0   引　言

应变天平是风洞气动力试验最关键的测量设备^[1]，用于测量风洞试验模型所受的轴向力、法向力、侧向力、俯仰力矩、偏航力矩和滚转力矩。应变天平的测量元件一般包括轴向力元件和五分量组合元件。轴向力元件是其中最复杂的结构，同时轴向力也是最难测准的载荷。在设计天平轴向力元件时，既要平衡天平刚度和灵敏度之间的矛盾，也要尽可能减小其他分量对轴向力的干扰^[2]。

在民用客机、小展弦比飞行器等具有大升阻比特性的飞行器风洞模型测力试验中，天平受到的法向力与轴向力之比大于10，有些甚至达到了30。随着天平法向力与轴向力之比增大，各分量的相互干扰增大，尤其是法向力对轴向力的非线性干扰显著增大，导致天平轴向力测量精度降低。

针对法向力对轴向力的干扰问题，国内外的天平设计人员开展了轴向力元件的优化设计工作。Ringel等^[3]指出增大轴向力元件刚度是减小分量干扰的有效途径，并设计了一种轴向力元件优化结构，在灵敏度不变的前提下，大幅降低了轴向力所受的干扰。Zhang等^[4]分析了法向力作用下的天平结构变形情况，提出了电桥输出的修正方法，减小了法向力对轴向力的干扰。陆文祥等^[5]提出了天平的大刚度设计原则，基于“V”型槽截面系数最优的目标，设计了一杆升阻比为30的六分量天平，各分量校准度均优于0.28%；史玉杰等^[6-7]设计了一种新型的横“Π”梁轴向力结构，有效降低了天平各分量对轴向力的干扰；熊琳等^[8]分析了竖直梁轴向力元件在理想边界和真实边界条件下法向力的传力特点，通过调整支撑梁数量和厚度的方式，可在一定程度上降低法向力对轴向力的干扰。闫万方等^[9]提出了一种竖直梁轴向力元件带铰链的测量梁结构，通过削弱测量梁纵向刚度来减小法向力对轴向力的干扰，优化后法向力对轴向力的干扰应变仅为优化前的3%。

以上研究通过改进轴向力元件结构，减小了法向力对轴向力元件的干扰影响，但都未从轴向力元件受法向力干扰的根本原因入手寻找结构优化方案，以致结构优化的效果有限。

天平轴向力元件尺寸受模型尺寸等多方面因素限制，刚度较低，在大法向力作用下，轴向力元件测量梁会产生弯曲变形，对轴向力输出造成了干扰。因此，减小法向力作用下测量梁的弯曲变形，是减小法向力对轴向力干扰的关键。

本文从轴向力元件受力情况出发，分析轴向力元件的主梁和测量梁在轴向力/法向力作用下的变形特点，提出一种测量梁元件的改进结构（测量梁与主梁连接呈一定夹角，该夹角不等于90°）。理论上，该结构能有效抵消法向力作用下主梁变形导致的测量梁弯曲变形。对比不同夹角轴向力元件的有限元仿真结果，建立法向力对轴向力干扰输出与轴向力有效输出之比和该夹角的函数关系，获得法向力对轴向力干扰为0时的最优夹角，并对该最优夹角进行仿真验证。

1   轴向力元件结构受力分析

1.1   轴向力元件结构

图1为一种典型的杆式天平轴向力元件结构，由2个主梁、2个测量梁和12个支撑梁组成。轴向力元件主体被通槽分开，测量梁、支撑梁与2个主梁垂直相连。主梁1前端为传力端，向天平后端传递力/力矩载荷；主梁2后端为支撑端，支撑整个轴向力元件结构。测量梁和支撑梁对称布置于xOy平面两侧。主梁、测量梁和支撑梁组成类似于平行四边形的框架结构。在轴向力等载荷作用下，轴向力元件的变形主要发生于测量梁和支撑梁处，通过测量梁的变形量获得轴向力元件所受的载荷。

图  1  轴向力元件结构示意图

Fig.  1  Schematic of an axial force element

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为得到轴向力元件在力/力矩载荷作用下的变形量，通常将安装于测量梁上的应变计组成惠斯通电桥（以下简称“电桥”），建立测量梁变形量与电桥输出变化量的对应关系。根据电桥的特点，在2个测量梁的对称位置上安装8个电阻应变计，单个测量梁上的4个应变计组成一个电桥，轴向力元件共2个电桥。应变计位置和电桥如图2所示。

图  2  轴向力元件的应变计位置与惠斯通电桥

Fig.  2  Position of strain gages on measuring sheets and the bridges

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根据惠斯通电桥的桥路公式以及应变计的电阻值与应变的关系，2个电桥的无量纲输出以及天平轴向力的无量纲输出可分别表示为式（1）～（3）：

式中：U₀为电桥输入电压；ε_i（i=1，2，…，8）为图2测量梁上1～8位置的应变量；K为电阻应变计的应变因子，一般取2。

表1和2给出了六分量载荷分别作用下天平轴向力元件测量梁上1～8位置的应变和电桥输出的仿真情况。从表中数据可以看出，天平各分量载荷对轴向力元件测量梁的影响各不相同：除侧向力C和俯仰力矩M外，在轴向力A、法向力N、偏航力矩N_b和滚转力矩L作用下，测量梁上应变计位置的应变绝对值都大于6.8×10⁻⁷，电桥输出的绝对值也都大于0.277×10⁻³。偏航力矩和滚转力矩对2个测量梁的影响相反，表现为2个测量梁电桥输出的大小相近、方向相反；当2个电桥输出组合后，对轴向力输出的干扰（绝对值）明显减小，分别从0.277×10⁻³减小为0.001×10⁻³，从0.699×10⁻³减小为0.003×10⁻³。轴向力和法向力对2个测量梁的影响基本一致；当2个电桥输出组合后，轴向力输出均会翻倍。在本例中，法向力对轴向力的干扰占轴向力有效输出的82%，而侧向力和3个力矩对轴向力的干扰小于轴向力有效输出的0.5%。针对该竖直梁轴向力元件，在2个测量梁上均安装应变计并组桥是有效的，可大幅度减小侧向力、俯仰力矩、偏航力矩和滚转力矩对轴向力的输出干扰。

表  1  六分量载荷作用下轴向力元件测量梁应变

Table  1  Strain of axial force measuring element under six loads

	应变计编号	A=200 N	N=2000 N	C=200 N	M=50 N·m	Nb=20 N·m	L=20 N·m
应变输出/（10−6）	1	–218.10	–714.20	–11.80	–32.70	–205.90	835.00
	2	234.80	–342.70	4.20	–41.40	70.20	130.80
	3	235.20	–342.70	2.40	39.90	69.00	129.50
	4	–217.10	–712.20	13.40	32.90	–210.30	829.50
	5	–216.80	–711.30	12.00	–32.80	204.80	–830.60
	6	234.70	–342.00	–3.90	–41.10	–70.10	–130.80
	7	234.60	–344.00	–2.60	40.20	–68.00	–132.00
	8	–217.40	–713.20	–13.60	32.80	210.70	–830.50

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表  2  六分量载荷作用下轴向力元件输出

Table  2  Bridge outputs of axial force measuring element under six loads

	桥路	A=200 N	N=2000 N	C=200 N	M=50 N·m	Nb=20 N·m	L=20 N·m
电桥输出/（10−3）	ΔUA1/U0	0.453	0.371	0.003	–0.001	0.278	–0.702
	ΔUA2/U0	0.452	0.369	–0.002	0	–0.277	0.699
	ΔUA	0.904	0.740	0.001	–0.001	0.001	–0.003

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综上所述，天平分量对轴向力的干扰主要表现为法向力对轴向力元件的较大干扰。因此，如何减小该干扰是天平结构设计中必须关注和亟待解决的问题。

1.2   轴向力/法向力作用下的测量元件变形

为解决法向力对轴向力的干扰问题，首先需分析轴向力元件在轴向力/法向力作用下的变形。理论分析时，一般假设主梁为刚体，测量梁为一端固定、另一端仅有移动没有转动的超静定梁。基于上述假设，可得到测量梁的弯曲应变ε_n与轴向力分量A₁，以及拉压应变ε_t与法向力分量N₁的关系式：

式中：E为天平材料的杨氏模量；l、b和d分别为测量梁y向、z向和x向的长度；y为应变处与测量梁固定端的距离。

在轴向力作用下，测量梁和支撑梁产生“S”形弯曲变形；在法向力作用下，测量梁和支撑梁产生纯拉伸/压缩变形。测量梁产生拉伸或压缩变形时，应变计1～4处y向应变大小相等、方向相同，电桥输出变化量为0。测量梁产生弯曲变形时，应变计1～4处的y向应变大小相等，应变计1和3处的应变方向相反，应变计2和4处的应变方向相反，则电桥输出变化量不为0。也就是说，只要测量梁发生弯曲变形，就会有轴向力输出；而理论上法向力对轴向力无干扰。

受天平轴向力元件尺寸的限制，主梁的刚度有限，在进行实际受力分析时需考虑主梁的变形。为说明轴向力元件测量梁的实际变形情况，对图1所示的天平轴向力元件进行了有限元仿真^[10-11]。

图3为轴向力元件分别在200 N轴向力和2000 N法向力作用下的变形（放大100倍）。在轴向力作用下，测量梁和支撑梁变形最明显，均表现为相似的“S”形弯曲变形，主梁无明显变形。在法向力作用下，测量梁和支撑梁变形仍然很明显，表现出的“S”形弯曲变形存在差异，此时2个主梁表现出类似于悬臂梁的变形，且变形较为明显，导致测量梁和支撑梁的固定端和自由端发生较大的x向和y向位移。

图  3  轴向力/法向力作用下轴向力元件的变形（放大100倍）

Fig.  3  Deformation of axial force element with 100 times magnifica-tion under axial force or normal force

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为进一步说明轴向力元件的变形情况，仿真给出了轴向力元件测量梁在轴向力/法向力作用下的x向和y向位移。图4（a）为测量梁中轴线分别在轴向力和法向力作用下的x向位移图。轴向力作用下的测量梁理论变形是一条典型的“S”形曲线，且测量梁固定端的x向位移为0，仿真变形也是一条“S”形曲线，但测量梁固定端产生了x向位移（3.12×10^–4 mm），说明主梁2在x向产生了压缩变形。在法向力的作用下，测量梁理论上不会产生x向位移，从仿真结果可以看出，测量梁的固定端产生了x正向位移（3.73×10^–3 mm），而自由端产生了x负向位移（–1.94×10^–2 mm），整体上同样是一条“S”形曲线，说明主梁1和2产生x向相对位移。

图  4  轴向力/法向力作用下的测量梁x向和y向位移仿真结果

Fig.  4  Simulation results of x- and y-displacement under axial force or normal force

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图4（b）为轴向力/法向力作用下的测量梁中轴线y向位移图。在轴向力作用下，测量梁的理论y向位移为0。从仿真结果看，测量梁在靠近固定端和自由端的y向位移为负，即为压缩变形；测量梁中间区域的y向位移为正，即为拉伸变形。测量梁固定端的y向位移为–3.39×10^–4 mm，自由端的y向位移为–4.00×10^–4 mm，测量梁整体表现为拉伸，其伸长量为6.04×10^–5 mm。

在法向力作用下，测量梁的理论y向位移沿y向线性增大，固定端y向位移为0，自由端y向位移为1.34×10^–3 mm。从仿真结果看，测量梁各部分都有较大的y向位移，固定端y向位移为6.24×10^–2 mm，自由端y向位移为6.59×10^–2 mm，整体表现为压缩，压缩量为3.41×10^–3 mm，同时也说明主梁2在法向力作用下产生y向位移。

从测量梁变形仿真结果可知：在轴向力/法向力作用下，主梁会发生拉伸、压缩或弯曲变形，法向力作用下主梁变形更明显；理论结果与仿真结果之间存在较大差异，说明理论分析的主梁为刚体的假设在实际中并不成立；法向力作用下，2个主梁发生x向相对位移，测量梁发生“S”形变形，该变形是法向力对轴向力输出干扰的来源；轴向力元件受力变形后，测量梁中轴线与主梁不再垂直。

根据仿真得到的变形结果，对测量梁进行受力分析，如图5所示。变形后，测量梁中轴线与主梁不再垂直，测量梁自由端所受的轴向力和法向力都可分解为沿测量梁中轴线方向的分力F_n和垂直于测量梁中轴线方向的分力F_t。F_n使测量梁发生拉伸或压缩变形，F_t使测量梁发生弯曲变形。因此，为减小法向力作用下测量梁的弯曲变形，必须减小法向力的分力F_2t。

图  5  轴向力/法向力作用下的测量梁受力分析

Fig.  5  Force analysis of measuring sheet under axial force or normal force

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一般而言，可从两方面开展轴向力元件结构设计：一是增大主梁刚度，减小2个主梁在法向力作用下的x向相对位移，但天平轴向力元件尺寸受模型等诸多因素限制，刚度提高有限；二是对测量梁进行结构优化^[12-13]，如减小法向力分力F_2t。

本文提出了一种优化的测量梁结构。如图6所示，测量梁中轴线与主梁在变形前就设置特定夹角α（不等于90°）。

图  6  轴向力/法向力作用下测量梁改进结构的受力分析

Fig.  6  Force analysis of modified measuring sheet under axial force or normal force

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当轴向力/法向力作用于轴向力元件上时，在测量梁自由端对力进行分解，轴向力$ {F}_{1}^{'} $可分解为$ {F}_{1\mathrm{t}}^{'} $和$ {F}_{1\mathrm{n}}^{'} $，法向力$ {F}_{2}^{'} $可分解为$ {F}_{2\mathrm{t}}^{'} $和$ {F}_{2\mathrm{n}}^{'} $。$ {F}_{1\mathrm{n}}^{'} $使测量梁产生压缩变形，$ {F}_{2\mathrm{t}}^{'} $使测量梁产生弯曲变形，分别抵消了F_1n和F_2t对测量梁的影响。当夹角α合适时，$ {F}_{2\mathrm{t}}^{'} $与$ {F}_{2\mathrm{t}} $相等，法向力引起的测量梁弯曲变形为0，此时的夹角为最优夹角。

2   带夹角轴向力元件仿真分析

理论变形与实际变形差异较大，较难通过理论推导获得最优夹角，因此采用有限元仿真进行分析。

为验证改进的测量梁结构在减小法向力对轴向力干扰方面的效果并获得最优夹角，基于图1所示的轴向力元件，选取5种不同夹角进行仿真对比分析。轴向力元件直径20 mm、长70 mm，测量梁与主梁的夹角分别为85.0°、87.5°、90.0°、92.5°和95.0°。

表3给出了轴向力元件结构尺寸和仿真网格参数，其中应变计仿真区域为3 mm×3 mm，距测量梁根部0.5 mm，距两侧1.0 mm，如图7所示。

表  3  测量梁与支撑梁的结构尺寸与网格尺寸

Table  3  Structure and simulation grid size of measuring sheets and supporting sheets

测量梁					支撑梁					网格参数/mm
数量	y向高度/mm	宽度/mm	厚度/mm		数量	y向高度/mm	宽度/mm	厚度/mm		应变计仿真区域	测量梁和支撑梁	主梁
2	10	5	2		12	10	5	1		0.25	0.50	2.00

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图  7  网格模型与应变计仿真区域

Fig.  7  Mesh model and strain gage areas of the axial force element

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仿真模拟了轴向力、法向力、俯仰力矩等6个分量载荷作用下的轴向力元件应变分布，得到了测量梁上应变计组桥后电桥电压变化量（表4）。图8为轴向力/法向力作用下的轴向力无量纲输出（ΔU_A、ΔU_N）以及两者之比（ΔU_N/ΔU_A）随夹角α变化的曲线。从表4和图8可知：在不同夹角下，侧向力、俯仰力矩、偏航力矩和滚转力矩对轴向力的干扰输出均小于0.006，说明采用改进的测量梁时，这4个载荷对轴向力输出的影响可以忽略；当α=90.0°时，ΔU_A最大，α=95.0°时，ΔU_A减小约8.80%，α=85.0°时，ΔU_A减小约5.40%；ΔU_N和ΔU_N/ΔU_A都随α线性增大，线性度分别优于0.99702和0.99992。对ΔU_N～α和（ΔU_N/ΔU_A）～α进行线性函数拟合，可得到ΔU_N=0和ΔU_N/ΔU_A=0时对应的夹角分别为85.7°和85.8°，即为最优夹角。

表  4  不同夹角的轴向力元件在6个分量载荷作用下的输出

Table  4  Axial force output with different deflection angle under six loads

夹角/（° ）	轴向力输出ΔU/（10−3）						ΔUN/ΔUA
	A=200 N	N=2000 N	C=200 N	M=50 N·m	Nb=20 N·m	L=20 N·m
85.0	0.855	−0.134	0	−0.001	0	0	−0.157
87.5	0.897	0.293	0	−0.003	0.001	−0.004	0.327
90.0	0.904	0.740	0	−0.001	0.001	−0.003	0.818
92.5	0.880	1.159	0.006	−0.003	−0.001	0.001	1.317
95.0	0.824	1.500	0	−0.001	0	0.001	1.820

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图  8  轴向力/法向力作用下测量梁的输出随夹角变化的曲线

Fig.  8  Axial force output with different deflection angle under axial force or normal force

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从仿真结果看，法向力对轴向力的干扰输出与测量梁和主梁的夹角线性相关；当夹角合适时，法向力对轴向力输出的干扰明显减小，且存在最优夹角使法向力对轴向力输出的干扰为0。

为验证采用上述线性拟合得到的最优夹角的效果，重新对图1所示的轴向力元件进行建模和仿真，获得了带最优夹角（85.7°和85.8°）的轴向力元件在轴向力/法向力作用下的输出情况，见表5。

表  5  优化夹角的轴向力元件在轴向力/法向力作用下的输出

Table  5  Axial force output with optimal deflection angle under axial force or normal force

夹角/（°）	轴向力输出ΔU/（10−3）		ΔUN/ΔUA
	A=200 N	N=2000 N
85.7	0.866	−0.017	−0.019
85.8	0.879	−0.005	−0.005

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从表5可知，采用优化夹角设计的轴向力元件，法向力对轴向力输出的干扰显著减小，ΔU_N/ΔU_A从α=90.0°时的0.818减小至–0.019和–0.005，绝对值分别减小了97.68%和99.39%；两种线性拟合方式得到的最优夹角均较为准确。相比之下，采用（ΔU_N/ΔU_A）～α关系进行线性拟合，线性度和拟合效果均优于ΔU_N～α拟合，因此，在求解最优夹角时，应采用（ΔU_N/ΔU_A）～α关系拟合。

综上所述，测量梁与主梁带夹角的结构能明显减小法向力对轴向力的干扰，对ΔU_N/ΔU_A与夹角α进行线性函数拟合，可得到测量梁与主梁的最优夹角。在本文例子中，测量梁与主梁夹角从90.0°变为85.8°时，轴向力输出减小2.77%，但法向力对轴向力的干扰输出减小99.32%，而此时法向力对轴向力的干扰与轴向力输出之比仅为0.5%。

3   结　论

基于对轴向力元件结构的仿真分析，提出了一种测量梁与主梁带夹角的结构，通过线性拟合获得了最优夹角，有限元仿真结果验证了带夹角结构的效果和线性拟合的准确性，得到以下结论：

1）天平轴向力元件的主梁不是理想刚体，在法向力作用下将发生弯曲变形，2个主梁产生x向的相对位移。仿真结果表明：测量梁在法向力作用下同时产生拉伸/压缩变形和弯曲变形，而该弯曲变形即为法向力对轴向力输出的干扰。

2）测量梁与主梁的夹角合适时，测量梁自由端所受的法向力在垂直于测量梁方向的分力可以抵消因主梁变形而产生的使测量梁弯曲变形的分力，从而减小法向力对轴向力的干扰。

3）法向力对轴向力的干扰输出和轴向力输出之比ΔU_N/ΔU_A与测量梁和主梁的夹角的线性关系良好，基于该线性关系获得ΔU_N/ΔU_A为0时的最优夹角；与常规垂直设计的测量梁相比，采用最优夹角设计的测量梁，法向力对轴向力的干扰与轴向力输出之比仅为0.5%。