Mechanism study of free-surface polygons formation in rotating fluids
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摘要:
针对流体在约束旋转中产生多边形涡流的现象，设计了旋转圆筒实验装置，对不同旋转频率、液面高度及圆筒半径下的旋转流体行为进行了研究。基于实验现象，提出了全局复合波理论模型，该模型的计算结果与实验现象一致。根据流动相似理论，利用量纲分析法对实验数据进行分析处理；借助黑体辐射模型给出了流体参数在一定范围下的经验公式，该公式在径长比小于4的情况下与实验数据符合程度较好。本文建立的全局复合波理论模型及相关研究结论可为多边形涡流形成机制与变化规律研究提供理论参考。
Abstract:In order to study the formation mechanism of the polygon phenomenon in rotating fluid, a test set-up of a rotating cylinder which can produce rotating fluid was designed. Experiments on rotating fluid for different rotational frequencies, liquid heights and radii of the cylinder were performed. Based on experimental results, a composite wave theoretical model of the intersection point between the free surface of the fluid and the bottom of the container was established according to the wave equation while ignoring the specific movement inside the fluid. On this basis, the theoretical model was verified by experiments, and the rotation state on the experimental phenomenon was further studied. Based on the experimental data and previous work, this paper made empirical formula fitting to the data, and found that the fitting effect of the blackbody radiation model is the best. The results can be further applied to theoretical research to determine the physical mechanism of the phenomenon.
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0 引 言
流体在一定约束中以一定条件旋转时，其自由表面将产生形状规则的破缺，由抛物面转变为旋转多边形，且多边形内部会形成无流体的干区。该现象在行星表面（如土星的六边形风暴、地球海洋和大气的旋涡）及实验室中均能被观测到。在搅拌机、旋转平台、液压涡轮机械等需要对流体进行旋转的部件中，也需考虑流体自由表面对设计的影响。
诸多学者对上述现象的成因及影响因素开展了研究。20世纪90年代，Spohn等[1]利用一个盛水圆柱形容器进行了旋转流体实验，获得了容器半径、转盘转速与多边形的有关数据。Saric[2]采用非线性速度密度场分析方法，将流动速度分解为主流部分和有势扰动部分，分析了气流中的涡流现象，并对壁曲率引起的边界层不稳定性进行了讨论。在Saric的描述中，这种不稳定的形式是一个稳定流向上的反向旋转涡流，即“戈特勒涡”（Gortler vortices）[2]。21世纪初，随着数字粒子图像测速（DPIV）技术的出现，实验物理学家测出了旋转流体自由表面呈现多边形现象的粒子运动图像[3-4]，如图1所示。
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Bergmann[3]和Barbosa Aguiar[4]等认为该现象是由气压不稳定引起的非线性平衡而导致的波阵，是离心波与重力波共振的平衡态。而Jansson等[5]认为该现象是由静止壁面产生的强方位角切变所引发，而方位角切变的产生则是由转盘的微小振动所导致。Bordes等[6]认为，在旋转流体中，重力、科里奥利力与离心力造成的波共振引起了流体状态的转化。Sutherland[7]在其对旋转流体转捩的研究中指出，对全局波不稳定性的研究应聚焦于局部波的形成。在对波浪与海冰相互作用的研究中，Das[8]将重力波传播与黑体辐射联系起来，提供了一种描述复合波的新思路。在无转盘低黏性液氮实验研究中，Duchesne等[9]将液氮加速旋转后停止供能，使液氮在静止转盘上自然停转，仍然出现了自由表面呈现多边形的现象，这说明Jansson等[5]认为的转盘振动并非该现象的成因。Stepanyants和Sturova[10]在研究冰层覆盖下的海洋Rossby波时，给出了大尺度旋转流体底部垂向上的双曲正弦函数色散关系，这表明旋转流体二维平面径向上的波动存在正弦关系。Rodal和Schlutow[11]利用气体离心机研究了不同旋转频率下的气体分层效应和对称性破缺，发现分别以水和大气作为工作流体时的重力波特性相似。
在上述关于旋转流体对称性破缺的研究中，有的进行了详细的实验数据记录[1]和DPIV测量分析[3-4]，有的从共振波角度解释了旋转流体自由表面呈现多边形现象的成因[3-4, 6]，并给出了色散关系模型，但都未考虑器壁对流体的黏滞力作用。本文基于局部波动理论[7, 10]，利用近傅里叶变换建立了全局复合波理论模型。采用量纲分析方法，基于黑体辐射模型拟合出经验公式，总结了各主要因素对旋转流体多边形自由表面的影响关系，提出了一种通过观测多边形形状与尺度推测旋转运动参数的方法。
1 实验研究
1.1 实验装置
实验在一个以电机驱动转轴和磁力耦合转盘的旋转圆筒装置中进行（图2）。该装置由无级变速直流电机驱动转轴，通过磁力耦合带动转盘（可更换），同时以架设于水平板上的激光测速仪测量转轴实时转速。选取半径R为35、50、65、85和105 mm的圆筒进行实验（本文圆筒半径均指内径）。圆筒内主动旋转的转盘半径r应尽量接近圆筒内径，但为避免转盘撞击筒壁，两者半径之比应大于0.90而小于0.95。整套装置保持水平状态，转盘旋转频率f范围为0～12.5 Hz，液面高度H范围为18～50 mm。
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图 2 旋转圆筒装置示意图与实物图Fig. 2 Schematic diagram of rotating cylinder device and view of the perspex cylindrical tank with no working fluid1.2 实验工况
采用控制变量法，研究转盘旋转频率f、液面高度H和圆筒半径R对旋转流体多边形自由表面边数（后文简称“涡流边数”）的影响，并开展圆筒与转盘共同旋转的对照实验，研究固定方向上的分界面交点运动规律，选取典型工况分析实验结果。实验共设置5种工况，相关参数如表1所示。受实验条件限制，旋转频率连续变化，因此以频率变化范围表示旋转频率取值。在实验2和3中，在某些旋转频率变化范围内无法分辨旋转流体形状，因此舍去该范围的旋转频率取值。
表 1 实验参数Table 1 Experimental condition parameter setting实验名称 不变量 变量 变量取值 实验1：旋转频率f
对涡流边数的影响研究R = 105 mm
H = 44 mmf 0～12.5 Hz 实验2：液面高度H
对涡流边数的影响研究R = 105 mm H、f H = 18、22、35、45和50 mm
f = 0～11.5 Hz实验3：圆筒半径R
对涡流边数的影响研究H = 25 mm R、f R = 35、50、65、85和105 mm
f = 0～11.7 Hz实验4：圆筒与转盘
共同旋转对照实验R = 105 mm
H = 44 mmf f = 0～12.5 Hz 实验5：固定方向上
分界面交点运动规律研究R = 105 mm
H = 44 mm
f = 7.5 Hz— — 1.3 实验结果分析
1.3.1 转盘旋转频率对涡流边数的影响
选用R = 105 mm的圆筒进行实验，向圆筒内加水（H = 44 mm），改变转盘旋转频率，探究涡流边数的变化情况。如图3所示，不同边数的多边形以不同形状的点加以区分，并以角数特征量N表征涡流边数：具有2个明显凸角的椭圆形涡流N = 2，三角形涡流N = 3，以此类推。旋转频率f = 3.94 Hz时，旋转流体表面形状变为椭圆形，f = 7.16 Hz时变为三角形，f = 10.38 Hz时变为四边形，当f增大至11.52 Hz时，自由表面的形状无法辨识。可以看出：旋转频率越高，涡流边数越多，且边数越多的多边形稳定性越差；当旋转频率过高时，稳定性被打破，自由表面形状近似于圆形，边数无法辨识。
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图 3 转盘旋转频率与涡流边数的关系Fig. 3 The relationship between the frequency of the rotating disk and the number of vortex edges1.3.2 液面高度对涡流边数的影响
选用R = 105 mm的圆筒进行实验，通过向圆筒内加入不同液面高度的水，记录不同旋转频率下的涡流边数，探究液面高度对涡流边数的影响。图4为不同液面高度下的旋转流体多边形自由表面相图。从图中可以看出：同一液面高度下，旋转频率越高，涡流边数越多；同一旋转频率下，液面高度越高，涡流边数越少；随着液面高度增大，达到同一边数（相同颜色的相）所需的旋转频率与液面高度并非完全正相关。这说明与旋转频率相比，液面高度对涡流边数影响更大。
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图 4 旋转流体多边形自由表面相图Fig. 4 Phase diagram for “polygons” on the surface of a fluid on a rotating disk1.3.3 圆筒半径对涡流边数的影响
选用不同半径R的圆筒进行实验。为使不同圆筒半径R与液面高度H之比的差距不至于过大，在H = 25 mm条件下探究同一液面高度下圆筒半径对涡流边数的影响。实验中，当R < 65 mm时，未出现三边及以上的多边形自由表面，因此选取同一液面高度下出现椭圆形自由表面的转盘临界旋转频率fcr来表征圆筒半径对涡流边数的影响。
图5为出现椭圆形时不同圆筒半径对应的转盘旋转频率直方图。可以发现直方图总体趋势为：圆筒半径越大，形成多边形自由表面所需的旋转频率越小；但R = 65 mm时，所需旋转频率比R = 50 mm时提升了39%，即在R = 65 mm时需要更高的旋转频率才可令多边形稳定成形。这说明旋转频率、液面高度和圆筒半径之间可能存在钝感区域，该区域的形成可能与环境中的波相位未能匹配有关。
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图 5 不同圆筒半径下出现椭圆形自由表面时对应的转盘旋转频率Fig. 5 The frequency of rotation corresponding to the emergence of elliptical free surface at different cylinder radii1.3.4 圆筒与转盘共同旋转的对照实验
在相同的圆筒半径R = 85 mm、液面高度H = 50 mm及转盘旋转频率f = 0～12.5 Hz下开展2组对照实验：一组为圆筒和转盘以相同频率旋转，无相对运动；另一组为圆筒固定，仅转盘旋转。图6为对照实验侧视图。
在圆筒与转盘共同旋转的情况下，液体的自由表面恒为一绕z轴（z轴通过转盘圆心、垂直于转盘表面）旋转的稳定抛物面（未出现多边形），无论f增大或减小，抛物面都仅随之扩大或减小而不发生形状变化。在圆筒固定、转盘旋转的情况下，随着f增大，先形成的一个大抛物面，再逐渐分裂为多个小抛物面，在侧视面上表现为倒鞍形，在俯视面上随旋转频率变化呈现出明显的多边形。这说明旋转流体自由表面呈现多边形的必要条件是圆筒与转盘存在相对运动，圆筒内壁对流体施加的切向黏滞力是规则形状破缺现象的成因之一。
1.3.5 固定方向上分界面交点运动规律探究
为探究流体局部的波动规律，本文将流体–空气–转盘三者的共同交点作为研究对象，交点的连线即为流体自由表面在转盘上的轮廓线，该轮廓线的形状即为旋转流体自由表面的形状。
如图7所示，选取与大地相对固定的径向作为x轴，以流体轮廓线与x轴的交点作为记录对象，利用高速摄像机记录实验过程，标记每一帧图像中的交点位置，即可得到交点在固定方向上随时间运动的规律。从图7可以看出，交点在径向上的运动近似为简谐运动，其运动方程以下式描述：
$$ x = A\mathrm{sin}(kt + \theta ) + \sigma $$ (1) 式中：A为振幅；k为实验确定的参数；θ为初始相位；σ为约束因子，代表容器对旋转流体的约束效果，与实验条件有关，最大不超过容器半径R。
采用设计的实验装置，对旋转流体自由表面呈现多边形现象可能的影响因素开展了上述研究，可以发现：旋转流体与器壁之间的黏滞力是多边形自由表面形成的必要条件；多边形边数与转盘旋转频率正相关，与液面高度负相关，而圆筒半径的影响则较为复杂，但总体趋势是圆筒半径越大越易形成多边形。在不同取值区间内，转盘旋转频率、液面高度和圆筒半径对多边形自由表面有着不同的影响权重，这与Lopez[12]的推论一致。在宏观现象上，固定方向上的自由表面运动近似遵循简谐运动规律，可采用波动方程进行描述。
2 旋转状态下的全局复合波理论模型
2.1 理论模型
为建立旋转流体自由表面呈现多边形现象的理论模型，作以下假设：1）不考虑流体运动过程中表面张力对运动的影响；2）研究流体的宏观运动，仅考虑自由表面与转盘表面的交点（如图8所示）的波动过程，不考虑内部涡流的具体运动；3）在旋转状态下，转盘对流体的黏滞力大小不变，圆筒对流体的切向黏滞力仅随涡流边数变化而变化；4）忽略流体的蒸发作用；5）忽略转盘的振动作用力。
基于上述假设，对交点处的流体质点作运动学分析，将质点运动分解为径向运动与周向运动的叠加。根据Bordes[6]的分析，旋转流体自由表面呈现多边形的现象是重力波与旋转离心波共同作用的结果。波到达旋转容器壁面时发生反射，反射波也会对流体运动产生影响。因此，本文在平面惯性波的表达式[6]中引入反射波项，则交点在径向上的一维运动方程可表示为：
$$ \frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}t}} = \nu {\nabla ^2}u - {V^{ - 1/3}}gh - {a_{{\rm{ref}}}} + {\omega ^2}x $$ (2) 式中：u为流体质点在x轴上的速度；x为交点的径向位置（以转盘圆心为原点）；ν为流体运动黏度；V为单位体积；h为自由液面最高点高度，是圆筒半径R和流体旋转角速度ω的函数；V −1/3gh表示由自由液面高度差所产生的压力场；aref表示流体径向运动撞击固定壁面后产生的反射波所引起的加速度场，其大小与交点位置x、圆筒半径R和角速度ω有关。此类加速度遵循的模型为[13]：
$$ {a}_{{\rm{ref}}}=\lambda {\text{e}}^{\beta (x－R)} + C $$ (3) 式中：λ、β为无量纲参数，是ω的函数；C为常数。当圆筒半径R固定、角速度$\omega $稳定后，h趋于一定值，因此可将V −1/3gh视为常数。将式（3）代入式（2），得到交点在惯性系下的波动微分方程为：
$$ \frac{{{\rm{d}}u}}{{{\rm{d}}t}} = \nu {\nabla ^2}u - \eta {{\text{e}}^{\beta x}} + {\omega ^2}x + {C_1} $$ (4) 式中：η = λ/eβR；C1 = −(V −1/3gh + C)。当x较小时，式（4）为正；当x较大时，式（4）为负。
可以看出，当涡流边数稳定后，交点的径向局部运动可近似为以一定周期和幅值振荡的简谐运动，该简谐运动是在压力场、离心场和反射波共同作用下的复合波。
基于实验中观察到的现象，本文以式（1）为解析式描述交点在径向上的简谐运动。若圆筒与转盘相对静止进行旋转，则可以预见：在二维情况下，自由表面和转盘表面在各方向上的交点都进行相同的简谐运动，宏观上呈现为振荡的圆形；若圆筒与转盘存在相对运动，则圆筒会对旋转流体施加黏滞力，在黏滞力作用下，交点在不同角度方向上的波会产生相位差，自由液面会因相位不同形成多边形，不再呈现为圆形，如图9所示。
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图 9 由黏滞力引起的波相位差示意图（俯视图）Fig. 9 Schematic diagram of wave phase difference caused by viscosity (top view)定义X为交点在全局二维平面上运动所处的位置，对径向运动方程（1）进行近傅里叶变换，可得到二维平面上的交点运动方程为：
$$ X=x{{\rm{e}}}^{-{\rm{i}}\omega t}=\left[A\mathrm{sin}(kt + \theta ) + \sigma \right]{{\rm{e}}}^{-{\rm{i}}\omega t} $$ (5) 式（5）表示将交点的一维简谐运动变换为绕原点旋转的二维行进波。将式（5）的数值解沿t轴正方向在复数域上进行投影，得到交点行进波的波面，即旋转流体自由表面的轮廓线。取初始相位θ = 0。A、σ反映了波的扩张程度，与旋转频率和容器约束相关；k反映了黏滞力作用对相位的影响。随着A、σ、k取值变化，由投影点构成的自由表面轮廓线会呈现出不同的形状。由于σ随ω增大而增大，且黏性作用也与旋转频率相关，故引入修正因子α，定义ω = π/α和σ = ε/α，以表示黏性与旋转频率对波动幅值的综合作用效果，则可得修正后的方程为：
$$ X=\left[A\mathrm{sin}(kt) + ({\varepsilon }/{\alpha })\right]{{\rm{e}}}^{{{-{\rm{i}}\pi t}}/{\alpha }} $$ (6) 通过调整参数发现，当式（6）中各参数满足表2的约束条件时，交点的全局轨迹与实验现象有很好的一致性。可以看出，参数A与k的值可以用角数特征量N替换，因此可进一步将式（6）化简为：
表 2 式（6）各参数取值满足的约束条件Table 2 Constraint conditions of parameter values in Equation (6)N k A ε α α区间长度 2 N/2 4/N [2, R] [4, 7] 3.0 3 N/2 4/N [2.8, R] [5.5, 6.8] 1.3 4 N/2 4/N [4, R] [6, 6.8] 0.8 5 N/2 4/N [6.5, R] [5.9, 6.6] 0.7 6 N/2 4/N [6.5, R] [6, 6.6] 0.6 $$ X = \left[ ({{4}/{N})\sin ({{Nt}}/{2}) + ({\varepsilon }/{\alpha }}) \right]{{\rm{e}}^{{{{ - {\rm{i}}\pi t}}}/{\alpha }}} $$ (7) 图10（a）为α ＝ 6、不同N值下式（7）在复数域投影的数据结果，表示不同N值下的旋转流体自由表面轮廓线，与图10（b）中的实验现象具有很好的一致性，这说明可以使用复合正弦波在全局旋转产生相位差的理论来解释实验现象。
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图 10 交点波动方程在给定参数下的可视化图像（ω = π/6）Fig. 10 Visualization of wave equation at intersection with given parameters (ω = π/6)3 旋转流体多边形涡流角数影响因素关系研究
3.1 数据处理
旋转流体自由表面呈现多边形是由于受到了多种因素的共同作用，且根据表2的数据可以看出，对于全局复合波的形成，应该存在着某种特定的数值关系。为寻找一种定量化描述此复杂系统的方式，应得到某种函数关系，探究不同因素下多边形的形态变化规律。根据Buckinghum π定理，涡流角数N的表达式为：
$$ N = N(f,H,R,\mu ,\rho ,T) $$ (8) 对式（8）进行无量纲化，得出与涡流角数N有关的无量纲关系式：
$$ N = \varPhi \left(\frac{R}{H}, \frac{{f{H^2}\rho }}{\mu }\right) $$ (9) 式中，μ为动力黏度，由于温度T与μ相关，通过影响μ产生影响，式（9）中不再出现温度T；R/H为圆筒半径与液面高度之比；fH2ρ/μ为埃克曼数（Ekman number）Ek的倒数，记为1/Ek。
将实验数据以无量纲参量R/H和1/Ek的形式进行处理，并将每一个N值在R/H和1/Ek平面上投影，得到不同N值下R/H与1/Ek的关系，如图11所示。可以看出：在同一个N值下，随着R/H增大，1/Ek先增大后减小。这种趋势与高空核爆电磁脉冲曲线（HEMP）[16]及黑体辐射曲线十分相似。
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图 11 同一N值下R/H与1/Ek的关系Fig. 11 The relationship between different N values corresponding to R/H and 1/Ek基于前文复合波假设和A、k的特定关系，可以取每一个N值下的1/Ek最小值作为临界过渡值，对各R/H（令R/H = τ）下的过渡值采用HEMP模型和黑体辐射模型进行拟合。拟合过程中，通过在[0, 2.5]之间以步长0.1对τ进行位移发现，拟合式中某些因子取(τ − 2)时拟合效果最好。得到的经验公式见表3和4（AIC表示赤池信息量准则）。
表 3 高空核爆电磁脉冲模型拟合结果Table 3 Fitting results of HEMP model经验公式 过渡界 决定系数 AIC值 $1/Ek(\tau \text{，2}) = 40\,182[{\text{e} }^{-1.681(\tau -2)}-{\text{e} }^{-2.837(\tau -2)}]$ 两角过渡界 0.983 97.03 $1/Ek(\tau \text{，3})=38\,770[{\text{e} }^{-1.293(\tau -2)}-{\text{e} }^{-3.376(\tau -2)}]$ 三角过渡界 0.934 111.96 $1/Ek(\tau \text{，4})=60\,290[{\text{e} }^{-1.388(\tau -2)}-{\text{e} }^{-3.457(\tau -2)}]$ 四角过渡界 0.934 98.22 $1/Ek(\tau \text{，5})=64\,087[{\text{e} }^{-1.299(\tau -2)}-{\text{e} }^{-3.486(\tau -2)}]$ 五角过渡界 0.944 98.77 表 4 黑体辐射模型拟合结果Table 4 Fitting results of blackbody radiation model经验公式 过渡界 决定系数 AIC值 $1/Ek(\tau \text{，2})=({1.125\times {10}^{6} })/[{ {\text{e} }^{ {0.119}/{(\tau -2)} }{ {\tau }^{6.845} } }]$ 两角过渡界 0.999 81.314 $1/Ek(\tau ，\text{3})=({3.434\times {10}^{6} })/[{({\text{e} }^{ {0.168}/{(\tau -2)} }-1){\tau }^{6.980} }]$ 三角过渡界 0.980 104.875 $1/Ek(\tau ，\text{4})=({4.865\times {10}^{6} })/[{({\text{e} }^{{0.148}/{(\tau -2)} }-1){\tau }^{7.110} }]$ 四角过渡界 0.979 92.476 $1/Ek(\tau ，\text{5})=({3.910\times {10}^{6} })/[{({\text{e} }^{{0.137}/({\tau -2}) }-1){\tau }^{6.824} } ]$ 五角过渡界 0.983 92.880 图12为经验公式曲线，图中实心点为拟合使用的临界过渡值，各曲线表示角数为N的多边形涡流运动参数应在N角过渡界曲线与(N + 1)角过渡界曲线之间的区域内。由表3和4中的决定系数可以看出：黑体辐射模型的拟合效果优于HEMP模型；两种模型都存在峰值点，这说明存在一个R/H值使得多边形形成所需的旋转频率最高，在峰值点处，相邻两过渡界曲线之间的1/Ek范围最大，同时该点处的多边形也最稳定。因此，恰当的R/H值对形成旋转流体多边形自由表面十分重要。
3.2 对经验公式的讨论
比较决定系数和AIC值，可以看出黑体辐射模型拟合效果优于HEMP模型。利用文献[5, 14, 17]中的实验数据对黑体辐射模型曲线的预测能力进行检验。如图13所示（图13（b）为图13（a）中椭圆虚线内的局部放大），除N = 4有一数据点偏差较大外，角数为N的涡流实验值都在N角过渡界曲线与(N + 1)角过渡界曲线之间的区域内，尤其是N = 2的数据点，拟合曲线与实验数据有很好的一致性，检验数据均在两角过渡界曲线与三角过渡界曲线之间的区域内。但从拟合曲线看，当R/H位于[3.5, 4]区间时，拟合度较差，且此时HEMP模型稍优于黑体模型（如图12所示）。当R/H > 4时，两个模型的拟合曲线均有偏差，这可能是由于R/H较大时圆筒对流体的约束效果减弱，筒壁距旋转中心相对较远，其对旋转流体的黏滞作用在向内传递的过程中急剧耗散，难以对旋转流体自由表面产生有效影响，因此无法通过R/H < 4的数据精确预测较大R/H值下的流体参数。但从图12可以看出，定量预测虽然变得困难，但数据结果仍然符合曲线变化趋势，仍可采用该曲线对R/H > 4的情况进行定性趋势预测。故实验室小尺度环境下应使用黑体辐射模型，大尺度下可考虑使用HEMP模型。
两种模型存在差异，可能是由于模型对应的物理机理不同。黑体辐射模型研究的是实验室近似理想黑体辐射，所受干扰较少，属于小尺度实验。基于本文提及的复合波模型，可将旋转流体自由表面呈现多边形的现象视作一定频率的径向波源受到器壁切向扰动后产生的宏观表现，且扰动与波源之间必须遵循某种“特定”的关系，才能复合出与实验一致的现象。这与普朗克将黑体视为大量遵循“特定”能量关系的谐振子释放总能量的假设相近。旋转流体自由表面呈现多边形的现象可能也存在角数不连续的特性，但因其峰值与普朗克曲线峰值变化趋势不同，所以其内部机理仍待进一步探究。HEMP模型研究的是高空核爆电磁脉冲，在波形上与多边形涡流较为相近，但受到复杂大气环境的影响，属于极大尺度实验，因此两种模型的应用范围存在差别。此外，受实验条件所限，为了尽可能逼近真值，在拟合时将模型公式进行了形式变换，由此得出的经验公式对R/H < 2的情况并不适用。
4 结 论
本文在不考虑流体内部具体运动的假设下，在相关研究的基础上，建立了基于旋转流体自由表面与转盘交点的全局复合波理论模型，设计了依靠磁力驱动的实验装置，探究了旋转流体多边形自由表面形成机制，提出了一种量化分析经验方法，结合HEMP模型与黑体辐射模型拟合出了经验公式。得到以下结论：
1）旋转流体与器壁之间相对运动产生的黏滞作用使流体的自由表面形成多边形，这种黏滞作用与旋转频率、容器半径、液面高度及流体密度、黏度有关，并可通过改变波的相位呈现。
2）流体自由表面与容器底部交点的径向运动可视作压力场、离心场、器壁反射波三者复合后与器壁黏滞力相互作用的结果，其径向波动方程可用简谐运动近似描述，令波动方程各参数满足一定约束关系后，可通过近傅里叶变换投影得出自由表面轮廓。
3）从单个影响因素看，旋转流体多边形自由表面边数与旋转频率正相关，与液面高度负相关，圆筒半径越大越容易形成多边形。
4）从多个影响因素看，旋转流体自由表面多边形的角数主要与R/H和1/Ek两个无量纲量有关。随着1/Ek增大，角数增加，但相邻过渡界的范围逐渐减小。在实验中，则表现为角数越多、多边形越不稳定。旋转频率轻微变化引起的扰动，就会使角数发生变化。在实验中，存在一个处于[2.4, 2.5]范围内的R/H值，使得多边形最容易形成，相邻两过渡界的1/Ek范围也最大。
5）当R/H∈[2, 4]时，旋转流体角数与1/Ek的关系符合黑体辐射模型曲线，这表明对流体复合波的假设可能与黑体辐射的谐振子假设有关。当R/H > 4时，器壁的约束效果减弱，黑体辐射模型仅能用于定性预测。后续工作可尝试对此拟合公式的物理意义进行探究。
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图 10 交点波动方程在给定参数下的可视化图像（ω = π/6）
Fig. 10 Visualization of wave equation at intersection with given parameters (ω = π/6)
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图 2 旋转圆筒装置示意图与实物图
Fig. 2 Schematic diagram of rotating cylinder device and view of the perspex cylindrical tank with no working fluid
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图 3 转盘旋转频率与涡流边数的关系
Fig. 3 The relationship between the frequency of the rotating disk and the number of vortex edges
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图 4 旋转流体多边形自由表面相图
Fig. 4 Phase diagram for “polygons” on the surface of a fluid on a rotating disk
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图 5 不同圆筒半径下出现椭圆形自由表面时对应的转盘旋转频率
Fig. 5 The frequency of rotation corresponding to the emergence of elliptical free surface at different cylinder radii
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图 9 由黏滞力引起的波相位差示意图（俯视图）
Fig. 9 Schematic diagram of wave phase difference caused by viscosity (top view)
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图 11 同一N值下R/H与1/Ek的关系
Fig. 11 The relationship between different N values corresponding to R/H and 1/Ek
表 1 实验参数
Table 1 Experimental condition parameter setting
实验名称 不变量 变量 变量取值 实验1：旋转频率f
对涡流边数的影响研究R = 105 mm
H = 44 mmf 0～12.5 Hz 实验2：液面高度H
对涡流边数的影响研究R = 105 mm H、f H = 18、22、35、45和50 mm
f = 0～11.5 Hz实验3：圆筒半径R
对涡流边数的影响研究H = 25 mm R、f R = 35、50、65、85和105 mm
f = 0～11.7 Hz实验4：圆筒与转盘
共同旋转对照实验R = 105 mm
H = 44 mmf f = 0～12.5 Hz 实验5：固定方向上
分界面交点运动规律研究R = 105 mm
H = 44 mm
f = 7.5 Hz— — 
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表 2 式（6）各参数取值满足的约束条件
Table 2 Constraint conditions of parameter values in Equation (6)
N k A ε α α区间长度 2 N/2 4/N [2, R] [4, 7] 3.0 3 N/2 4/N [2.8, R] [5.5, 6.8] 1.3 4 N/2 4/N [4, R] [6, 6.8] 0.8 5 N/2 4/N [6.5, R] [5.9, 6.6] 0.7 6 N/2 4/N [6.5, R] [6, 6.6] 0.6
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表 3 高空核爆电磁脉冲模型拟合结果
Table 3 Fitting results of HEMP model
经验公式 过渡界 决定系数 AIC值 $1/Ek(\tau \text{，2}) = 40\,182[{\text{e} }^{-1.681(\tau -2)}-{\text{e} }^{-2.837(\tau -2)}]$ 两角过渡界 0.983 97.03 $1/Ek(\tau \text{，3})=38\,770[{\text{e} }^{-1.293(\tau -2)}-{\text{e} }^{-3.376(\tau -2)}]$ 三角过渡界 0.934 111.96 $1/Ek(\tau \text{，4})=60\,290[{\text{e} }^{-1.388(\tau -2)}-{\text{e} }^{-3.457(\tau -2)}]$ 四角过渡界 0.934 98.22 $1/Ek(\tau \text{，5})=64\,087[{\text{e} }^{-1.299(\tau -2)}-{\text{e} }^{-3.486(\tau -2)}]$ 五角过渡界 0.944 98.77
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表 4 黑体辐射模型拟合结果
Table 4 Fitting results of blackbody radiation model
经验公式 过渡界 决定系数 AIC值 $1/Ek(\tau \text{，2})=({1.125\times {10}^{6} })/[{ {\text{e} }^{ {0.119}/{(\tau -2)} }{ {\tau }^{6.845} } }]$ 两角过渡界 0.999 81.314 $1/Ek(\tau ，\text{3})=({3.434\times {10}^{6} })/[{({\text{e} }^{ {0.168}/{(\tau -2)} }-1){\tau }^{6.980} }]$ 三角过渡界 0.980 104.875 $1/Ek(\tau ，\text{4})=({4.865\times {10}^{6} })/[{({\text{e} }^{{0.148}/{(\tau -2)} }-1){\tau }^{7.110} }]$ 四角过渡界 0.979 92.476 $1/Ek(\tau ，\text{5})=({3.910\times {10}^{6} })/[{({\text{e} }^{{0.137}/({\tau -2}) }-1){\tau }^{6.824} } ]$ 五角过渡界 0.983 92.880
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