中：φ（x）为鲁棒函数，一般取φ（x）=x2。空间平滑约束假设运动刚体上邻近的像素点速度相近，速度场在空间上缓慢变化：
$$ （{u}_{x}{）}^{2}+（{u}_{y}{）}^{2}+（{v}_{x}{）}^{2}+（{v}_{y}{）}^{2}=0 $$ (8) 式中：ux、uy分别为速度分量u在x和y方向上的偏导数；vx和vy分别为速度分量v在x和y方向上的偏导数。进而得到能量泛函的正则项：
$$ \varphi （{u}_{x}）+\varphi （{u}_{y}）+\varphi （{v}_{x}）+\varphi （{v}_{y}）=0 $$ (9) 数据项和正则项在能量泛函中的相对比重通过权重系数α进行调节：
$$ F = \iint {{F_1}} + \alpha \iint {{F_2}} $$ (10) 2.2.2 优化算法
H-S光流算法约束条件较为简单，在求解中容易受到图像噪声、运动边界等离群点的干扰；在2帧图像中物体运动位移较大的情况下，直接求解可能难以得到正确的全局速度场。针对这些问题，近年来各国学者引入了多种先进优化算法，并在约束条件方面进行了改进，以提高求解精度和稳定性。
1）多分辨率金字塔层优化算法
H-S算法直接求解仅适用于位移较小的情况（通常2帧图像之间的位移不超过1像素），在位移较大时获得的速度场精度较低。引入多分辨率金字塔层算法，按比例缩放图像，使得位移在顶层图像中被限制于1像素的位移内，从而提高计算精度、计算效率和鲁棒性[50]。图7为引入金字塔层算法后的主要计算流程：首先对2帧图像分别进行下采样，得到2个多分辨率图像金字塔；计算中，从低分辨率图层开始，对2个金字塔中的对应图像采用H-S算法进行计算，每层得到的计算结果作为下一较高分辨率图层的初始结果；重复以上步骤，直至达到原始分辨率为止。具体实现流程为：较低分辨率图层计算得到的是位移矢量增量，与本层的初始结果叠加，即为本层的位移矢量计算结果；位移矢量矩阵经上采样，放大至较高分辨率图层的尺寸，用于对第2帧图像金字塔的对应图像进行扭曲；基于扭曲后的图像和第1帧图像金字塔的当前图像，继续使用H-S光流算法计算位移增量；在原始分辨率图层，计算得到的位移增量与本层的初始结果叠加，得到2帧图像的最终位移矢量场。
2）渐进非凸优化算法（GNC）
运动重建问题本质上是非凸问题，但非凸问题难以求解，因此求解中常使用形式简单、易于最小化的二次凸函数作为鲁棒函数。当存在图像噪声、运动边界及其他偏离模型假设的离群点时，由于二次函数的影响函数无界（如图8（a）所示），求解受离群点干扰较大；而很多非凸函数的影响函数有界（如图8（b）所示），能有效降低离群点的影响及运动不连续导致的误差，增大能量泛函对噪声的抗干扰能力。
Black等[51]提出渐进非凸优化，将求解分步进行，使用可调节凸性的Lorentzian函数作为鲁棒函数，逐渐增加鲁棒函数的非凸性，从而增加其影响函数对离群点影响的屏蔽程度。
2.2.3 约束条件改进
H-S光流算法的亮度守恒假设基于像素亮度的表观运动得到，而流场内存在大量剪切、旋转和变形运动，会导致流动结构的改变，不再满足H-S光流算法的基本假设；其基于刚体运动特性的空间平滑假设也无法适应流体的运动形式。基于光流算法的基本思想，许多学者根据流场物理特性和纹影光路特性对约束方程进行修正，得到了一系列适用于湍流流场纹影/阴影图像序列的测速算法。
Fu等[52]假设速度矢量在方向上而非数值上连续缓慢地变化，改进了空间平滑约束，结合原有的H-S算法亮度守恒约束构建能量泛函。利用改进算法对30°斜面上浮力热羽流的纹影图像进行计算，结果表明，该算法得到的速度矢量空间平滑性有所改善，但计算精度仍有待提高。Suter[53]提出了一阶和二阶的平滑约束形式，用于处理存在垂直于像平面的运动和具有大量涡旋运动的流场等情况。
Corpetti等[54]假设图像亮度与流体密度沿路径的积分存在比例关系，由流体连续性方程类推得到新的亮度守恒方程，结合二阶形式平滑约束构建能量泛函。其亮度守恒方程类似于积分形式的流体连续性方程，在计算中交替迭代得到位移增量，以提高计算精度：
$$ {I}_{1}\mathrm{exp}（\nabla \stackrel{\rightharpoonup }{V}）-{I}_{0}=0 $$ (11) 式中：I0和I1分别为第一帧和第二帧图像的亮度；
$ \stackrel{\rightharpoonup }{V}=（u,v） $ 为二维速度场。空间平滑约束采用Suter的二阶散度旋度形式[53]：$$ （\nabla {\rm{div}}\stackrel{\rightharpoonup }{V}{）}^{2}+（\nabla {\rm{curl}}\stackrel{\rightharpoonup }{V}{）}^{2}=0 $$ (12) 采用二阶形式平滑约束将产生高阶方程，增大了求解难度。为解决这一问题，Corpetti等[54]引入了一对散度旋度标量，通过增加方程数量来降低方程阶数。虽然Corpetti方法的约束条件并不具有实际物理意义，但是仍然有效地提高了计算精度，可以表征流场中的微小结构。
Liu等[55]提出了一种针对LIF（激光诱导荧光）、PIV、纹影、阴影等可视化手段的普适性约束条件，基于传输方程和光路特性，推导出关联图像光流信息与场量加权的路径平均速度场的投影运动方程：
$$ \frac{{\rm{d}}I}{{\rm{d}}t}+I\nabla \stackrel{\rightharpoonup }{V}=f（x，I） $$ (13) 上式右端为通量项以及与参考面处流场性质有关的项，一般在计算中通过一些假设略去，最终方程即为Corpetti方程的微分形式。该方法已被应用于粒子图像等场合，但未见应用于纹影流场计算的结果。
2.2.4 纹影特性测速算法
1）基本约束条件
由于纹影图像亮度与密度场空间梯度成正比，而流体连续性方程将流体密度与速度建立了联系，Arnaud等[56]根据纹影图像亮度特性和流体连续性方程推导出了具有物理意义的亮度守恒约束：
$$ {I_1}\exp \left( {\frac{1}{2}{u_y} + \frac{1}{2}{v_x}} \right) - {I_0} = 0 $$ (14) 由此得到能量泛函数据项：
$$ {F_1} = \varphi \left[ {{I_1}\exp \left( {\frac{1}{2}{u_y} + \frac{1}{2}{v_x}} \right) - {I_0}} \right] $$ (15) 与Corpetti等[54]的方法类似，Arnaud也采用了二阶散度旋度形式的空间平滑约束和降低方程阶数的方法，即先在正则项中用一对标量场分别代替散度和旋度，再引入一个新的泛函求解这对标量场，从而降低求导次数。最终简化的正则项形式如下：
$$ \begin{split} {F_2} =& {\left| {{\rm{div}} \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {V} - \xi }\, \right|^2} + \lambda \varphi （ {| {\nabla \xi }\, |} ） \\& + {\left| {{\rm{curl}} \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {V} - \zeta }\, \right|^2} + \lambda \varphi （ {| {\nabla \zeta }\, |} ） \end{split} $$ (16) ξ和ζ分别为引入的散度和旋度标量场。将数据项和正则项通过权重系数α组合为全局能量泛函：
$$ {H_1} = \iint\limits_\Omega {{F_1}}{\rm{d}}s + \alpha \iint\limits_\Omega {{F_2}}{\rm{d}}s $$ (17) 由于引入了一对未知标量，需要额外最小化一个正则能量泛函求解标量场：
$$ \begin{split} {H_1} = &\iint\limits_\Omega {\left[ \begin{gathered} \varphi （ {{\rm{div}} （ {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {V} + {\rm{d}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {V} } ） - \xi } ） \hfill \\ + \varphi （ {{\rm{curl}}（ {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {V} + {\rm{d}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {V} } ） - \zeta } ） \hfill \\ \end{gathered} \right]}{\rm{d}}s \\& + \lambda \iint\limits_\Omega {\left[ {\varphi （ {\left| {\nabla \xi } \right|} ） + \varphi （ {\left| {\nabla \zeta } \right|} ）} \right]}{\rm{d}}s \end{split} $$ (18) 式中，
$ {\rm{d}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {V} $ 为由H1计算得到的速度增量。推导可得4个迭代方程，在计算中交替迭代得到位移增量和标量场，最终将位移增量叠加得到位移场。Wang等[57]基于纹影特性约束条件和上述能量泛函，采用二次凸函数作为惩罚函数，利用变分法进行最优化求解，并与同期先进优化光流（Optical Flow，OF）算法的结果进行比较。图9（a）为采用Sun等[58]优化后的H-S光流算法得到的计算结果。α、λ为SME（Schlieren Motion Estimation）算法的权重系数，λq、λc分别为H-S光流算法的渐进非凸优化中凸泛函和非凸泛函采用的权重系数（下标q表示二次函数，下标c表示generalized Charbonnier函数）。该方法引入了金字塔层优化算法、渐进非凸优化算法以及加权中值滤波等，在明德学院光流算法基准平台上的测试中排名前列，平均端点误差为0.319像素/帧。与图9（c）进行对比可以发现，纹影特性测速算法所得速度场的空间分布连续性更好，更接近流体的物理性质和运动特点；而H-S光流算法所得结果中的流体位移场被分为若干等值区域，运动状态接近刚体。另外，纹影特性测速算法可以检测到主流周围细微的协流流动和更精细的流动结构，灵敏度更高。
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2）权重系数取值
光流算法的约束条件针对刚体提出，收敛性较强，权重系数的取值范围相对宽松。相比原始的光流算法，纹影特性测速算法引入了速度的方向导数，增加了正则能量泛函，计算时需要设置的权重参数更多；同时，由于约束条件的变化，权重系数的取值范围也有所改变。Wang等[57, 59]最初采用凸函数（二次函数）进行优化时，计算结果对权重系数的取值非常敏感。图9（b）～（d）展示了在不同权重系数下将纹影特性测速算法应用于甲烷冷流射流（射流出口平均速度为2.695 m/s）的计算结果。当权重系数取值偏小时，容易产生很大的速度梯度（图9（b）），主要原因是正则部分权重过小，迭代难以收敛，计算发散；而当权重系数取值偏大时，容易发生过度平滑，速度矢量出现于流动边界外（图9（d）），主要原因是正则部分权重过大；只有当权重系数取值合适时，才能够得到计算收敛、速度场分布于实际流动区域内的计算结果（图9（c））。
3）渐进非凸优化（GNC）
Sun等[58]引入了generalized Charbonnier函数（
$ \varphi （ x ） = \sqrt {{x^2} + {\sigma ^2}} $ ，σ为函数参数）作为非凸鲁棒函数，利用渐进非凸优化方法进行优化计算。H-S光流算法的实践[58]表明，轻微非凸（σ=0.45）的genera-lized Charbonnier函数计算效果比Lorentzian函数更好。受此启发，Wang等[59]将渐进非凸优化引入纹影特性测速算法，进一步提升了算法的鲁棒性和准确性。如图10所示，优化分为三个阶段进行：分别将二次函数和generalized Charbonnier函数作为鲁棒函数构建凸和非凸能量泛函；将凸和非凸能量泛函线性组合；由0到1逐步增大能量泛函中非凸部分的比例，实现渐进非凸计算。基于甲烷/氢气扩散碰撞火焰实验图片，Wang等[59]等获取了算法优化前后的权重系数取值分布，如图11所示。其中，未经渐进非凸优化的算法权重系数分别表示为α和λ，与上文定义相同；优化后算法的凸泛函和非凸泛函权重系数需分别设置，计算结果主要对凸泛函中的权重系数αq、λq设置敏感，非凸泛函权重系数取αc=30、λc=30即可。对于凸泛函，优化前后的权重系数取值分布表明：优化前无论权重系数取值如何变化，都难以同时避免两类计算错误；而优化后可得到正确结果的权重系数取值范围较广，取值范围非常宽松，算法的鲁棒性显著提升。
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图12为光流算法和优化前后的纹影特性测速算法应用于甲烷/氢气混合碰撞火焰点火过程瞬时流场的计算结果。碰撞火焰流动结构主要位于上方平板与白线之间，在白线与黄线之间也有气体流动。如图12（a）所示，采用光流算法得到的速度云图呈块状分布，涡量表现为流动结构周围的线条，白线下方的细微流动被忽略。从图12（b）可以看出，速度场和涡量场的连续性都有了较大提升，但是有部分速度矢量超出了流场边界，说明发生了过度平滑。图12（c）显示了采用渐进非凸优化之后的纹影特性测速算法结果，所获得的速度场具有良好的连续性，边界识别清晰，并且捕捉到了边界附近的微弱流动。图13为优化前后的纹影特性测速算法最后一次迭代的局部残差分布图。可以看出：优化前的算法虽然满足整体的残差收敛准则，但局部出现了较大残差，最大处接近0.3 m/s（图13（a））；而优化后的算法显著降低了局部残差，算法收敛性增强。上述结果表明，渐进非凸优化拓宽了计算参数的设置范围，提升了算法在流动边界上的表现，收敛性更强，提高了算法的计算精度及应用的灵活性。
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2.3 粒子纹影/阴影二维测速技术
与传统的PIV/PTV技术相似，粒子纹影/阴影二维测速技术在流场中添加适当浓度的示踪粒子，利用高速相机记录粒子阴影图像，然后通过PIV或PTV计算示踪粒子的运动，实现流场测量[60-61]。Bröder等[62]利用水和压缩空气形成气液两相流（气泡直径为2～4 mm），在液相中添加平均粒径为65 μm的聚酰胺示踪粒子，利用背光阴影成像技术获得气泡以及示踪粒子阴影图像，采用图像处理算法将气泡和连续相中的示踪粒子分离。基于气泡图像，获得单个气泡二维质心坐标，并利用PTV技术求解粒子运动速度。基于连续相中示踪粒子图像，采用PIV互相关算法计算流场二维速度。图14展示了气液两相流中的气泡运动速度和连续相二维运动速度[62]。
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Tung等[63]将阴影成像技术应用于平面微型通道中的液滴变形、混合及流动特性研究。实验中，将硅油作为载液，蒸馏水作为被驱动液滴，液滴中布撒粒径为1 μm的聚苯乙烯颗粒，在高速相机前加装显微镜头捕捉粒子阴影图像。如图15（a）所示，阴影成像系统避免了激光在两相交界面处形成的强光反射，可以捕捉到清晰的粒子图像。利用PIV互相关算法计算液滴中的粒子运动速度，得到的二维速度矢量及云图如图15（b）所示。Goss等[61]同时采用粒子阴影PIV和PTV技术测量了壁、腔和模型表面附近的二维流场。其研究表明，与基于激光成像的PIV和PTV测速技术相比，粒子阴影测速技术在近壁面区域流场中成像清晰度更高，可显著提升测量精度。
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近年来，有学者基于纹影图像进行同步温度场和速度场测量，通过标定纹影法测量温度场，用PIV互相关算法追踪纹影图像中的粒子轨迹获得速度场[64-65]。Bharti等[64]向水槽中添加粒子，利用纹影图像，同步测量了两壁分别恒温加热和冷却的水槽中的自然对流温度场和速度场。该方法具有良好的鲁棒性和较高的测温精度（<1%），与计算结果吻合良好，且比传统PIV技术更为廉价和安全，可用于长时间测量。需要注意的是，为了兼顾测温的纹影效果以及测速粒子的数量和密度，需将刀口放置于合适位置[64]。此外，流场物性参数变化剧烈时，纹影效果可能影响粒子的识别。
3 基于阴影成像的三维速度测量技术
在实际工程应用中，大部分流动都涉及复杂的湍流现象，这些湍流流场包含不同尺度范围的流动和结构特征，同时流体的流速和流体结构在三维空间内随时间快速变化[66]。采用单点式、平面式测量技术无法完全捕捉这些三维空间中发展变化的结构和特征，亟需发展具有高时间分辨率和高空间分辨率的三维速度测量技术。三维流场测量技术通常包含2个要素：构建粒子空间关联（重构粒子三维信息）、构建粒子时序关联（求解粒子运动信息）[67]。粒子空间关联的构建需基于相机标定参数，利用粒子坐标、亮度等信息实现不同视角中粒子立体匹配并重构粒子三维坐标，所采用的具体方法与光路成像系统相关，如基于层析成像的重构、基于直接成像的线性三角重构等。粒子时序关联构建则是基于二维或三维的粒子坐标或亮度信息，在时序上进行粒子匹配，主要包括基于欧拉场的PIV技术以及基于拉格朗日场的PTV技术[68]。
目前，应用较多的三维瞬时速度测量技术大多以激光为光源照亮测试区域，在流场中加入示踪粒子，以相机记录粒子散射光强和直径等信息，主要包括层析PIV/PTV（Tomographic PIV/PTV）[6-7]、直接成像3D-PTV（Photogrammetric 3D PTV）[4]、全息PIV（Holographic PIV）[69]、散焦PIV（Defocusing PIV）[70]以及光场PIV（Light-field PIV）[8]等。基于激光的三维流场测量技术首先需要平衡选择帧频和曝光时间，尤其是在高速流场中，需要采用高帧频和较短的曝光时间，避免运动模糊现象；采用短曝光时间时，还需权衡粒子图像亮度以获得较好的成像质量。其次，由于激光能量限制，所形成的激光厚度有限，且粒子光强沿深度方向衰减，基于层析成像和直接成像的方法采用相机直接拍摄，仅能在焦平面附近较窄的区域内对粒子清晰成像，其他远离焦平面的粒子成像质量较差[1, 71]，这就限制了基于激光的三维流场测量技术所能测量的深度。
目前发展比较成熟、应用比较广泛的层析PIV、3D-PTV等技术大多采用多视角成像，通常使用3～6个相机采集实验图像[6, 72]，需要进行多相机同步和标定，系统结构较为复杂，对于测试空间的需求较高[71, 73]。尤其是测量高速流场时，需要使用多台高速相机，增大了测试设备的复杂度和成本。常用三维速度测量技术的测试区域体积、深度、帧频等的统计结果如图16所示[4-6, 74-104]。从图中可以看出：3D-PIV的测试区域普遍较小，在0.2～160 cm3之间；3D-PTV可以测试较大区域（270～1600 cm3），但是采用的帧频很低，仅为25～50 帧/s。此外，构建亮度均匀的三维激光区域也具有一定挑战性，容器壁面强光反射导致的粒子散射强度以及背景亮度不均匀，均会降低成像质量。与基于激光的三维流场测量技术不同，阴影成像系统采用普通光源（LED灯或卤素灯等）照亮测试区域，并用高速相机记录粒子阴影图像。以普通光源代替激光，降低了流场测试成本。阴影成像系统最大的优势是拍摄帧频不受曝光时间的限制，在测量高速流场时，可以采用较高的拍摄帧频（约10 kHz）和较短的曝光时间（约1 μs）获得高质量的粒子阴影图像[105]，帧频和曝光时间的设置仅受限于相机硬件参数。粒子阴影图像在深度方向不会出现粒子亮度衰减的情况，几乎没有离焦效应，光路上的粒子均可清晰成像，因此可以获得较大的测试深度。如图16所示，利用直径为30 cm的抛物面镜和百微米级的示踪粒子，阴影成像技术可以获得约10～30 cm的测试深度，在较大测试区域（1×103～3×104 cm3）内实现高帧频（>10 kHz）的数据采集。考虑到阴影成像系统在三维流场测量中的诸多优势，有学者开始发展基于阴影成像系统的三维流场测量技术，如Klinner等[106]发展了多视角层析阴影成像系统，Huck等[107]构建了双视角垂直成像的平行光段阴影成像系统，Wang等[75]提出了双视角汇聚光段阴影成像系统。
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在速度求解方面，PIV技术基于粒子亮度使用空间相关的方法对相邻2帧的粒子体素进行匹配，获得判读窗口（interrogation windows）内的粒子平均速度[108]。PTV技术则是利用粒子坐标，通过追踪单个粒子的拉格朗日运动轨迹，求解流场运动信息。与PIV技术相比，PTV技术不存在窗口平均效应，比前者具有更高的精度[1]。除此之外，PTV技术可以利用粒子运动轨迹通过后处理得到空间内欧拉场速度，进而求解涡量、压力场等多种流场特征[108-110]。若在三维空间中利用粒子坐标进行追踪，则称为“三维粒子追踪测速技术（3D-PTV）”。按照进行空间关联和时间关联的先后顺序，三维粒子追踪算法可以分为“先重构–后追踪粒子追踪算法”“先追踪–后重构粒子追踪算法”和“时间–空间耦合粒子追踪算法”[67]，如图17所示。
“先重构–后追踪粒子追踪算法”是利用相机参数和二维图像序列获得多个时刻的三维粒子坐标，然后利用两帧追踪或多帧追踪方法在三维空间追踪获得粒子三维运动轨迹。“先追踪–后重构粒子追踪算法”则是利用二维图像及二维坐标获得粒子二维运动轨迹，然后对轨迹进行立体匹配及重构，最终得到粒子三维运动轨迹。“时间–空间耦合粒子追踪算法”充分利用时间和空间信息，基于已有运动轨迹对下一时刻的粒子坐标进行预测，以获得更为准确三维粒子坐标[67]。Willneff等[67]在三维空间中建立速度–加速度运动模型对粒子坐标进行预测，将预测点重投影至二维图像平面，并在二维投影点附近搜索立体匹配候选粒子。该算法将立体匹配过程中沿极线的搜索范围缩小为二维投影点附近较小的搜索范围，提升了追踪效率，在粒子图像密度较低时（<0.005 ppp，particles per pixel）获得了较好的结果。Schanz等[111]发展了一种名为“抖盒子（shake-the-box）”的三维粒子追踪方法，充分利用时间、空间和图像信息迭代求解粒子三维运动轨迹，在4个视角条件下将虚拟粒子的图像密度提高至0.125 ppp。该方法利用时间信息对粒子三维坐标进行预测，然后基于多视角粒子投影图像和原始图像的残差修正三维空间中的预测点坐标，当粒子投影图像与原始图像最为接近时，对应的三维粒子坐标为最佳。
各种三维阴影成像系统的成像原理以及三维重构和时序追踪方法均有较大区别。下面对几种主要的三维阴影测速技术进行介绍。
3.1 基于层析阴影成像系统的三维流场测速技术
Klinner等[106]提出了层析阴影成像系统（Tomo-graphic shadowgraphy），通过LED点光源和透镜组合形成平行光，将测试区域置于平行光交叉区域，采用4个相机记录粒子阴影图像，各相机之间的拍摄夹角为30°，实验装置如图18（a）所示。基于多视角阴影及相机标定参数，采用SMART（Simultaneous Multiplicative Algebraic Reconstruction Technique）方法迭代计算重构出体像素空间粒子分布。Klinner等[106]利用合成粒子和图像对该方法进行了验证，粒子图像密度可以达到0.064 ppp；还利用该系统测量了扇形喷雾（flat fan spray）中液滴的瞬时分布。图18（b）显示了喷雾液滴的阴影图像以及破碎液滴在2个不同时刻（间隔6.3 μs）的三维分布。利用重构的粒子分布，可以在三维空间中识别出液滴的质心，然后以“先重构–后追踪算法”求解液滴的运动轨迹和速度，但是文献中未展示液滴运动计算结果[106]。
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3.2 基于双视角平行光段阴影成像系统的三维粒子追踪测速技术
Huck等[107]基于双视角平行光段阴影成像系统发展了三维流场测速技术，实验装置如图19（a）所示。该系统利用LED点光源，通过分光镜和平面反射镜形成平行光，将测试区域置于平行光段，利用相机及透镜组合捕捉测试区域的粒子阴影图像。2个相机的拍摄夹角为90°，分别记录x1Oz1和y2Oz2平面的粒子阴影图像。2个相机平面分别记录粒子x、y方向信息，且同时记录z方向的信息，因此以其中一个相机为参考系获得粒子二维坐标后，就可以从另一个相机获得三维坐标。但是，由于缩放比例可能不同以及相机中心轴线不一定完全垂直相交，z1和z2会出现较小的偏差。在搜索立体匹配轨迹过程中，利用z1和z2之间的转换关系z2=az1+b进行搜索（参数a和b在逐步匹配粒子轨迹过程中通过递归计算得到）。
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Huck等[107]利用“先追踪–后重构算法”追踪三维粒子运动轨迹。首先在二维平面上利用四帧最佳估计方法（four frames best estimate method）[112]对粒子进行追踪，如图19（b）所示。四帧最佳估计方法是常用的多帧追踪方法：利用速度、加速度等信息预测粒子坐标，以预测点坐标与粒子实际坐标之间的距离构建代价函数；再通过全局优化算法最小化代价函数求解最佳运动轨迹[112]；最后利用运动轨迹上多个时刻的粒子坐标信息进行立体匹配，得到正确的粒子三维运动轨迹。采用该方法对反向旋转的冯·卡门涡流流场进行了实验测量，实验中的粒子图像密度约为0.0016 ppp，获得的部分粒子三维运动轨迹如图19（b）所示[107]。采用该方法可以得到粒子三维运动轨迹，但双视角阴影成像系统所能提供的约束条件有限，仅适用于粒子密度较低的场景。
3.3 基于双视角汇聚光段阴影成像系统的三维粒子追踪测速技术
Wang等[75]基于Z型阴影成像系统发展了三维流场测速技术，其成像系统如图20（a）所示。将LED灯或卤素灯点光源发出的光线投射至光路上的第一面抛物面镜，形成的平行光被第二面抛物面镜汇聚后，经过测试区域投射至镜头和CCD相机平面。2个相机的拍摄夹角约为30°。该系统将测试区域置于汇聚光段，符合透射几何成像原理，可基于小孔成像模型对粒子进行立体匹配以及三维重构[113-114]，双视角小孔成像相机模型如图20（b）所示。对于第一视角平面中的目标粒子，根据相机标定参数，在第二视角平面中可以获得一条极线。理论上，与目标粒子匹配的粒子应位于极线上；但由于时间分辨率、空间分辨率以及系统误差等原因，极线与粒子坐标之间可能存在一定的偏差，因此就需要设定一个容差（tolerance）[104, 115]，在该容差范围内的粒子均可视为立体匹配候选粒子，这种筛选立体匹配粒子的方法称为“极线约束”。获得立体匹配粒子后，基于二维图像坐标与相机中心，可以通过视线交叉方法或线性三角重构方法获得粒子三维坐标。
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Wang等[75]利用该系统研究了肥皂泡破裂过程。采用2台高速相机进行同步，以5000 帧/s的帧频采集瞬时图像，并基于“先重构–后追踪”思路对部分特征点进行了三维轨迹追踪：首先识别和匹配图像中的特征点，基于相机标定参数进行三维重构，得到各个时刻特征点的三维空间坐标，然后基于时序图像对粒子进行追踪，获得特征点的三维运动轨迹。部分结果如图21所示。
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上述工作成功建立了基于双视角汇聚光段阴影成像进行三维粒子追踪的系统原型，实现了高帧频的实验测量。与多视角成像系统相比，双视角成像系统所能提供的约束条件较为有限，仅能处理较为稀疏的粒子图像，实际应用场景非常有限。如何在有限的空间几何约束条件下提高密集粒子的重构和追踪正确率，是双视角成像系统面对的一个重要挑战。近年来，Wu等开展了一系列研究并取得了重要进展，先后发展了适用于双视角成像系统的“先追踪–后重构”[105]和“时间–空间耦合”[116]的双视角三维粒子追踪算法，显著提升了高粒子图像密度情况下的三维重构和追踪正确率，拓展了双视角成像系统的适用范围。下面主要介绍这两种算法。
3.3.1 先追踪–后重构的双视角三维粒子追踪算法
Wu等[105]基于双视角立体阴影成像系统发展了“先追踪–后重构的双视角三维粒子追踪算法”，其追踪和重构过程如图22所示。首先在二维阴影图像上识别得到二维粒子质心坐标，再利用Brevis等[117]提出的相关/松弛匹配算法（cross-correlation/relaxation matching）在二维图像上进行追踪。相关/松弛匹配算法用邻域粒子的运动信息迭代计算各个时序候选粒子对应的概率，选择最大概率对应的粒子作为时序匹配粒子。获得2个相机平面上的二维运动轨迹后，对轨迹上每个时刻的粒子进行立体匹配；若匹配轨迹正确，则每个时刻对应的粒子都应满足极线约束条件。筛选出满足约束条件的运动轨迹后，再基于相机标定参数和透视几何模型，重构得到粒子三维运动轨迹。最后利用运动方向、坐标范围对三维运动轨迹进行检测，获得正确的运动轨迹。
“先追踪–后重构的双视角三维粒子追踪算法”被应用于液滴撞击静止液膜的飞溅现象研究，获得了飞溅产生的二次液滴的三维运动轨迹及速度。图23展示了液滴飞溅阴影图像、二次液滴的三维运动轨迹（颜色表示其速度模大小）以及二次液滴的3个速度分量统计结果。算例中的粒子数量相对较少，对应的粒子图像密度约为0.001 ppp，算法的匹配正确率可以达到100%。但是该算法分别利用时间和空间信息，其处理密集粒子的能力进一步提升的空间较为有限。
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3.3.2 时间–空间耦合的双视角三维粒子追踪算法
传统的多视角成像系统通常利用极线交叉的方法筛选立体匹配粒子。图24展示了三维粒子追踪算法中利用4个视角成像系统筛选立体匹配粒子的过程[4]。视角Ⅰ中的目标粒子在其他3个视角平面中均能产生对应的极线。首先利用视角Ⅱ中的极线获得立体匹配候选粒子（在图24中，视角Ⅱ筛选到4个候选粒子）。这些候选粒子在视角Ⅲ中产生对应的极线（红色），与视角Ⅰ产生的极线（蓝色）相交，极线相交处的粒子即为视角Ⅲ中的立体匹配候选粒子（在图24中，视角Ⅲ筛选到2个候选粒子）。这些候选粒子在视角Ⅳ中产生对应的极线（黑色），与视角Ⅰ产生的极线（蓝色）相交，极线相交处的粒子即为视角Ⅳ中的立体匹配候选粒子。在图24中，视角Ⅳ最后仅剩1个候选粒子，该候选粒子及其在其他3个视角中对应的粒子即被视为正确的立体匹配粒子。但是在双视角成像系统中，只有1条极线可用于筛选立体匹配粒子（如图24中视角Ⅰ和视角Ⅱ所示），当粒子布撒浓度较高时，极线附近往往存在多个候选粒子。因此，在双视角成像系统中，利用单个时刻的粒子进行立体匹配容易出现错误匹配，需要引入更多约束条件对候选粒子进行筛选。
为提升双视角成像系统在高粒子图像密度情况下的准确度和适用性，Wu等[116]发展了一种新型的基于时间–空间耦合的双视角三维粒子追踪算法，利用追踪过程中产生的时序信息来辅助筛选立体匹配候选粒子，降低双视角成像系统在较高粒子图像密度情况下的错误匹配率。该算法分为初始阶段和预测追踪阶段，如图25所示。在图像上识别粒子二维坐标后，利用Clark等[118]提出的强化初始追踪方法在二维图像平面进行追踪。传统的4帧追踪方法在初始4帧追踪过程中，选择离预测点最近的粒子作为候选粒子，若粒子运动位移大于粒子间隔距离，则最近邻搜索法易出现错误匹配[112, 119]。Clark等[118]利用可能的最大速度作为条件筛选第二帧时刻时序粒子，然后根据式（19）～（20）分别利用速度和加速度对第3帧和第4帧时刻的粒子坐标进行预测，将预测点附近一定范围的所有粒子都视作时序匹配粒子。
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$$ \tilde x_i^{n + 2} = x_i^{n + 1} + \tilde v_i^{n + 1}\Delta t $$ (19) $$ \tilde x_i^{n + 3} = x_i^{n + 1} + \tilde v_i^{n + 1}（2\Delta t） + \frac{1}{2}\tilde a_i^{n + 1}{（2\Delta t）^2} $$ (20) 式中：
$ x_i^{n + 1} $ 为n+1时刻粒子坐标；$ \tilde x_i^{n + 2} $ 和$ \tilde x_i^{n + 3} $ 分别为n+2和n+3时刻预测粒子坐标；$ \tilde v_i^{n + 1} $ 和$ \tilde{a}_{i}^{n+1} $ 分别为n+1时刻预测粒子运动速度和加速度；Δt为相邻两帧时间间隔；下标i表示第i个粒子。在2个相机平面进行追踪的过程中，每追踪一次获得时序匹配粒子后，都以极线约束条件在其中筛选对应的立体匹配候选粒子，然后进行三维重构得到三维坐标，并进行相应的空间位置检测和速度检测，排除错误的候选粒子。例如，重构粒子三维空间位置严重超出测试空间范围、三维速度极大等情况，均应排除。采用上述方法进行追踪和重构后，仍然可能存在多条对应的立体匹配轨迹，因此，在第四帧中构建代价函数，筛选最佳粒子运动轨迹。在追踪过程中，通常利用预测点坐标与粒子实际坐标之间的偏差作为代价函数[112]，这种偏差称为“二维预测约束条件”，如图26（a）所示。在重构过程中，通常利用重构粒子投影坐标与粒子实际坐标的距离作为代价函数[120]，这种距离称为“重构约束条件”，如图26（b）所示。由于基于时间–空间耦合的三维粒子追踪算法将追踪过程和重构过程耦合交替进行，因此，构建代价函数筛选最佳运动轨迹时，应同时包含这两个方面的约束条件。代价函数表达式为：
$$ E = \sum\limits_{i = 1,2} {（{{\left\| {x_i^{n + 3} - x{'}_i^{n + 3}} \right\|}^2}）} + \alpha _1^2\sum\limits_{i = 1,2} {（{{\left\| {x_i^{n + 3} - \tilde x_i^{n + 3}} \right\|}^2}）} $$ (21) 式中：
${\alpha _1} = \dfrac{{{e_1}}}{{{e_2}}}$ ，其中：${e_1} = \dfrac{1}{2}{\left( {\displaystyle\sum\limits_{i = 1,2} {（\left\| {x_i^{n + 3} - x{'}_i^{n + 3}} \right\|）} } \right)}$ ，${e_2} = \dfrac{1}{2}\left( {\displaystyle\sum\limits_{i = 1,2} {（\left\| {x_i^{n + 3} - \tilde x_i^{n + 3}} \right\|）} } \right)$ ，$ x_{1}^{n+3} $ 为第i个粒子n+3时刻的坐标。![]()
获得前4帧粒子运动轨迹后，利用维纳滤波器去除粒子的噪声，对轨迹进行平滑处理[121]；基于已有的运动轨迹，利用速度、加速度信息进行预测，然后最小化代价函数获得最佳运动轨迹。由于代价函数同时包含了空间和时间的约束条件，时序上的信息弥补了空间约束条件的不足，使得双视角成像系统能正确追踪的粒子密度显著提升。
采用各向同性强制湍流[122-123]和涡环流动[6]构建虚拟粒子数据以及合成图像对算法进行验证。图27（a）展示了4000个粒子在各向同性强制湍流流场中的三维运动轨迹，颜色表示运动位移大小；图27（b）展示了涡环流场三维速度矢量以及等涡面，箭头颜色表示运动位移大小。
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如图28所示，与其他基于双视角成像的多帧追踪算法[124]以及近年来发展的人工智能算法（如蚁群优化算法[120]、神经网络算法[125-126]、遗传算法[127]等）相比，基于时间–空间耦合的三维粒子追踪算法具有最高的正确率和稳定性。当采用虚拟粒子计算时，重构正确率Fd和追踪正确率Fd（tr）均能达到98%以上。若利用合成图像，引入粒子识别算法，考虑粒子识别的误差，在粒子图像密度0.0273 ppp的情况下，正确率可以达到90%以上。该算法显著提升了双视角成像系统在高粒子浓度条件下的测量准确性，提高了速度测量的空间分辨率，拓展了双视角成像系统的应用范围。
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该系统在热羽流实验中进行了实际的三维流场测试。实验系统将温度为30 ℃的热水经过水泵、流量计输送至横截面为2 cm×2 cm的不锈钢方管出口，并释放至温度为15 ℃的冷水水槽中形成热羽流。出口处流体特征参数Fr=0.3，Re=200。在实验中，采用粒径范围100～120 μm的聚苯乙烯粒子（密度为1050 kg/m3）作为示踪粒子。通过2台高速相机（Photron FASTCAM SA-Z和FASTCAM-ultima APX）以1000 帧/s的帧频同步记录粒子阴影图像，图像分辨率为1024像素×1024像素。热羽流测试区域位于双视角阴影成像系统汇聚光段，可以获得约10 cm×10 cm×10 cm的测试区域。图29（a）展示了2个不同时刻热羽流及示踪粒子的阴影图像，局部粒子图像密度约为0.0023 ppp，在测试区域内示踪粒子成像清晰。图29（b）为粒子三维运动轨迹，颜色表示速度大小。从粒子三维运动轨迹可以看出，热羽流在离喷嘴较近的区域为层流，在上升过程中逐渐发展为过渡流或湍流；热羽流中心线附近的速度高于周围流体的速度，这是因为热羽流边缘直接与周围静止冷流体接触，发生了动能传递和热量交换。此外，基于粒子三维运动轨迹获得了欧拉速度场，与相同工况下的扫描PIV测速结果吻合良好。
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4 结论与展望
本文介绍了纹影/阴影成像的基本原理、硬件设备和近年来所发展的二维及三维定量测速方法。在二维测速方面，最近发展的纹影特性光流测速算法，考虑了成像的光路模型和流体运动的物理特性，与原始的光流算法相比，速度场的连续性更好，更符合流体的实际运动状况，可以捕捉更多的流场细节，同时兼具精确性和鲁棒性。该方法无需添加示踪粒子，可适应较为恶劣的工程测试环境，可作为一种便捷、高效的二维测速技术应用于超声速边界层、近壁面流动、高速湍流等复杂场景的速度测量。在三维测量方面，双视角阴影成像系统具有系统简单、成像精度高、可兼顾高帧频与较大测试区域的优点。近年发展的时间–空间耦合双视角三维粒子追踪算法，大幅提升了双视角阴影成像系统在三维流场测量中的适用性和测量精度，可作为复杂湍流和高瞬态液滴飞溅、爆炸破碎等场景的可视化实验及定量测量的有效手段。
综上所述，基于纹影/阴影的二维和三维测速技术已经取得了显著进步，后续研究将致力于测试方法的进一步完善。在二维测速方面，将发展基于阴影成像的光流测速算法。纹影成像特性方程为一阶导数，而阴影成像特性方程为二阶导数，需要推导新的约束条件，并进行优化求解。在三维测试方面，目前的双视角阴影成像系统基于汇聚光路成像，无法有效利用最大测试体积。后续研究可考虑采用平行光路成像，在相同镜面尺寸条件下，可将测试体积扩大8～10倍。在平行光路条件下，原有的小孔成像模型不再适用，需要发展相应的光路标定和粒子追踪算法。此外，针对粒子密度较高的测试场景，可发展三视角阴影成像系统，通过增加视角的方法提高追踪和重构准确度。最后，发展测试方法的最终目的是为了获得高质量的实验数据，后续研究应拓展阴影测速方法的应用场景，为基础和应用研究提供有效技术支撑。
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